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2013-2014学年高中数学(人教A版选修1-2)同步检测:第2章 推理与证明 2.1.1(二) (Word版含答案)


2.1.1
一、基础过关 1.下列推理正确的是

合情推理(二)

(

)

A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin (x+y)类比,则有 sin(x+y)=sin x+sin y C.把 a(b+c

)与 ax y 类比,则有 ax y=ax+ay
+ +

D.把 a(b+c)与 a· (b+c)类比,则有 a· (b+c)=a· b+a· c 2.下面几种推理是合情推理的是 ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180° ,归纳出所有三角形的内角和 都是 180° ; ③张军某次考试成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° ,由此得凸多边形内 角和是(n-2)· 180° . A.①② C.①②④ B.①③ D.②④ ( )

3.在等差数列{an}中,若 an<0,公差 d>0,则有 a4· a6>a3· a7,类比上述性质,在等比数列{bn} 中,若 bn>0,q>1,则下列有关 b4,b5,b7,b8 的不等关系正确的是 A.b4+b8>b5+b7 B.b5+b7>b4+b8 C.b4+b7>b5+b8 D.b4+b5>b7+b8 底×高 4.已知扇形的弧长为 l,半径为的 r,类比三角形的面积公式:S= ,可推知扇形面积 2 公式 S 扇=________. ( )

? x =x +x3 +x 5. 类比平面直角坐标系中△ABC 的重心 G( x ,y )的坐标公式? y +y +y ?y= 3
1 2 1 2

3

(其中 A(x1,

3

y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)),猜想以 A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4, z3)为顶点的四面体 A—BCD 的重心 G( x , y , z )的公式为________.

6.公差为 d(d≠0)的等差数列{an}中,Sn 是{an}的前 n 项和,则数列 S20-S10,S30-S20,S40- S30 也成等差数列,且公差为 100d,类比上述结论,相应地在公比为 q(q≠1)的等比数列{bn} 中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则有_____________________________________. 二、能力提升 7.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是________.(填序号) ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交; ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则也与另一条垂直; ③如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交或平行; ④如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行. 8.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质中, 你认为比较恰当的是________.(填序号) ①各棱长相等,同一顶点上的两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. 9.已知抛物线 y2=2px(p>0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线 l1、l2,若 l1 与抛物线交于 P、 Q 两点,l2 与抛物线交于 M、N 两点,l1 的斜率为 k,某同学已正确求得弦 PQ 的中点坐标 p p 为( 2+p, ),请你写出弦 MN 的中点坐标:________. k k 10.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中 a2 一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两 4 个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的 体积恒为________.

11.如图(1),在平面内有面积关系 明你的结论.

S△PA′B′ PA′ PB′ = · ,写出图(2)中类似的体积关系,并证 PA PB S△PAB

12. 如图所示,在△ABC 中,射影定理可表示为 a=b· cos C+c· cos B,其中 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.

三、探究与拓展 13.已知在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,有 1 1 1 = + 成立.那么在四面体 A AD2 AB2 AC2

-BCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明猜想是否正确及给出理由.

答案
1.D 2.C 1 3.A 4. lr 2

? ? y +y +y +y 5.? y = 4 z +z ? ? z =z +z + 4
1 2 3 1 2 3

x1+x2+x3+x4 x= 4
4

4

6.

T20 T30 T40 , , 也成等比数列,且公比为 q100 T10 T20 T30

7.② 8.①②③ 9.(pk2+p,-pk) a3 10. 8 S△PA′B′ PA′ PB′ 11.解 类比 = · , PA PB S△PAB 有 VP—A′B′C′ PA′ PB′ PC′ = · · . VP—ABC PA PB PC

证明:如图(2):设 C′,C 到平面 PAB 的距离分别为 h′,h. 则 h′ PC′ = , h PC

1 · S · h′ VP—A′B′C′ 3 △PA′B′ 故 = VP—ABC 1 S · h 3 PAB = = PA′· PB′· h′ PA· PB· h PA′· PB′· PC′ . PA· PB· PC

12.解 如图所示,在四面体 P-ABC 中,设 S1,S2,S3,S 分别表示△PAB,△PBC,△PCA, △ABC 的面积,α,β,γ 依次表示面 PAB,面 PBC,面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小.

我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为:S=S1· cos α+S2· cos β+S3· cos γ.

13.解 类比 AB⊥AC,AD⊥BC,可以猜想四面体 A-BCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AE⊥ 1 1 1 1 平面 BCD.则 2= 2+ 2+ 2.猜想正确. AE AB AC AD 如图所示,连接 BE,并延长交 CD 于 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF?平面 ACD, ∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 1 1 = + . AE2 AB2 AF2

在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, ∴ ∴ 1 1 1 . 2= 2+ AF AC AD2 1 1 1 1 , 2= 2+ 2+ AE AB AC AD2

故猜想正确.


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