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长郡中学高一第函数第一次月考数学试卷


长郡中学高一第一学期第一次模块检测卷


时量:120 分钟


满分:150 分 得分:_________

一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题意要求的。 1、已知集合 A ? {x x是4与 10的公倍数 , x ? N

*}, B ? {x x ? 20m, m ? N * } ,则 A 与 B 的关系是( ) A、A B B、B ? A C、A=B D、 A ? B = ?

2、已知 S={ x x 是平行四边形或梯形},A={ x x 是平行四边形},B={ x x 是菱形},C={ x x 是矩形}。下列式子不成立的是( ) A、 B ? C ? {x x 是正方形} C、CSA ? {x x 是梯形} 3、U=R,已知集合 A ? ? x B、CAB ? {x x 是邻边不相等的平行四边形} D、 A ? B ? C

? x ?3 ? ? 0? , B ? x x 2 ? 12 x ? 20 ? 0 ,则 CR ( A ? B) =( ? x?7 ?
B、{ x x ? 2或x ? 10 } D、{ x x ? 3或x ? 7 }

?

?

)

A、{ x x ? 2或x ? 10} C、{ x x ? 3或x ? 7 }

4、下列每组函数中 f ( x) 与 g ( x) 相同的是( ) A、 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ?

x2 ?1 x

B、 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 4
3

C、 f ( x) ? 1, g ( x) ? x

0

1 D、 f ( x ) ? , g ( x ) ? x

x3 x6

2 5、已知 f ( x) ? x ? bx ? c ,且 f (1) ? f (3) ? 0 ,则 f ( x) 的单调递减区间为( )

A、 (??,1]

B、 [1,??)

C、 (??,2]

D、 [3,??)

2 6、 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x>0 时,f ( x) ? x(1 ? x ) , 那么方程 f ( x) ? 0

的实数根个数为( ) A、1 B、 2

C、3

D 、4

数学(长郡版)—1

2 7、已知集合 A= {x x ? 1} ,B= {x a x ? 1 ? 0} ,若 A ? B ? A ,则实数 a 的取值为( )

A、1 8、已知 x ? x A、 8 5
?1

B、-1

C、-1,1

D、-1,0,1

? 3 ,则 x 3 ? x ?3 ? ( )
B、 3 5 C、18 D、 ? 3 5

9、化简 a 2 ? 2 ? a ?2 ÷ a 2 ? a ?2 的结果为( )

?

??

?

A、1

B、-1

a2 ?1 C、 2 a ?1
1 的图像关于( ) 3x

a2 ?1 D、 2 a ?1

3 10、函数 y ? x 与 y ? ?

A、x 轴对称 11、 已知函数 f ( x) ? ?

B、y 轴对称

C、原点对称

D、直线 y ? x 对称

? 2 x, x ? 1 , 若 f ( 2 ? a 2 ) ? f ( a) , 则实数 a 的取值范围为 ( ) 2 ?? x ? 2 x, x ? 1
B、 (?1,2) C、 (?2,1) D、 (??,?2) ? (1,??)

A、 (??,?1) ? (2,??)

12、设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? A、0 B、1
2

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) =( ) 2 5 C、 D、5 2

13、若二次函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 在[-3,2]上有最大值 4,则实数 a 的值为( ) A、-3 B、

14、已知集合 A= ( x, y ) ( x ? y ) x ? 0 ,B= ( x, y ) y ? 1 ,则 A ? B =( A、{ (?1,1), (1,?1) } C、{ (?1,1), (0,?1), (0,1), (1,?1) } B、{ (1,?1) } D、{ (?1,1), (0,?1), (0,1) }

?

3 8

C、-3 或 4

D、-3 或

? ?

?

3 8
)

15、定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足 f (2 x) ? 2 f ( x) ,且当 x ? [1,2) 时, f ( x) ? 2 ? x , x1,x2 是方程 f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的两个实根,则 x1-x2 不可能是( ) A、30 B、56 C、80 D、112

选择题答题卡
题号 答案
数学(长郡版)—2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

得分

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,把答案填写在题中的横线上。 16、已知函数 f ( x) ?

17、已知集合 A ? x ? R x 2 ? a ,当 A 为非空集合时 a 的取值范围是________________ 18、一种产品的产量原来为 a,在今后 m 年内,计划使产量每年比上一年增加 p%,则产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为___________________,定义域为_________________ 19、 用 min{a, b, c}表示 a, b, c 三个数的最小者, 设 f ( x) ? min{ ?2 x , x ? 2,10 ? x}( x ? 0) . (1) f (3) ? ________ (2) 若 0 ? x ? 8 .记 f ( x) 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=________________ 20、若 1<x<3, x ? 5x ? 3 ? a ? 0
2

?

4 ? x2 ,则它的定义域为____________________ x ?1

?

①.

(1) 方程①有解时 a 的最大值为_______; (2) 方程①有两个不同解时 a 的取值范围是_

_____。

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分,要求写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。 21、 (本小题满分 8 分) 计算: (1) 7 ? 3 3 ? 3 ? 3 24 ? 6 ? 3

1 4 3 ? 3? 3 9

(2) (2 )

7 9

0.5

? 0.1?2 ? (2

10 ? 3 37 ) ? 3? 0 ? . 27 48

2

数学(长郡版)—3

22、 (本小题满分 8 分)
2 设全集 U=R,已知集合 M = x ( x ? 3) ? 0 ,N = ? x 2 x ? ( ) x ?6 ? .

?

?

? ?

2

1 2

? ?

(1) 求(CUM) ? N ; (2) 记集合 A=(CUM) ? N ,已知 B= {x a ? 1 ? x ? 5 ? a, a ? R} ,若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围。

23、 (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? 2 , g ( x) ?
x

1 2
x

?2.

(1) 求函数 g ( x) 的值域. (2) 当 f ( x) ? g ( x) 时,求 2x 的值.

数学(长郡版)—4

24、 (本小题满分 8 分) 设函数 f ( x ) ? a ?

2 . 2 ?1
x

(1) 求函数 f ( x) 为奇函数时 a 的值. (2) 探索 f ( x) 的单调性、并运用单调函数定义给出证明. (3) 若关于 x 的不等式 f ( x 2 ? kx ? 1) ? 0 恒成立. 求 k 的取值范围.

数学(长郡版)—5

25、 (本小题满分 8 分) 已知某产品关税与市场供应量 P 的关系式近似地满足 P(x)= 2 率,且 t ? [0, ) ,x 为市场价格,b, k 为常数) ,当 t ? y 2 1 O (1) 根据图像求 k 和 b 值; (2) 若市场需求量为 Q,它近似满足 Q( x) ? 2
1 11? x 2
(1?kt )( x ?b ) 2

(其中 t 为关税的税

1 2

1 时的市场供应量曲线如下: 8

5

7

x

,当 P ? Q 时的市场价格称为平衡价格,

为使市场平衡价格控制在不低于 9 元,求税率 t 的最小值.

湖南师大附中 2013 级月考 数学试题 考试时量:120 分钟 满分:150 分 (考试范围:必修一第一章) 命题、审题:湖南师大附中高一备课组 一、选择题
2 1、设集合 M ? ?? 1,0,1?, N ? x x ? x ,则 M ? N ? (

?

?



A.

?? 1,0,1?

B. ?0,1?

1? C. ?

D. ?0?

【答案】B 2、函数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x ? 2) 的定义域是( A. [2,3] 【答案】A 3、函数 f ( x) ? ax ? (2 ? a) x ? 1 是偶函数,则函数的单调递增区间为(
2



B. [0,1]

C. [ ?2,?1]

D. [ ?1,1]



A. [0,??) 【答案】B

B. (??,0]

C. (??,??)

D. [1,??)

数学(长郡版)—6

?1 ? 4、已知函数 f ( x) ? ? ?0 ?
A. 0 B. 【答案】C

x ?Q x ?Q
C. 1

,则 f [ f (? )] ? (



?

D. 0 或 1

5、点 ( x, y ) 在映射 f 下得对应元素为 ( x ? y, x ? y ) ,则在 f 作用下点 (2,0) 的原象是 ( ) B. ( 2,2) C. (1,?1) D. (1,1)

A. (0,?2) 【答案】D

6、定义在 (0,??) 函数 f ( x) ,对定义域内的任意 x 都有 f ( ) ? f ( y ) ? f ( x) ,则 f (1) 的 值等于( A. 2 B. )

y x

1 2

C. 1

D. 0

【答案】D 7、设 M , P 是两个非空集合,定义 M 与 P 的差集为 M ? P ? x x ? M且x ? P ,则

?

?

M ? (M ? P) 等于(
A. P

) C. M ? P D. M

B. M ? P

【答案】B 8、为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定的规则加入相关的数据组成 传输信息,设定原信息为 a0 a1a2 , ai ? ?0,1? ( i ? 0,1,2 ) ,传输信息为 h0 a0 a1a2 h1 ,其中

h0 ? a0 ? a1 , h1 ? h0 ? a2 , ? 运算规则为: 0 ? 0 ? 0 , 0 ? 1 ? 1 ,1 ? 0 ? 1 ,1 ? 1 ? 0 ,
例如原信息为 111,则传输信息为 01111;传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信 息出错,则下列接受信息一定有误的是( ) A. 11010 B.01100 C.10111 D. 01111 【答案】C 二、填空题

1, a ? b, a? ? ?0, 9、设集合 ?

b ? b ? , b? ,则 ? a ? a ?

.

【答案】 ?1 【解析】显然 a ? b ? 0 ,则有结论 10、下面四个结论: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点, ③偶函数的图象关于 y 轴对称;

数学(长郡版)—7

④既是奇函数又是偶函数的函数只有 f(x)=0. 其中正确命题为
3



11、函数 f(x)=ax +bx+4(a,b 不为零),且 f(5)=10,则 f(-5)等于 【解析】∵f(5)=125a+5b+4=10,∴125a+5b=6,

-2

f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2.
12、某航空公司规定,乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由图所示的函数图象确定, 那么乘客免费可携带行李的最大重量为 19

【解析】由题图知函数的图象是一条直线, 可以用一次函数表示,设为 y=kx+b,将点 (30,330),(40,630)代入得 k=30,b=-570,
∴y=30x-570,令 y=0 得 x=19. 13、给出下列对应:

①M=Z,N=N*, 对应法则 f:对集合 M 中的元素,取绝对值与 N 中的元素 对应; ②M={1,-1,2,-2},N={1,4},对应法则 f:x→y=x2,x∈M,y∈N; ③M={三角形},N={x|x>0},对应法则 f:对 M 中的三角形求面积与 N 中 元素的对应. 其中可以构成函数的是
14、已知函数 f ( x ) ?



x?3 ,记 f (1) ? f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (1024) ? m x ?1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( ) ? n ,则 m ? n ? 42 2 4 8 1024 1 【解析】易知 f ( x) ? f ( ) ? 4, f (1) ? 2 ,则 m ? n ? 4 ?10 ? 2 ? 42 x
15、设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如: [2] ? 2 , [1.25] ? 1 ,对于给定的 n ? N ,定义
?

Cnx ?

3 n(n ? 1)? (n ? [ x] ? 1) x , x ? [1,??) , 则 当 x ? [ ,3) 时 函 数 C8 的 值 域 是 2 x( x ? 1)? ( x ? [ x] ? 1)

(4,

16 28 ] ? ( ,28] 3 3

【解析】当 x ? [ ,2) 时, [ x] ? 1 ,则 C8 ?
x

3 2

8 , x

当 x ? [2,3) , [ x] ? 2 , C8 ?
x

8 x( x ? 1)
数学(长郡版)—8

故函数的值域为 (4, 三、解答题

16 28 ] ? ( ,28] 3 3

16、 (满分 12 分)设集合 A ? x ? 2 ? x ? 4 , B ? x m ? 3 ? x ? m . (1)若 A ? B ? x 2 ? x ? 4 ,求实数 m 的值; (2)若 A ? (CR B) ,求实数 m 的取值范围. 【解析】 (1) m ? 5 .......................................................6 分 (2)范围为 (??,?2) ? (7,??) ..................................................................12 分 17、 (满分 12 分)已知实数 a≠0,函数 f ( x) ?

?

?

?

?

?

?

x ? a, x ? 1 ?2 ? x ? 2a, x ? 1

, 若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,

求 a 的值. 【解析】当 a>0 时,1-a<1,1+a>1,这时有......................................1 分 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,............................................2 分 f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a, .................................3 分 3 由 f(1-a)=f(1+a),得 2-a=-1-3a,a=- <0,不成立;.........................5 分 2 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,这时有........................................................6 分 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,................................7 分 f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,....................................8 分 3 由 f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a,a=- 符合题意................................10 分 4 3 ∴ 所求 a 的值为- .................................................12 分 4 18、 (满分 12 分)已知函数 f(x)=

3-ax (a≠1). a-1

(1)若 a=2,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)a=2 时,f(x)= 3-2x.

3? 3 ? 由 3-2x≥0,得 x≤2.∴f(x)的定义域为?-∞,2?.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 ? ? 3? ? (2)①当 a>1 时,f(x)的减区间是?-∞,a?, 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 ? ? 3 又 f(x)在(0,1]上是减函数,∴a≥1,从而 1<a≤3; 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 ②当 0≤a<1 时,f(x)在区间(0,1]上不是减函数; 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分
数学(长郡版)—9

③当 a<0 时,显然 f(x)在(0,1]上是减函数. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分
综上,实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 19、(满分 13 分) 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用, 管理这些自行车的费用是每天 115 元。根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 圆,则这些自行车可全部租出,若超过 6 圆,则每超过 1 圆,租不出去的自行车就会增加 3 辆,为了便于结算,每辆自行车的日租 金 x (圆)只取整数,并且要求自行车每日总收入必须高于管理费,用 y (圆)表示自行车 的日净收入(总收入-管理费) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式及其定义域; (2)试问每辆自行车的日租金定为多少时,才能使一日的净收入最高? 【解析】 (1)当 x ? 6 时, y ? 50x ? 115,令 y ? 0 得 x ? 2.3 .............1 分 而 x ? N ,所以 3 ? x ? 6, x ? N ;.................2 分 当 x ? 6 时, y ? [50 ? 3( x ? 6)]x ?115 ? ?(3x 2 ? 68x ? 115 ) ,令 y ? 0 ,.......4 分
2 即 3x ? 68x ? 115 ? 0 ,得 2 ? x ? 20

从而 6 ? x ? 20, x ? N ,.........................6 分 所以 y ? ?

?50x ? 115(3 ? x ? 6, x ? N )
2 ?? 3x ? 68x ? 115(6 ? x ? 20)

..................8 分

定义域为 x 3 ? x ? 20, x ? N ;.................................9 分 (2)当 x ? ?3,4,5,6?时, ymax ? f (6) ? 185,........................10 分
2 当 6 ? x ? 20 时, y ? [50 ? 3( x ? 6)] x ? 115 ? ?(3x ? 68 x ? 115 ) ? ?3( x ?

?

?

34 2 811 ) ? , 3 3

则 ymax ? f (11 ) ? 270 ,........................12 分 综上所述:日租金定为 11 圆是日净收入最高...........................13 分 20、(满分 13 分)已知函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 f ( x) 在定义域上是单调增函数,

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) .
(1)求证: f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) (2)已知 f (3) ? 1 ,且 f (a) ? f (a ? 1) ? 2 ,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)因为 f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) ? f ( y ) ,....................................4 分

x y

x y

x y

数学(长郡版)—10

所以 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ......................................5 分 (2)因为 f (3) ? 1 ? f (9) ? f (3 ? 3) ? f (3) ? f (3) ? 2 ,...................7 分 又 f (a) ? f (a ? 1) ? 2 ,则 f (a) ? f (a ? 1) ? f (9) ? f [9(a ? 1)] ,........................10 分

x y

?a ? 0 9 ? ? 1 ? a ? ..........................13 分 而函数在定义域上为增函数,则: ?a ? 1 ? 0 8 ?a ? 9(a ? 1) ?
21、(满分 13 分)已知函数 y ? x ? 是减函数,在

? t ,???上是增函数。

t 有如下性质:如果常数 t ? 0 ,那么该函数 0, t 上 x

?

?

(1)已知 f ( x) ? 域。

4 x 2 ? 12x ? 3 , x ? ?0,1? ,利用上述性质,求函数 f ( x) 的单调区间和值 2x ?1

(2)对于( 1 )中的函数 f ( x) 和函数 g ( x) ? ? x ? 2a ,若对于任意的 x1 ? ?0,1? ,总存在

x2 ? ?0,1?,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 a 的值。

解析:(1) y ? f ( x) ? 4 x ? 12x ? 3 ? 2 x ? 1 ?
2

2x ?1

4 ?8, 2x ?1

设 u ? 2 x ? 1, x ? ?0,1?,1 ? u ? 3 ,则 y ? u ? 当 1 ? u ? 2, 即0 ? x ?

4 ? 8, u ? ?1,3? ,由已知性质得, u

1 ? 1? 时, f ( x) 单调递减,所以递减区间为 ?0, ? 2 ? 2?

当 2 ? u ? 3, 即

1 ?1 ? ? x ? 1 时, f ( x) 单调递增,所以递增区间为 ? ,1? 2 ?2 ?

由 f (0) ? ?3, f ( ) ? ?4, f (1) ? ?

1 2

11 ,得 f ( x) 的值域为 ?? 4,?3? 3

(2)由于 g ( x) ? ? x ? 2a 为减函数,故 g ( x) ? ??1 ? 2a,?2a?, x ? ?0,1? 由题意, f ( x) 的值域为 g ( x) 的值域的子集,从而有

?? 1 ? 2a ? ?4 ? ?? 2a ? ?3

所以 a ?

3 2

数学(长郡版)—11

数学(长郡版)—12


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