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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:2.7二次函数(第1课时)


第二章
第 7 讲

函数

二次函数 (第一课时)

1

●二次函数的基本知识 考 点 搜 索 ●实系数二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的 实根的符号与二次方程系数之间的关系 ●已知二次函数的解析式,求其单调区间; 已知二次函数的某一单调区间,求参数的 范围

/>●一元二次方程根的分布
●二次函数在闭区间上的最值高
2

高考中很多问题最后都要化归为二 次函数问题来解决,因而必须熟练掌 高 握二次函数的性质,并能灵活运用这 考 些性质去解决实际问题;高考中若出 猜 现二次函数与方程、不等式的综合题, 想 一般难度较大,平时应注意这方面能 力的培养.

3

一、二次函数的图象特征 ? 1. a>0时,开口 向上 , ? Δ≥0时与x轴的 为方程 交点的横坐标 2+bx+c=0的两实根; ax ? Δ<0时,抛物线与x轴 , 不相交 ? 恒成立.
?

ax2+bx+c>0
4

向下 2. a<0时,开口交点的横坐标 , ? Δ≥0时与x轴 为方程 ax2+bx+c=0的两实根; 不相交 ? Δ<0时,抛物线与x轴 , ax2+bx+c<0 ? 恒成立.
?

5

ax2+bx+c ? 二、二次函数的解析式 ? 1. 一般式:f(x)= a(x-h)2+k(a≠0). ? 2. 顶点式:f(x)= (a≠0). a(x-x1)(x-x2) ? 3. 零点式:f(x)= (a≠0,x1, x2为两实根).

6

三、二次函数在闭区间上的最大值和最小值 ? 设f(x)=a(x-k)2+h (a>0), ? 在区间[m,n]上的最值问题有: ? 1. 若k∈[m,n],则ymin=f(k)= , h ? ymax=max{f(m),f(n)}.
?

7

?
f(m) 2. 若k?[m,n],则 ? 当k<m时,ymin= f(n) ,ymax= ? 当k>n时,ymin= ,ymax= (当a<0)时,可仿此讨论).
?

f(n) f(m); .

8

1.若二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐 标为(2,-1),与y轴的交点坐标为(0,11),则 ( ) ? A.a=1,b=-4,c=-11 ? B. a=3,b=12,c=11 ? C. a=3,b=-6,c=11 ? D. a=3,b=-12,c=11
?

9

二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的 顶点坐标为(2,-1)? f(x)=a(x-2)2-1, ? ? 又f(x)与y轴的交点坐标为(0,11), ? 所以f(0)=a(0-2)2-1=11, ? 解得a=3, ? 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11. ? 故选D.
?

答案:D
10

2.设a为常数,f(x)=x2-4x+3,若函数f(x+a)为 偶函数, ? 则a= ;f[f(a)]= . 2 8 ? 由函数f(x+a)为偶函数, ? 知f(x)关于直线x=a对称, ? 而f(x)=x2-4x+3的对称轴是直线x=2, ? 所以a=2, ? 从而f[f(a)]=f[f(2)]=f(-1)=8.
?

11

3.已知函数f(x)= x2+4x(x≥0) ? 4x-x2(x<0), ? 若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( ) C ? A. (-∞,-1)∪(2,+∞) B. (-1,2) ? C. (-2,1) D. (-∞,-2)∪(1,+∞) ? 由题知f(x)在R上是增函数, ? 故得2-a2>a, ? 解得-2<a<1,故选C.
?

12

题型一:求二次函数的解析式 ? 1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1, ? 且f(x)的最大值是8, ? 则此二次函数的解析式为 .
?

13

解法1: ? 利用二次函数的一般式. ? 设f(x)=ax2+bx+c (a≠0), a=-4 ? 由题意得 4a+2b+c=-1 b=4 ? a-b+c=-1 4ac ? b 2 c=7 ? 8, ? 解得 4a ? 所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
?
14

?

解法2:利用二次函数的顶点式.

?
?

设f(x)=a(x-m)2+n,因为f(2)=f(-1),
2 ? ? ?1? 1 ? , 2

所以抛物线的对称轴为 x ? 2 1 ? 所以 m ? . 2 ? 又根据题意函数有最大值8,所以n=8,
12 ? 所以 y ? f ( x) ? a ( x ? ) ? 8. 2
?

? 1? ? 所以 a·2 ? ? ? 8 ? ?1, 解得a=-4. ? 2? ?

又因为f(2)=-1, 2

12 ? 所以 f ( x) ? ?4( x ? ) ? 8 ? ?4 x 2 ? 4 x ? 7. 2

15

?
? ? ? ? ? ? ?

解法3:利用二次函数的零点式.
由已知,f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,

故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),
即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值[f(x)]max=8, 即 解得a=-4或a=0(舍去), 所以所求函数解析式为 1 2 2 f ( x) ? ?4( x ? ) ? 8 ? ?4 x ? 4 x ? 7. 2
4a(?2a ? 1) ? a 2 ? 8, 4a

16

?

点评:用待定系数法求二次函数的解析 式,关键是根据题中条件得到待求系数 的方程组,而正确选用二次函数的形式, 可简化求解过程.

17

已知二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都有 f(x)≤f(1)=3成立,且f(0)=2,则f(x)的解析式 是( ) ? A.-x2-2x+2 ? B. -x2+2x+2 ? C. x2-2x+2 ? D. x2+2x+2
?

18

由已知, ? 当x=1时,f(x)取最大值3, ? 从而可设f(x)=a(x-1)2+3 (a<0). ? 因为f(0)=2, ? 所以a+3=2, ? 即a=-1. ? 所以f(x)=-(x-1)2+3=-x2+2x+2, ? 故选B.
?

答案:B
19

题型二:二次函数在闭区间上的最值问题 a 1 2 ? 2. 已知函数 y ? ?sin x ? asinx ? ? 的最大值 4 2 为2, ? 求a的值. ? 分析:令t=sinx,问题就转化为二次函数在 闭区间上的最值问题.
?

20

?
?

所以 对称轴为 1 ? (1)当 即-2≤a≤2时, 4 2 ? ymax= (a -a+2)=2,得a=-2或a=3(舍去). ? (2)当a2>1,即a>2时, a 2 1 2 y ? ?(t ? ) ? (a ? a ? 2) ? 函数 在[-1,1]上单 2 4 调递增, 10 1 1 得 ? 由 y ? ?1 ? a ? a ? ? 2, a ? . max
4 2

a 2 1 2 y ? ?(t ? ) ? (a ? a ? 2), 令t=sinx,t∈[-1,1], 2 4
a ?1 ? ? 1, 2

a t? , 2

3

21

(3)当 a ? ?1, 2 ? 即a<-2时, ? 函数 在[-1,1] a2 1 2 y ? ?(t ? ) ? (a ? a ? 2) 上单调递减,2 4 ?由 1 1 ymax ? ?1 ? a ? 得a=-2(舍去). ? a ? ? 2, 4 2 ? 综上可得:a=-2或
?

10 a? . 3
22

?

点评:二次函数在闭区间的最值,一般与 区间的端点及顶点值有关;而含参二次函 数在闭区间上的最值问题,一般根据对称 轴与闭区间的位置关系来分类讨论,如: 轴在区间左边,轴在区间上,轴在区间右 边,最后再综合归纳得出结论.

23

24

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27

28

题型三:三个二次的关系 ? 3. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不 等式f(x)>-2x的解集为(1,3). ? (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根, 求f(x)的解析式; ? (2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
?

29

(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1,3), ? 所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0. ? 因此f(x)=a(x-1)(x-3)-2x ? =ax2-(2+4a)x+3a. ① ? 由方程f(x)+6a=0, ? 得ax2-(2+4a)x+9a=0. ②
?

30

因为方程②有两个相等的实数根, ? 所以Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0, ? 即5a2-4a-1=0, ? 解得a=1或 1 a?? . ? 由于a<0,舍去a=1. 5 ?将 代入①, 1 ? 得f(x)的解析式为 a??
?

5

1 2 6 3 f ( x) ? ? x ? x ? . 5 5 5
31

?

(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a

1 ? 2a 2 a 2 ? 4a ? 1 ? a( x ? ) ? , ? 及a<0, a a ? 可得f(x)的最大值为 2 ? a ? 4a ? 1 . ?由 a 2 ? a ? 4a ? 1 ? a<0,可得 0 ? a ? 故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范 a< ? 2 ? 3或 ? 2 ? 3<a<0. 围是

(??, 2 ? 3 ) ? (?2 ? 3,). ? 0
32

?

点评:二次函数是联系二次方程、二次不 等式的枢纽,解题中常以二次方程为基础, 以二次函数图象为工具,解决有关方程、 不等式、函数等综合问题.

33


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