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全国重点名校2011届高三高考数学期中考试精选38套分类汇编--立体几何


全国重点名校 2013 届高三数学期中考试精选 38 套分类汇编
----立 体 几 何
1.(江西白鹭洲中学 2011 届高三期中考试) 如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长是 2,D 是棱 BC 的中点,点 M 在棱 BB1 上,且 BM=

1 B1M,又 CM ? AC1. 3

(1)求证:

A1B//平面 AC1D; (2)求三棱锥 B1-ADC1 体积. 解: (1)连接 A1C ,交 AC1 于点 E , 连接 DE ,则 DE 是 ?A1 BC 的中位线,

DE // A1 B ,又 DE ? 面ADC1 , A1B ? 面ADC1 ,? A1 B // 面AC1D .
(2)在正三棱锥 ABC ? A1 B1C1 中, D是BC 的中点,则 AD ? 面BCC 1 B1 ,从而 AD ? MC , 又 CM ? AC1 ,则 CM和面ADC1 内的两条相交直线 AD, AC1 都垂直,? MC ? 面ADC1 , 于是 CM ? DC1 ,则 ?CDC1 与 ?MCB 互余,则 tan ?CDC1 与 tan ?MCB 互为倒数,易得 AA1 ? 2 2 , 连结 B1 D ,? S ?B1C1D ? 2 2 ,? AD ? 面B1C1D ,?三棱锥 B1 - ADC1 的体积为

2 6 . 3

方法二:以 D 为坐标原点, DC, DA 为 x , y 轴,建立空间直角坐标系,设 BB1 ? h , 则 D(0,0,0) , B(?1,0,0) , C (1,0,0) , A(0, 3 ,0) , B1 (?1,0, h) , C1 (1,0, h) , A1 (0, 3 , h) , M (?1,0, ) ,

h 4

A1 B ? (?1,? 3,?h) , AD ? (0,? 3 ,0), C1 A ? (?1, 3 ,? h) ,设平面 AC1D 的法向量 n ? ( x, y , z ) ,则
? ? ? ? AD ? n ? 0 ? ? ? ?C A ? n ? 0 ? 1
?

?

?

?

?

? n ? ( h,0,?1) ,? A1 B ? n ? A1 B // 面AC1D 。

?

?

?

(2) CM ? (?2,0, ), AC1 ? (1,? 3, h) , CM ? AC1 , CM ? AC ? ? 2 ? 1
? ?

h 4

?

?

?

h2 ? 0 ,? h ? 2 2 . 4

平面 AC1 D 的法向量为 n ? ( 2 2 ,0,?1) , B A ? (1, 3 ,?2 2 ) 点 B1 (?1,0,2 2 ) 到平面 AC1 D 的距离 1
?

d?

B1 A ? n
?

?

?

n

4 2 ,? S ?ADC 3

?

3 3 1 3 3 4 2 2 6 .?VB ? ADC ? ? . ? ? 1 1 2 3 2 3 3

2.(浙江省温州十校联合体 2011 届高三期中考试) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△PAD 是正三角形,平面 PAD⊥平面 ABCD,E、F、G 分别是 PA、PB、BC 的中点. (I)求证:EF ? 平面 PAD; (II)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小; 解: (I)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ? AD ,∴ AB ? 平面 PAD,∵E、F 为 PA、PB 的中点,
1

∴EF//AB,∴EF ? 平面 PAD; (II)过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O,∵ 平面PAD ? 平面ABCD ,则 PO ? 平面 ABCD. 取 AO 中点 M,连 OG,,EO,EM, ∵EF //AB//OG,∴OG 即为面 EFG 与面 ABCD 的交线 又 EM//OP,则 EM ? 平面 ABCD.且 OG ? AO, 故 OG ? EO。∴ ?EOM 即为所求。 Rt?EOM 中 ,EM= 3, OM=1, ∴tan ?EOM = 3,

?EOM = 60? ∴平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是 60?
方法二: (I)过 P 作 P O ? AD 于 O,∵ 平面PAD ? 平面ABCD , 则 PO ? 平面 ABCD,连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴 建立空间坐标系,∵PA=PD M

? AD ? 4 ,∴ OP ? 2 3 , OD ? OA ? 2 ,

得 A(0,?2,0), B(4,?2,0), C (4,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2 3 ) , E (0,?1, 3 ), F (2,?1, 3 ), G(4,0,0) , 故 EF ? (2,0,0), AD ? (0,4,0), PD ? (0,2,?2 3 ) , ∵ EF ? AD ? 0, EF ? PD ? 0 ,∴EF ? 平面 PAD; (II) EF ? (2,0,0), EG ? (4,1,? 3 ) ,设平面 EFG 的一个法向量

?n ? EF ? 0 ?2 x ? 0 ? ? ,即? 为 n ? ( x, y, z ), 则 ? , ?4 x ? y ? 3z ? 0 ?n ? EG ? 0, ? ?
取z ? 1, 得n ? (0, 3 ,1) ,平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1), 平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角
的余弦值是: | cos ? n, n1 ??

n ? n1 1 ? ,锐二面角的大小是 60? ; | n || n1 | 2

3.(浙江省台州中学 2011 届高三期中考试) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ?BAC ? 90 0 , AC ? AB ? AA1 , E 是 BC 的中点. (1)求异面直线 AE 与 A1C 所成的角; (2)若 G 为 C1C 上一点,且 EG⊥A1C,试确定点 G 的位置; (3)在(2)的条件下,求二面角 C-AG-E 的正切值. 解: (1)取 B1C1 的中点 E1,连 A1E1,E1C,则 AE∥A1E1, ∴∠E1A1C 是异面直线 AE 与 A1C 所成的角。设 AC ? AB ? AA1 ? 2a , 则 A1 E1 ?

2a, A1C ? 2 2a, E1C1 ?
2 1 2

1 B1C1 ? 2a. 2
2a 2 ? 8a 2 ? 6a 2 2 ? 2a ? 2 2a ? 1 。所以异面直 2

? E1C ? E1C ?C 1 C ? 6a. ? 在?A1E 1C 中, cos ?E1 A1C ?
线 AE 与 A1C 所成的角为

? . 3

(2) (1) A1E1⊥B1C1,又因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱.? A 1 E 1 ⊥BCC1B1,又?EG⊥A1C 由 知,

2

?CE1⊥EG.?∠ E 1CC 1 . =∠GEC,? ?E 1CC 1 ~ ?GEC ,?

CG C1 E1 CG 2a ? 即 得 CG ? a ? CE C1C 2a 2a

所以 G 是 CC1 的中点. (3)连结 AG ,设 P 是 AC 的中点,过点 P 作 PQ⊥AG 于 Q,连 EP,EQ,则 EP⊥AC.又?平面 ABC⊥ EP⊥平面 ACC1A1, 而 PQ⊥AG,?EQ⊥AG.?∠PQE 是二面角 C-AG-E 的平面角. 平面 ACC1A1,

?

由 EP=a,AP=a,PQ=

a 5

,得 tan ?PQE ?

PE ? 5 ,所以二面角 C-AG-E 的平面角正切值是 5 . PQ

4.(浙江省台州中学 2011 届高三期中考试) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ?
A

2.

(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦值的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离. 解: (I)连结 OC,? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD.
B O

D

E

C

? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD. 在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO 2 ? CO 2 ? AC 2 , ??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.? BD ? OC ? O,

A

? AO ? 平面 BCD
(II)取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点 知 ME∥AB,OE∥DC .?直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角. 在 ?OME 中 , E M ?
O B D

M

E

C

1 2 1 A B? , OE? DC?1,?OM 是 直 角 ?AOC 斜 边 AC 上 的 中 线 , 2 2 2

? OM ?

1 2 ? 2 AC ? 1, ? cos ?OEM ? , 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos . 2 4 4

(III)设点 E 到平面 ACD 的距离为 h. ∵ VE ? ACD ? VA?CDE ,? h ? S? ACD ? 在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ?

1 3

1 ? AO ? S? CDE 3

2, ? S ?ACD ?

1 2 7 ? 2 ? 22 ? ( ) 2 ? . 2 2 2

而 AO ? 1, S?CDE ?

1 3 2 3 ? h ? AO.S ?CDE ? ? ?2 ? , S ?ACD 2 4 2

1?

3 2 ? 21 . ?点 E 到平面 ACD 的距离为 7 7 2 z
A

21 . 7
D

方法二: (I)同方法一.
x B

O E C y

3

(II)以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0), D(?1,0,0),

??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? ( ?1, 0,1), CD ? ( ?1, ? 3, 0). 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? ??? ? , ?异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos 2 . ? ? 4 BA CD 4 ? ???? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1,0, ?1) ? 0, ? ? (III)设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则 ? ? ???? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0, ?
? x ? z ? 0, ? ??? ? ? 1 3 ?? 令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量。又 EC ? (? , , 0), ? 3 y ? z ? 0. 2 2 ? ??? ? ? EC.n 3 21 ? . ?点 E 到平面 ACD 的距离 h ? ? ? 7 7 n
5.(河北省唐山一中 2011 届高三期中考试) 已知四棱锥 P—ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD.异面直线 PB 与 CD 所成的角为 45° .求: (1)二面角 B—PC—D 的大小; (2)直线 PB 与平面 PCD 所成的角的大小. 解: (1)∵AB∥CD,∴∠PBA 就是 PB 与 CD 所成的角, , 即∠PBA=45° 于是 PA=AB. BE⊥PC 于 E, 作 连接 ED, 在△ECB 和△ECD 中,BC=CD,CE=CE,∠ECB=∠ECD, △ECB≌△ECD, ,∠BED 就是二面角 B—PC—D 的平面角. ∴∠CED=∠CEB=90° 设 AB=a,则 BD=PB= 2 a ,PC= 3a ,BE=DE=

PB ? BC 6 ? a, PC 3

cos∠BED=

BE 2 ? DE 2 ? BD 2 1 ,二面角 B—PC—D 的大小为 120° . ? ? ,∠BED=120° 2 BE ? DE 2

(2)还原棱锥为正方体 ABCD—PB1C1D1,作 BF⊥CB1 于 F,∵平面 PB1C1D1⊥平面 B1BCC1, ∴BF⊥平面 PB1CD,连接 PF,则∠BPF 就是直线 PB 与平面 PCD 所成 的角. BF=

1 2 .所以就是直线 PB a ,PB= 2 a ,sin∠BPF= ,∠BPF=30° 2 2

与平面 PCD 所成的角为 30° . 6.(安徽省河历中学 2011 届高三期中考试) 在如图所示的几何体中.EA⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,AC⊥BC,且 AC=BC=BD=2AE=2,M 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:CM⊥EM ; (Ⅱ)求多面体 ABCDE 的体积 (Ⅲ)求直线 DE 与平面 EMC 所成角的正切值.

4

解:(I)? AC ? BC , M 是 AB 的中点,? CM ? AB .又? EA ? 平面 ABC ,? CM ? EM . (II)连结 MD ,设 AE ? a ,则 BD ? BC ? AC ? 2 ,在直角梯形 EABD 中, AB ? 2 2a , M 是 a

AB 的中点.? DE ? 3a , EM ? 3a , MD ? 6a .? DM ? EM .? CM ? 平面 EMD ,

? CM ? DM ,? DM ? 平面 EMC ,? ?DEM 是直线 DE 和平面 EMC 所成的角.
在 Rt△EMD 中, MD ? 成的角的正切值为 2 .

6a , EM ? 3a , tan ?DEM ?

MD ? 2 .所以直线 DE 与平面 EMC 所 EM

5


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