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2014届高考数学一轮复习 第8章《平面解析几何》(第4课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 8 章《平面解析 几何》 (第 4 课时) (新人教 A 版)
一、选择题 2 2 1.(2012?高考广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x +y =4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于( ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 5 2 2 解析:选 B.圆 x +y

=4 的圆心(0,0)到直线 3x+4y-5=0 的距离 d= 2 2=1,圆 3 +4 的半径为 2,所以弦长|AB|=2 2 -1 =2 3,故选 B. 2 2 2.已知圆 C:x +y -4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( ) A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 2 解析:选 A.把点 P(3,0)代入圆的方程的左侧得 3 +0-4?3=-3<0,故点 P(3,0)在 圆的内部,所以过点 P 的直线 l 与圆 C 相交,选 A. → → 2 2 3.设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2) +y =3 的圆心,且圆上有一点 M(x,y)满足OM?CM =0,则 =( A. 3 3
2 2

y x

) B. 3 3 或- 3 3

D. 3或- 3 → → 解析:选 D.∵OM?CM=0,∴OM⊥CM,∴OM 是圆的切线.设 OM 的方程为 y=kx, |2k| y 由 2 = 3,得 k=± 3,即 =± 3. x k +1 2 4.(2012?高考天津卷)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y 2 -1) =1 相切,则 m+n 的取值范围是( ) A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 2 |m+n| ? m+n? 解析: D.由题意可得, 选 =1, 化简得 mn=m+n+1≤ , 2 2 4 ? m+1? +? n+1? 解得 m+n≤2-2 2或 m+n≥2+2 2,故选 D. 5.设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 解析:选 C.∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b), 2 2 2 2 2 2 则有(4-a) +(1-a) =a ,(4-b) +(1-b) =b , 2 2 2 即 a,b 为方程(4-x) +(1-x) =x 的两个根, 2 整理得 x -10x+17=0,∴a+b=10,ab=17. 2 2 ∴(a-b) =(a+b) -4ab=100-4?17=32, )

C. 3

1

∴|C1C2|= (a-b) +(a-b) = 32?2=8. 二、填空题 2 2 6.(2013?沈阳月考)直线 x-2y+5=0 与圆 x +y =8 相交于 A、B 两点,则|AB|= ________. 解析:
2 2

如图,取 AB 中点 C,连接 OC、OA.则 OC⊥AB, |OA|=2 2,|OC|= |0-2?0+5| = 5, 2 2 1 +? -2? ∴|AC|= 8-5= 3, ∴|AB|=2|AC|=2 3. 答案:2 3 2 2 2 2 7.已知圆 C1:x +y -6x-7=0 与圆 C2:x +y -6y-27=0 相交于 A、B 两点,则线 段 AB 的中垂线方程为________. 解析:AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2 的连心线 C1C2,又 C1(3,0),C2(0,3),∴C1C2 的方程 为 x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 2 2 8. (2011?高考湖北卷)过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x +y -2x-2y+1=0 截得的弦 长为 2,则直线 l 的斜率为__________. 解析:由题意知直线要与圆相交,必存在斜率,设为 k,则直线方程为 y+2=k(x+1), 2 2 又圆的方程可化为(x-1) +(y-1) =1,圆心为(1,1),半径为 1, |k-1+k-2| ? 2?2 ∴圆心到直线的距离 d= = 1-? ? , 2 ?2? 1+k 17 解得 k=1 或 . 7 17 答案:1 或 7 三、解答题 2 2 9.(2013?枣庄月考)已知:圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 2 2 2 2 解:将圆 C 的方程 x +y -8y+12=0 配方得标准方程为 x +(y-4) =4,则此圆的圆 心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切, |4+2a| 3 则有 =2.解得 a=- . 2 4 a +1 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

2

?|CD|= a +1 , ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , ?|DA|=1|AB|= 2. ? 2
|4+2a|
2 2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求 直线方程为 7x- y+14=0 或 x-y+2=0. 2 2 10.已知圆 C:x +y -4x-6y+12=0,点 A(3,5),求: (1)过点 A 的圆的切线方程; (2)O 点是坐标原点,连接 OA,OC,求△AOC 的面积 S. 2 2 解:(1)⊙C:(x-2) +(y-3) =1. 当切线的斜率不存在时,有直线 x=3,C(2,3)到直线的距离为 1,满足条件. |-k+2| 3 当切线的斜率存在时, 设直线 y-5= k(x-3), y=kx+5-3k, 即 =1, 解得 k= . 2 4 k +1 3 11 ∴直线方程为 x=3 或 y= x+ . 4 4 (2)|AO|= 9+25= 34,

lAO:5x-3y=0,点 C 到直线 OA 的距离 d= S△AOC= d|AO|= .
1 2 1 2

1

, 34

一、选择题 1.若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 C 位于 y 轴左侧,且截直线 x+2y=0 所得的弦长 为 4,则圆 C 的方程是( ) 2 2 2 2 A.(x- 5) +y =5 B.(x+ 5) +y =5 2 2 2 2 C.(x-5) +y =5 D.(x+5) +y =5 解析:选 B.设圆心为(a,0)(a<0),因为截得的弦长为 4,所以弦心距为 1,则 d= |a+2?0| 2 2 =1,解得 a=- 5,所以,所求圆的方程为(x+ 5) +y =5. 2 2 1 +2 2 2 2.(2013?大连质检)直线 y=kx+3 与圆(x-3) +(y-2) =4 相交于 M,N 两点,若 | MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( ) 3 3? ? ? 2 ? A.?- ,0? B.?- , ? ? 3 ? 3 3 ? ? 3 ? 3? ? ? C.?- ,0? D.?-∞,- ?∪[0 ,+∞) 4 ? 4? ? ? 2 2 解析:选 C.圆(x-3) +(y-2) =4 的圆心为(3,2),半径为 2,圆心到直线 y=kx+3 |3k-2+3| |3k+1| 的距离为 d= = . k2+1 k2+1 则|MN|=2 ∴?

?|3k+1|?2 4-? ? ≥2 3, 2 ? k +1 ?

?|3k+1|?2 ? ≤1,即 2k(4k+3)≤0. 2 ? k +1 ?

3 解得- ≤k≤0. 4

3

二、填空题 2 2 3.(2012?高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0, 若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. |4k-2| |4k-2| 解析: 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d, d= 2 则 , 由题意知 d= k +1 k2+1 4 4 ≤2,解得 0≤k≤ ,所以 kmax= . 3 3 4 答案: 3 4.(2012?高考江西卷)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x +y =1 的两条切线,若两 条切线的夹角是 60°,则点 P 的坐标是________. 解析:∵点 P 在直线 x+y-2 2=0 上,∴可设点 P( x0,-x0+2 2),且其中一个切点 为 M.∵两条切线的夹角为 60°,∴∠OPM =30°.故在 Rt△OPM 中,有|OP|=2|OM|=2.由 两点间的距离公式得|OP|= x0+? -x0+2 2? =2,解得 x0= 2.故点 P 的坐标是( 2, 2). 答案:( 2, 2) 三、解答题 5.(2013?北京海淀区期末)已知圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2),且圆心 C 在直线 y= x 上,又直线 l:y=kx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点. (1)求圆 C 的方程; → → (2)若OP?OQ=-2,求实数 k 的值; (3)过点(0,1)作直线 l1 与 l 垂直,且直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点,求四边形 PMQN 面 积的最大值. 解:(1)设圆心 C(a,a),半径为 r. 因为圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2), 所以|AC|=|BC|=r,易得 a=0,r=2. 2 2 所以圆 C 的方程是 x +y =4. → → → → → → (2)因 为OP?OQ=2?2?cos〈OP,OQ〉=-2,且OP与OQ的夹角为∠POQ, 1 所以 cos∠POQ=- ,∠POQ=120°, 2 所以圆心 C 到直线 l:kx-y+1=0 的距离 d=1, 1 又 d= 2 ,所以 k=0. k +1 (3)设圆心 O 到直线 l,l1 的距离分别为 d,d1,四边形 PMQN 的面积为 S. 因为直线 l,l1 都经过点(0,1),且 l⊥l1, 2 2 根据勾股定理,有 d1+d =1. 2 2 又易知|PQ|=2? 4-d ,|MN|=2? 4-d1, 1 所以 S= ?|PQ|?|MN|, 2 1 2 2 即 S= ?2? 4-d ?2? 4-d1 = 2 1 12+ =7, 4 当且仅当 d1=d 时,等号成立,所以四边形 PMQN 面积的最大值为 7.
2 2 2 2

d2+d2? +d2?d2= 1 1 2 2 ?d1+d ?2=2 2 2 2 12+d1?d ≤2 12+? ?
2 16-4?

? 2 ?

4

5


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