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2.2 等差数列(1)


2.2 等差数列(1)

复习:数列的表示方法有几种?分别是什么? 数列的表示方法有:列表法、图像法、通项公 式法、递推公式法。其中一般利用数列的通项

公式与数列的递推公式来表示数列及体现数列
的这一列数的规律。

请同学们看课本第37—38页,观察现实生活中
遇到的特殊数列,其特殊的规律是什么?并完成课

本提出的问题。
(1)数列0,5,10,15,20,…… (2)数列48,53,58,63,……

(3)数列18,15.5,13,10.5,8,5.5,……
(4)数列10072,10144,10216,10288,10360。

知识点:
1:等差数列的定义:若数列 ? a n ? 满足

a n ? a n ? 1 ? d ( n ? 2, n ? N , d 为常数)
*

则称数列 ? a n ? 是等差数列。
其中,a 1 称为数列 ? a n ? 的首项,d称为数列的公差。 2:等差中项的定义:若数 a , A , b 成等差数列, 则称A为 a 与 b 的等差中项。

3:利用等差中项表示等差数列:

若数列 ? a n ? 满足 a n ?1 ? a n ? 1 ? 2 a n ( n ? 2, n ? N )
*

且已知首项 a 1 ,则称数列 ? a n ? 是等差数列。

4:等差数列的通项公式及其推导方法:
(1)推导方法:叠加法。

(2)通项公式: a n ? a1 ? ( n ? 1) d

几点说明:(1)从等差数列的通项公式可知,求 等差数列的通项公式,只须求出 a 1 , d(通法); (2)从方程思想角度理解:只须找到 a 1 , d 的 两个方程即可确定等差数列。 (3)数列的通项公式建立了 a1 , d , n , a n 四个

量之间的关系,所以利用通项公式可达到
“知三求一”。

例题讲练: 一:求等差数列的通项公式:

例题1:求等差数列5,8,11, ? , 的第100项。
例题2:在等差数列 ? a n ? 中,已知 a 3 ? 9, a 7 ? 1

求这个数列的通项公式 a n 。
例题3:已知数列? a n ? 满足 a 1 ? ? 5,

a n ? a n ? 1 ? 4 ( n ? 2 ) ,问 – 401是否是这个
数列的项?如果是,是第几项?

小结:求等差数列的通项公式的通用通法:利用 方程的思想确定首项 a 1 与公差d即可。

二:证明等差数列的方法:
例题1:已知数列? a n ? 的通项公式为 a n ? ? 2 n ? 3 . 求证:数列 ? a n ? 是等差数列,并求出公差。 小结:证明等差数列的方法:

(1)定义法;(2)等差中项法。

三:等差数列与一次函数的关系:
例题4(1)已知数列? a n ? 的通项公式为

a n ? ? 2 n ? 3 ,问这个数列是否是等差数列?
如果是,请加以证明。 (2)已知数列 ? a n ?的通项公式为 a n ? p n ? q
其中 p , q 为常数。问这个数列是否是等差数列? 如果是,请加以证明。

小结1:若数列的通项公式满足一次函数的关系, 则这个数列一定是等差数列;反之不成立。 小结2:证明一个数列是等差数列的方法有两种: (1)等差数列的定义(2)等差中项。 判断一个数列是等差数列的方法有三种: (1)等差数列的定义(2)等差中项 (3)通项公式满足一次函数关系


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