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(5)高中立体几何中线面平行的常见方法


高中立体几何证明平行的专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法: (1) 通过“平移” 。 (2) 利用三角形中位线的性质。 (3) 利用平行四边形的性质。 (4) 利用对应线段成比例。 (5) 利用面面平行,等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,

点 E、F 分 点.求证:AF∥平面 PCE; 分析:取 PC 的中点 G,连 EG.,FG,则易证 AEGF 是平行四边形
F

别为棱 AB、 PD 的中
P

E B

A C

D

(第 1 题图) 2、如图,已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+ 3 , 过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,G、F 分别为 AD、CE 的中点,现将△ADE 沿 AE 折叠,使 得 DE⊥EC. (Ⅰ)求证:BC⊥面 CDE; (Ⅱ)求证:FG∥面 BCD; 分析:取 DB 的中点 H,连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形
D E F C G G E F

D

1
C

A

B

A

B

3、已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D, E, F 分别为 AA1, CC1, AB 的中点, M 为 BE 的中点, AC⊥BE. 求证: (Ⅰ)C1D⊥BC; (Ⅱ)C1D∥平面 B1FM.

C1

分析:连 EA,易证 C1EAD 是平行四边形,于是 MF//EA

B1

E M C

A1

D

B

F

A

4、 如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形, BA ? AD, CD ? AD, CD=2AB, E 为 PC 的中点, 证明: EB // 平面PAD ; 分析::取 PD 的中点 F,连 EF,AF 则易证 ABEF 是 平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质
5、如图,已知 E 、 F 、G 、 M 分别是四面体的棱 AD 、CD 、 BD 、 BC 的中点,求证:

AM ∥平面 EFG 。
分析:连 MD 交 GF 于 H,易证 EH 是△AMD 的中位线

A E B G M F C D

6、如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是 PC 的中点。 求证: PA ∥ 平面 BDE
2

7.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D 为 AC 的中点. 求证:AB1//面 BDC1; 分析:连 B1C 交 BC1 于点 E,易证 ED 是 △B1AC 的中位线

8、如图,平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 900 , BC

// ?

1 AD , BE 2

// ?

1 AF , G , H 分别为 FA, FD 的中点 2

(Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ) C , D, F , E 四点是否共面?为什么?

(.3)

利用平行四边形的性质

9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD 的中心,M 为 BB1 的中点, 求证: D1O//平面 A1BC1;

分析:连 D1B1 交 A1C1 于 O1 点,易证四边形 OBB1O1 是平行四边形

3

D

1 10、在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB= DC, E为PD中点 . 2
求证:AE∥平面 PBC; 分析:取 PC 的中点 F,连 EF 则易证 ABFE 是平行四边形

A E B P C

11、在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB= 90? ,EA⊥平面A BCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE; (Ⅱ) 若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.

(I)证法一: 因为 EF//AB,FG//BC,EG//AC, ?ACB ? 90? , 所以 ?EGF ? 90?, ?ABC ∽ ?EFG. 由于 AB=2EF,因此,BC=2FC, 连接 AF,由于 FG//BC, FG ?

1 BC 2 1 BC 2

在 ? ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,则 AM//BC,且 AM ?

因此 FG//AM 且 FG=AM,所以四边形 AFGM 为平行四边形,因此 GM//FA。 又 FA ? 平面 ABFE, GM ? 平面 ABFE,所以 GM//平面 AB。

(4)利用对应线段成比例
12、如图:S 是平行四边形 ABCD 平面外一点,M、N 分别 是 SA、BD 上的点,且 求证:MN∥ 平面 SDC

AM BN = , SM ND

分析:过 M 作 ME//AD,过 N 作 NF//AD 利用相似比易证 MNFE 是平行四边形
4

13、如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB,M,N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN 求 证:MN∥平面 BEC C A 分析:过 M 作 MG//AB,过 N 作 NH/AB 利用相似比易证 MNHG 是平行四边形 D A M A

B A N A

E A

A

(6) 利用面面平行
?

F A

14、如图,三棱锥 P ? ABC 中,PB ? 底面 ABC ,?BCA ? 90 , PB=BC=CA,E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM / / 平面 BEF ; 分析: 取 AF 的中点 N,连 CN、MN,易证平面 CMN//EFB

5


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