长郡中学高一第函数第一次月考数学试卷

长郡中学高一第一学期第一次模块检测卷

数
时量：120 分钟

学
满分：150 分 得分：_________

一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题意要求的。 1、已知集合 A ? {x x是4与 10的公倍数 , x ? N

*}， B ? {x x ? 20m, m ? N * } ，则 A 与 B 的关系是（ ） A、A B B、B ? A C、A=B D、 A ? B = ?

2、已知 S={ x x 是平行四边形或梯形}，A={ x x 是平行四边形}，B={ x x 是菱形}，C={ x x 是矩形}。下列式子不成立的是（ ） A、 B ? C ? {x x 是正方形} C、CSA ? {x x 是梯形} 3、U=R，已知集合 A ? ? x B、CAB ? {x x 是邻边不相等的平行四边形} D、 A ? B ? C

? x ?3 ? ? 0? ， B ? x x 2 ? 12 x ? 20 ? 0 ，则 CR ( A ? B) =( ? x?7 ?
B、{ x x ? 2或x ? 10 } D、{ x x ? 3或x ? 7 }

?

?

)

A、{ x x ? 2或x ? 10} C、{ x x ? 3或x ? 7 }

4、下列每组函数中 f ( x) 与 g ( x) 相同的是（ ） A、 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ?

x2 ?1 x

B、 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 4
3

C、 f ( x) ? 1, g ( x) ? x

0

1 D、 f ( x ) ? , g ( x ) ? x

x3 x6

2 5、已知 f ( x) ? x ? bx ? c ，且 f (1) ? f (3) ? 0 ，则 f ( x) 的单调递减区间为（ ）

A、 (??,1]

B、 [1,??)

C、 (??,2]

D、 [3,??)

2 6、 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数， 当 x>0 时，f ( x) ? x(1 ? x ) ， 那么方程 f ( x) ? 0

的实数根个数为（ ） A、1 B、 2

C、3

D 、4

数学（长郡版）—1

2 7、已知集合 A= {x x ? 1} ，B= {x a x ? 1 ? 0} ，若 A ? B ? A ，则实数 a 的取值为（ ）

A、1 8、已知 x ? x A、 8 5
?1

B、-1

C、-1,1

D、-1,0,1

? 3 ，则 x 3 ? x ?3 ? （ ）
B、 3 5 C、18 D、 ? 3 5

9、化简 a 2 ? 2 ? a ?2 ÷ a 2 ? a ?2 的结果为（ ）

?

??

?

A、1

B、-1

a2 ?1 C、 2 a ?1
1 的图像关于（ ） 3x

a2 ?1 D、 2 a ?1

3 10、函数 y ? x 与 y ? ?

A、x 轴对称 11、 已知函数 f ( x) ? ?

B、y 轴对称

C、原点对称

D、直线 y ? x 对称

? 2 x, x ? 1 ， 若 f ( 2 ? a 2 ) ? f ( a) ， 则实数 a 的取值范围为 （ ） 2 ?? x ? 2 x, x ? 1
B、 (?1,2) C、 (?2,1) D、 (??,?2) ? (1,??)

A、 (??,?1) ? (2,??)

12、设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数， f (1) ? A、0 B、1
2

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ，则 f (5) =（ ） 2 5 C、 D、5 2

13、若二次函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 在[-3,2]上有最大值 4，则实数 a 的值为（ ） A、-3 B、

14、已知集合 A= ( x, y ) ( x ? y ) x ? 0 ，B= ( x, y ) y ? 1 ，则 A ? B =( A、{ (?1,1), (1,?1) } C、{ (?1,1), (0,?1), (0,1), (1,?1) } B、{ (1,?1) } D、{ (?1,1), (0,?1), (0,1) }

?

3 8

C、-3 或 4

D、-3 或

? ?

?

3 8
)

15、定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足 f (2 x) ? 2 f ( x) ，且当 x ? [1,2) 时， f ( x) ? 2 ? x ， x1，x2 是方程 f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的两个实根，则 x1-x2 不可能是（ ） A、30 B、56 C、80 D、112

选择题答题卡
题号 答案
数学（长郡版）—2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

得分

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，把答案填写在题中的横线上。 16、已知函数 f ( x) ?

17、已知集合 A ? x ? R x 2 ? a ，当 A 为非空集合时 a 的取值范围是________________ 18、一种产品的产量原来为 a，在今后 m 年内，计划使产量每年比上一年增加 p%，则产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为___________________，定义域为_________________ 19、 用 min{a， b， c}表示 a， b， c 三个数的最小者， 设 f ( x) ? min{ ?2 x , x ? 2,10 ? x}( x ? 0) . (1) f (3) ? ________ (2) 若 0 ? x ? 8 .记 f ( x) 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=________________ 20、若 1<x<3， x ? 5x ? 3 ? a ? 0
2

?

4 ? x2 ，则它的定义域为____________________ x ?1

?

①.

(1) 方程①有解时 a 的最大值为_______； (2) 方程①有两个不同解时 a 的取值范围是_

_____。

三、解答题：本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分，要求写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。 21、 （本小题满分 8 分） 计算： （1） 7 ? 3 3 ? 3 ? 3 24 ? 6 ? 3

1 4 3 ? 3? 3 9

（2） (2 )

7 9

0.5

? 0.1?2 ? (2

10 ? 3 37 ) ? 3? 0 ? . 27 48

2

数学（长郡版）—3

22、 （本小题满分 8 分）
2 设全集 U=R，已知集合 M = x ( x ? 3) ? 0 ，N = ? x 2 x ? ( ) x ?6 ? .

?

?

? ?

2

1 2

? ?

(1) 求（CUM） ? N ； (2) 记集合 A=（CUM） ? N ，已知 B= {x a ? 1 ? x ? 5 ? a, a ? R} ，若 A ? B ? B ，求 a 的取值范围。

23、 （本小题满分 8 分） 已知函数 f ( x) ? 2 , g ( x) ?
x

1 2
x

?2.

(1) 求函数 g ( x) 的值域. (2) 当 f ( x) ? g ( x) 时，求 2x 的值.

数学（长郡版）—4

24、 （本小题满分 8 分） 设函数 f ( x ) ? a ?

2 . 2 ?1
x

(1) 求函数 f ( x) 为奇函数时 a 的值. (2) 探索 f ( x) 的单调性、并运用单调函数定义给出证明. (3) 若关于 x 的不等式 f ( x 2 ? kx ? 1) ? 0 恒成立. 求 k 的取值范围.

数学（长郡版）—5

25、 （本小题满分 8 分） 已知某产品关税与市场供应量 P 的关系式近似地满足 P(x)= 2 率，且 t ? [0, ) ，x 为市场价格，b, k 为常数） ，当 t ? y 2 1 O (1) 根据图像求 k 和 b 值； (2) 若市场需求量为 Q，它近似满足 Q( x) ? 2
1 11? x 2
(1?kt )( x ?b ) 2

（其中 t 为关税的税

1 2

1 时的市场供应量曲线如下： 8

5

7

x

，当 P ? Q 时的市场价格称为平衡价格，

为使市场平衡价格控制在不低于 9 元，求税率 t 的最小值.

湖南师大附中 2013 级月考 数学试题 考试时量：120 分钟 满分：150 分 （考试范围：必修一第一章） 命题、审题：湖南师大附中高一备课组 一、选择题
2 1、设集合 M ? ?? 1,0,1?， N ? x x ? x ，则 M ? N ? （

?

?

）

A.

?? 1,0,1?

B. ?0,1?

1? C. ?

D. ?0?

【答案】B 2、函数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ，则函数 f ( x ? 2) 的定义域是（ A. [2,3] 【答案】A 3、函数 f ( x) ? ax ? (2 ? a) x ? 1 是偶函数，则函数的单调递增区间为（
2

）

B. [0,1]

C. [ ?2,?1]

D. [ ?1,1]

）

A. [0,??) 【答案】B

B. (??,0]

C. (??,??)

D. [1,??)

数学（长郡版）—6

?1 ? 4、已知函数 f ( x) ? ? ?0 ?
A. 0 B. 【答案】C

x ?Q x ?Q
C. 1

，则 f [ f (? )] ? （

）

?

D. 0 或 1

5、点 ( x, y ) 在映射 f 下得对应元素为 ( x ? y, x ? y ) ，则在 f 作用下点 (2,0) 的原象是 （ ） B. ( 2,2) C. (1,?1) D. (1,1)

A. (0,?2) 【答案】D

6、定义在 (0,??) 函数 f ( x) ，对定义域内的任意 x 都有 f ( ) ? f ( y ) ? f ( x) ，则 f (1) 的 值等于（ A. 2 B. ）

y x

1 2

C. 1

D. 0

【答案】D 7、设 M ， P 是两个非空集合，定义 M 与 P 的差集为 M ? P ? x x ? M且x ? P ，则

?

?

M ? (M ? P) 等于（
A. P

） C. M ? P D. M

B. M ? P

【答案】B 8、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定的规则加入相关的数据组成 传输信息，设定原信息为 a0 a1a2 ， ai ? ?0,1? （ i ? 0,1,2 ） ，传输信息为 h0 a0 a1a2 h1 ，其中

h0 ? a0 ? a1 ， h1 ? h0 ? a2 ， ? 运算规则为： 0 ? 0 ? 0 ， 0 ? 1 ? 1 ，1 ? 0 ? 1 ，1 ? 1 ? 0 ，
例如原信息为 111，则传输信息为 01111；传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信 息出错，则下列接受信息一定有误的是（ ) A. 11010 B.01100 C.10111 D. 01111 【答案】C 二、填空题

1, a ? b, a? ? ?0, 9、设集合 ?

b ? b ? , b? ，则 ? a ? a ?

.

【答案】 ?1 【解析】显然 a ? b ? 0 ，则有结论 10、下面四个结论： ①偶函数的图象一定与 y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点， ③偶函数的图象关于 y 轴对称；

数学（长郡版）—7

④既是奇函数又是偶函数的函数只有 f(x)＝0. 其中正确命题为
3

③

11、函数 f(x)＝ax ＋bx＋4(a，b 不为零)，且 f(5)＝10，则 f(－5)等于 【解析】∵f(5)＝125a＋5b＋4＝10，∴125a＋5b＝6，

-2

f(－5)＝－125a－5b＋4＝－(125a＋5b)＋4＝－6＋4＝－2.
12、某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由图所示的函数图象确定， 那么乘客免费可携带行李的最大重量为 19

【解析】由题图知函数的图象是一条直线， 可以用一次函数表示，设为 y＝kx＋b，将点 (30,330)，(40,630)代入得 k＝30，b＝－570，
∴y＝30x－570，令 y＝0 得 x＝19. 13、给出下列对应：

①M＝Z，N＝N*, 对应法则 f：对集合 M 中的元素，取绝对值与 N 中的元素 对应； ②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应法则 f：x→y＝x2，x∈M，y∈N； ③M＝{三角形}，N＝{x|x＞0}，对应法则 f：对 M 中的三角形求面积与 N 中 元素的对应． 其中可以构成函数的是
14、已知函数 f ( x ) ?

②

x?3 ，记 f (1) ? f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (1024) ? m x ?1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( ) ? n ，则 m ? n ? 42 2 4 8 1024 1 【解析】易知 f ( x) ? f ( ) ? 4, f (1) ? 2 ，则 m ? n ? 4 ?10 ? 2 ? 42 x
15、设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，如： [2] ? 2 ， [1.25] ? 1 ，对于给定的 n ? N ,定义
?

Cnx ?

3 n(n ? 1)? (n ? [ x] ? 1) x , x ? [1,??) ， 则 当 x ? [ ,3) 时 函 数 C8 的 值 域 是 2 x( x ? 1)? ( x ? [ x] ? 1)

(4,

16 28 ] ? ( ,28] 3 3

【解析】当 x ? [ ,2) 时， [ x] ? 1 ，则 C8 ?
x

3 2

8 ， x

当 x ? [2,3) , [ x] ? 2 ， C8 ?
x

8 x( x ? 1)
数学（长郡版）—8

故函数的值域为 (4, 三、解答题

16 28 ] ? ( ,28] 3 3

16、 （满分 12 分）设集合 A ? x ? 2 ? x ? 4 ， B ? x m ? 3 ? x ? m . （1）若 A ? B ? x 2 ? x ? 4 ，求实数 m 的值； （2）若 A ? (CR B) ,求实数 m 的取值范围. 【解析】 （1） m ? 5 .......................................................6 分 （2）范围为 (??,?2) ? (7,??) ..................................................................12 分 17、 （满分 12 分）已知实数 a≠0，函数 f ( x) ?

?

?

?

?

?

?

x ? a, x ? 1 ?2 ? x ? 2a, x ? 1

， 若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ，

求 a 的值． 【解析】当 a>0 时，1－a＜1，1＋a＞1，这时有......................................1 分 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，............................................2 分 f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a， .................................3 分 3 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2－a＝－1－3a，a＝－ <0，不成立；.........................5 分 2 当 a<0 时，1－a＞1，1＋a＜1，这时有........................................................6 分 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，................................7 分 f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2+3a，....................................8 分 3 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2+3a，a＝－ 符合题意．...............................10 分 4 3 ∴ 所求 a 的值为－ ．................................................12 分 4 18、 （满分 12 分）已知函数 f(x)＝

3－ax (a≠1)． a－1

(1)若 a＝2，求 f(x)的定义域； (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数 a 的取值范围． 【解析】 (1)a＝2 时，f(x)＝ 3－2x.

3? 3 ? 由 3－2x≥0，得 x≤2.∴f(x)的定义域为?－∞，2?.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 ? ? 3? ? (2)①当 a＞1 时，f(x)的减区间是?－∞，a?， 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 ? ? 3 又 f(x)在(0,1]上是减函数，∴a≥1，从而 1＜a≤3； 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 ②当 0≤a＜1 时，f(x)在区间(0,1]上不是减函数； 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分
数学（长郡版）—9

③当 a＜0 时，显然 f(x)在(0,1]上是减函数． 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分
综上，实数 a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]． 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 19、（满分 13 分） 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用， 管理这些自行车的费用是每天 115 元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 圆，则这些自行车可全部租出，若超过 6 圆，则每超过 1 圆，租不出去的自行车就会增加 3 辆，为了便于结算，每辆自行车的日租 金 x （圆）只取整数，并且要求自行车每日总收入必须高于管理费，用 y （圆）表示自行车 的日净收入（总收入-管理费） （1）求函数 y ? f ( x) 的解析式及其定义域； （2）试问每辆自行车的日租金定为多少时，才能使一日的净收入最高？ 【解析】 （1）当 x ? 6 时， y ? 50x ? 115，令 y ? 0 得 x ? 2.3 .............1 分 而 x ? N ，所以 3 ? x ? 6, x ? N ;.................2 分 当 x ? 6 时， y ? [50 ? 3( x ? 6)]x ?115 ? ?(3x 2 ? 68x ? 115 ) ，令 y ? 0 ，.......4 分
2 即 3x ? 68x ? 115 ? 0 ，得 2 ? x ? 20

从而 6 ? x ? 20, x ? N ，.........................6 分 所以 y ? ?

?50x ? 115(3 ? x ? 6, x ? N )
2 ?? 3x ? 68x ? 115(6 ? x ? 20)

..................8 分

定义域为 x 3 ? x ? 20, x ? N ;.................................9 分 (2)当 x ? ?3,4,5,6?时， ymax ? f (6) ? 185，........................10 分
2 当 6 ? x ? 20 时， y ? [50 ? 3( x ? 6)] x ? 115 ? ?(3x ? 68 x ? 115 ) ? ?3( x ?

?

?

34 2 811 ) ? ， 3 3

则 ymax ? f (11 ) ? 270 ，........................12 分 综上所述：日租金定为 11 圆是日净收入最高...........................13 分 20、（满分 13 分）已知函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ，且 f ( x) 在定义域上是单调增函数，

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) .
（1）求证： f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) （2）已知 f (3) ? 1 ，且 f (a) ? f (a ? 1) ? 2 ，求实数 a 的取值范围. 【解析】 （1）因为 f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) ? f ( y ) ，....................................4 分

x y

x y

x y

数学（长郡版）—10

所以 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ......................................5 分 （2）因为 f (3) ? 1 ? f (9) ? f (3 ? 3) ? f (3) ? f (3) ? 2 ，...................7 分 又 f (a) ? f (a ? 1) ? 2 ，则 f (a) ? f (a ? 1) ? f (9) ? f [9(a ? 1)] ，........................10 分

x y

?a ? 0 9 ? ? 1 ? a ? ..........................13 分 而函数在定义域上为增函数，则： ?a ? 1 ? 0 8 ?a ? 9(a ? 1) ?
21、（满分 13 分）已知函数 y ? x ? 是减函数，在

? t ,???上是增函数。

t 有如下性质：如果常数 t ? 0 ，那么该函数 0, t 上 x

?

?

（1）已知 f ( x) ? 域。

4 x 2 ? 12x ? 3 ， x ? ?0,1? ，利用上述性质，求函数 f ( x) 的单调区间和值 2x ?1

（2）对于（ 1 ）中的函数 f ( x) 和函数 g ( x) ? ? x ? 2a ，若对于任意的 x1 ? ?0,1? ，总存在

x2 ? ?0,1?，使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立，求实数 a 的值。

解析：(1) y ? f ( x) ? 4 x ? 12x ? 3 ? 2 x ? 1 ?
2

2x ?1

4 ?8, 2x ?1

设 u ? 2 x ? 1, x ? ?0,1?,1 ? u ? 3 ，则 y ? u ? 当 1 ? u ? 2, 即0 ? x ?

4 ? 8, u ? ?1,3? ，由已知性质得， u

1 ? 1? 时， f ( x) 单调递减，所以递减区间为 ?0, ? 2 ? 2?

当 2 ? u ? 3, 即

1 ?1 ? ? x ? 1 时， f ( x) 单调递增，所以递增区间为 ? ,1? 2 ?2 ?

由 f (0) ? ?3, f ( ) ? ?4, f (1) ? ?

1 2

11 ，得 f ( x) 的值域为 ?? 4,?3? 3

（2）由于 g ( x) ? ? x ? 2a 为减函数，故 g ( x) ? ??1 ? 2a,?2a?, x ? ?0,1? 由题意， f ( x) 的值域为 g ( x) 的值域的子集，从而有

?? 1 ? 2a ? ?4 ? ?? 2a ? ?3

所以 a ?

3 2

数学（长郡版）—11

数学（长郡版）—12