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物理竞赛讲义七天体运动


取离地球中心无穷远处为引力势能的零点,则物体在距地球重心为 r 处的引力势能可表 示为: E P ? ?G

Mm r

设地面上卫星的发射速度为 v 发, 先假定发射时不计空气阻力, 地球卫星进入地球轨道半 径 r 处时,卫星环绕速度为 v,则由机械能守恒定律,可得

1 Mm 1 2 Mm 2 mv 发 ? G ?

mv ? G 2 R 2 r

又 ∵v ?

GM , 将其代入上式可得: r GM ( 2 1 ? ) R r

1 Mm m GM Mm Mm 2 mv 发 ? G ? ? ?G ? ?G 2 R 2 r r 2r

∴ v发 ?

从 v 发可知地球卫星环绕半径 r 越大时,人造地球卫星所要求的发射速度就越大;若考虑 空气阻力,当 r 越大时,卫星运行的速度就越小,但发射时须达到的速度就越大。也就是向 高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难的原因。 从另一方面看, 向高轨道发射卫星火箭 要克服地球对它的引力就要做更多的功。 要发射一个贴“地皮”飞行的人造地球卫星,这时的 r 是最小的,从 v 发可知卫星发射 速度也是最小的,将 r=R 代入上式的 v 发,得: v发 ? GM / R 第一宇宙速度: 在地面上发射一航天器, 使之能饶地球的圆轨道运行所需要的最小发射速度。

GM e m v2 ?m 航天器的动能: ∵ r2 r
航天器和地球系统的势能: E p ? ?

∴ v?

GM e r

Ek ?

1 2 GM e m mv ? 2 2r

GM e m re
GM e m 2r

则航天器和地球系统的机械能: E ? Ek ? E p ? ? 由机械能守恒:

GM e m GM e m 1 mV 2 ? ?? 2r 2 Re

发射时的动能为:

GM e m GM e m 1 ? mV 2 ? 2r 2 Re
可见航天器发射的越高,即 r 越大,所需的初动能越大。发射的最小能量对应的是在地球 表面附近(大气层外)的轨道,其半径 r 近似等于地球的半径 Re,得第一宇宙速度:

V1 ?

GM e ?7.9 s km / Re

第二宇宙速度 在地面上发射一航天器, 使之能脱离地球的引力场所需的最小发射速度, 称为第二宇宙速度。 一个航天器在它的燃料烧完后逃离地球的过程中, 该系统附合机械能守恒的条件。 由此

即可求得第二宇宙速度 V2。设航天器在燃料烧完后的动能 Ek ?

1 mV22 。然后继续飞行,直 2

' ' 到脱离地球引力场,此时势能为 EP 。再设动能 Ek ? 0 (对应最小的发射速度) ,故有:

GM e m 1 ' mV22 ? ? Ek' ? EP ? 0 2 Re
所以第二宇宙速度为:

V2 ?

2GM e ? 2V1 ? 11.2km / s Re

人类要登上月球,或要飞向其他行星,首先必须要脱离地球的引力场,因此,所乘坐航 天器的发射速度必须大于第二宇宙速度。 第三宇宙速度 在地球表面发射一航天器, 使之不但要脱离地球的引力场, 还要脱离太阳的引力场所需的最 小发射速度,称为第三宇宙速度。 太阳引力场比地球引力场强的多, 因此一个脱离了地球引力场的航天器, 还应有足够大 的相对太阳的速度,才能逃离太阳引力场。为此,我们先计算一个已远离地球但仍在地球公 转轨道附近运行的航天器(离太阳距离近似为地球公转轨道半径 Rme=1.496×1011m)所需的 最小逃离速度 V0。 这与刚才计算的第二宇宙速度完全类似, 只需在式中以太阳质量 Ms=1.989 ×1030kg 代替 Me,以 Rse 代替 Re,即得:

Ve ?

2GM s ? 42.2km / s Rse

其次,航天器在地球上发射时,应充分利用地球绕太阳公转的转道速度 Ve。计算 Ve 也 很简单,类似于卫星绕地球运转速度的计算,只需在公式 V1 ? 改为 Rse 即可,于是得到:

GM e 中将 Me 改为 Ms,Re Re

Ve ?

GM s ? 29.8km / s Rse

如果航天器沿着地球轨道速度 Ve 的方向发射, 则只要燃料烧完后获得的速度 V3 足够大, 使它在脱离地球引力场时,相对地球还余下速度 V/0,且此 V/0 与 Ve 之和即为逃离太阳系所 需的速度 V0。于是有:

V0/ ? V0 ?Ve ? 12.4km / s
最后,V3 的计算则完全是一个在地球引力场中机械能守恒的问题了,即得:

Mm 1 1 mV32 ? G e ? mV0/ 2 2 Re 2
由此解出 V3 为 : V3 ? V0/ 2 ?

2GM e ? V0/ 2 ? V22 ? 16.7km / s Re

上式计算中已用了 V2 ?

2GM e 式。V3 就是第三宇宙速度。地球上一个速度超过 V3 的 Re

航天器能够先摆脱地球引力场、再摆脱太阳引力场的束缚,飞入茫茫的宇宙。 1.已知地球的赤道半径为 R,地球的自转周期为 T,地表的重力加速度为 g,要在赤道上发 射一颗质量为 m 的人造地球卫星,所需的最小能量。 解:该卫星的最小发射速度为: v小 ? v ? v自 ( v自 为地球的自转速度, v 为环饶速度)



v2 mg ? m R
E小 ?

v ? Rg



1 1 2? 2 2 m(v ? v自) ? m( Rg ? R) 2 2 T

2.某行星围绕太阳 C 沿椭圆轨道运动,它的近日点 A 离开太阳的距离为 a,行星经过近日 点的速度为 vA , 它的远日点 B 离开太阳的距离为 b, 求行星经过远日点的速度为 vB 的大小。 解:不能误认为 A、B 两点的曲率半径为 a、b。实际上 a、b 两点的 曲率半径相等,设为 r。 A a ∴ G

C b

B

v Mm ?m 2 a r

2 A

G
a ? vA b

v Mm ?m 2 b r

2 B

两式的比,得: vB ?

地球 m 绕太阳 M(固定)作椭圆运动,已知轨道半长轴为 A,半长轴 为 B,如图所示,试求地球在椭圆各顶点 1、2、3 的运动速度的大小及 其曲率半径。 解析:对顶点 1、2,由机械能守恒:

2

B A A O C

3

1

1 2 Mm 1 2 Mm mv1 ? G ? mv2 ? G 2 A?C 2 A?C

?? ① ?? ② ∵ C ?

由开普勒第二定律: v1 ( A ? C ) ? v2 ( A ? C ) 由①②得: v1 ?

A2 ? B2

A ? C GM A ? A2 ? B 2 ? B A B GM A

GM A

v1 ?

A ? C GM A ? A2 ? B 2 ? B A B G

∵ G

v2 Mm ?m 1 ( A ? C )2 ?1

v2 Mm ?m 2 ( A ? C )2 ?2

∴ ?1 ? ? 2 ?

B2 A

对顶点 3:

1 2 Mm 1 2 Mm mv1 ? G ? mv3 ? G 2 A?C 2 B

将 v1 代入: v3 ?

GM A

?3 ?

A2 B

3.开普勒从 1609 年一 1619 年发表了著名的开普勒行星运动三定律, 第一定律;所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳在这个椭圆的 一个焦点上; 第二定律:太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等; 第三定律:所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方根跟公转周期的平方的比值相等。 实践证明,开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动。某返回式人造卫星开始沿半径为 r 的圆形轨道饶地球运动,当开动制动火箭后,卫星速度降低并转移到 与地球相切的椭圆轨道,如图所示。求从开动制动火箭计时,卫星经 过多长时间着陆。 (空气阻力不计,地球表面处的重力加速度为 g) 地球
卫星

解析:对近地卫星:∵ G

Mm ? 2? ? ? mg ? m? ? R 2 R ?T ?
2

∴ GM ? R 2 g

R 3 GM R 2 g ? ? ?k T 2 4? 2 4? 2
4? 2 a 3 ? 2 (R ? r)3 ? gR 2 2 gR 2 T/ ? 2 (R ? r)3 ? 2 8 gR 2

对返回式人造卫星转移到与地球相切的椭圆轨道运动时, 设周期为 T /, 半长轴为 a=(r+R)/2 由开普勒第三定律:

a3 R2g ?k? T /2 4? 2

T/ ?

从开动制动火箭计时,到卫星着陆的时间为: t ?

4. (2001 年第十七届广西中学生物理竞赛题,14 分)如图所示,宇宙中某一双星系统,它 们距离目前用天文望远镜观测到的其他星体十分遥远。 两星均为质量分布均匀的圆球, 半径 远小于两星中心的距离 L。两星的质量分别为 m1、m2,它们绕中心连线上某点以相同的角 度匀速运动。万有引力常量为 G。 (A)视该系统为孤立系统(即认为其它星体对它们的作用都可以忽略不计) ,请根据经 典力学计算双星系统的转动角速度 ω0。 (B)用天文望远镜经历长期的观测,结果发现:对各种双星系统,实际观测到的转动 角速度的观测值 ω 大于由经典力学算出的理论值 ω0。 为了解释 ω 与 ω0 的差异, 目前有一种 流行的理论猜测, 认为宇宙中可能还存在一种用望远镜观测不到的暗物质。 某同学据此分析 了 m1=m2 的双星系统——这是最简单的情形,他假设对这种系统作用的暗物质,也是一个 质量分布均匀的圆球,也服从经典力学定律。 请你想一想:该同学这个假设是否可以解释 ω 与 ω0 的差异,说说你的看法。如认为可 以,请预告该暗物质星球在什么位置和它的质量。 (教 0202) 分析:如图所示,设半径分别为 r1、r2,顺时针方向转动: (A)∵ G

m1 m2 mm 2 2 ? m1 r1? 0 ??(1) G 1 2 2 ? m2 r2? 0 ??(2) 2 L L

m2 m1 O

又∵ r1 ? r2 ? L

??(3)



?0 ?

G(m1 ? m2 ) L3

(B)该同学这个假设是否可以解释 ω 与 ω 0 的差异。可判断,该暗物质星球只能位于双星 运转的共同圆心 O 上,由于它的吸引,使双星受到的引力增大,故双星转动的向心力增大, 角速度也增大,即 ω >ω 0。设该暗物质星球的质量为 M,对于 m1 ? m2 ? m 的双星系统, 有: r1 ? r2 ?

L 。 2

∴G

m2 M ?m ?G ? m( L / 2)? 2 2 2 L ( L / 2)

M?

( L3? 2 ? 2Gm) ( L3? 2 ? 2Gm1 ) ( L3? 2 ? 2Gm2 ) ? ? 8G 8G 8G

经过天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研究,使 我们对宇宙中物质的存在形式和分部有了较深刻的认识, 双星系统由两个星体构成, 其中每 个星体的线度都远小于两星之间的距离, 一般双星系统距离其他星体很远, 可以当作孤立系 统处理,现根据对某一双星系统的光学测量确定,该双星系统中每个星体的质量 M,两者 相距 L,它们正围绕两者连线的中点作圆周运动。 (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算; (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观测,且 T 观测∶T 计算=1∶ N (N >1) ,为了解释 T 观测 与 T 计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗 物质, 作为一种简化模型, 我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗 物质, 而不考虑其他暗物质的影响, 试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物 质的密度。 解析: (1)∵ G

M2 v2 ?M L2 L/2

∴ v?

GM 2L

T计算 ?

2? ( L / 2) 2L ??L v GM

(2)由于 T观测 ?

1 T计算 ? T计算 ,故说明双星系统受到的向心力大于本身的引力,故一定 N

受到其他指向中心的作用力,由题意可知,这一作用来源于均匀分布的暗物质,均匀分布在 球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 M/、位于中点处的质
2 v观 M2 MM / 点相同, 由于暗物质作用后双星的速度即为观察速度 v观 , G 2 ? G 则: ?M L ( L / 2)2 L/2

v观 ?

G M ? 4M /) ( 2L
1 1 1 ? v观 N v

由于在同一轨道上,周期与速度成反比,故:

N ?1 GM G M ? 4M /) ( / M 将v ? 、 v观 ? 代入,得: M ? 4 2L 2L


4 ? L? N ?1 ?? ? ?? M 3 ?2? 4
3

??

3 (N ? 1 ) M 2? L3

经过天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研究,使 我们对宇宙中物质的存在形式和分部有了较深刻的认识, 双星系统由两个星体构成, 其中每 个星体的线度都远小于两星之间的距离, 一般双星系统距离其他星体很远, 可以当作孤立系 统处理,现根据对某一双星系统的光学测量确定,该双星系统中每个星体的质量 M,两者 相距 L,它们正围绕两者连线的中点作圆周运动。 (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算; (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观测,且 T 观测∶T 计算=1∶ N (N >1) ,为了解释 T 观测 与 T 计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗 物质, 作为一种简化模型, 我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗 物质, 而不考虑其他暗物质的影响, 试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物 质的密度。

M2 v2 解析: (1)∵ G 2 ? M L L/2
(2)由于 T观测 ?

∴ v?

GM 2L

T计算 ?

2? ( L / 2) 2L ??L v GM

1 T计算 ? T计算 ,故说明双星系统受到的向心力大于本身的引力,故一定 N

受到其他指向中心的作用力,由题意可知,这一作用来源于均匀分布的暗物质,均匀分布在 球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 M/、位于中点处的质
2 v观 M2 MM / 点相同, 由于暗物质作用后双星的速度即为观察速度 v观 , G 2 ? G 则: ?M L ( L / 2)2 L/2

G M ? 4M /) ( v观 ? 2L
由于在同一轨道上,周期与速度成反比,故:

1 1 1 ? v观 N v

将v ?

N ?1 GM G M ? 4M /) ( / M 、 v观 ? 代入,得: M ? 4 2L 2L
3

4 ? L? N ?1 ∴ ?? ? ?? M 3 ?2? 4

??

3 (N ? 1 ) M 2? L3

5.人在地球表面做跳跃动作时,假定每次能使重心升高 1.5m 。设想人在小行星上作同样

的跳跃动作, 若人能通过跳跃而脱离小行星, 试估算小行星的半径应为多大?设小行星的质 量密度与地球相同,又已知地球半径为 R0=6400km。 分析: 人在地球表面做跳跃动作时和人在小行星上作同样的跳跃动作时, 消耗人自身的能量 相同,且人在跳跃过程中只受地球和小行星的引力,其他阻力均不计,系统的机械能守恒。 人能通过跳跃而脱离小行星,意指人通过跳跃后能运动到无穷远,不再返回小行星。 解:人在地球表面每跳跃一次,势能增加 mgh,在地球表面具有 mgh 的动能(g 为地球表面 的重力加速度) 。

M ?m ,M、R 分别为小行星的质量和半径。故 R M ?m 跳跃后人和小行星系统的机械能为: mgh ? G 。由于其他阻力均不计,随着人的升 R
人在小行星表面时的引力势能为: ? G 高,人的动能减小而势能增加。 若人能通过跳跃而脱离小行星,即要求人能到达无穷远(引力势能为零)时动能刚好 为零(在小行星表面时系统的总机械能为 mgh ? G 减小为零,势能由 ? G ∴

M ?m 增大为零)。 R M ?m mgh ? G ?0 R

M ?m ,在到达无穷远时动能刚好由 mgh R

?R 又∵ 小行星的质量密度与地球相同,故小行星的质量为: M ? ? ?R ? 地
∵ g ?G

? ? M地 ? ?

3

M地
2 R地

∴ R?

hR地 ? 3.(km) 1

6.如图所示,飞船 a 和 b 均绕地球在低轨道上沿圆轨道运动,半径分别用 ra 和 rb 表示,并 已知 ra―rb=2km,两飞船离地球表面的高度约为数百公里,飞船 a a 3 的质量为 m=1.5×10 kg。为使飞船 a 过渡到飞船 b 的轨道,并与 b 对接,可令飞船 a 的辅助发动机向前喷气,使 a 受到与运动方向相 b ra 反的冲量。试估算所需的总冲量。 rb

E 分析: 对飞船: k ?

1 2 mv 2

E p ? ?G

Mm r

G

Mm v2 ? m? r r2



总能量为: E ? E k ? E p ?

1 2 Mm 1 Mm Mm Mm mv ? G ? G ?G ? ?G 2 r 2 r r 2r

故飞船的轨道半径越大,其动能和速度越小,而总能量则越大。为使飞船由轨道 a 过 渡到轨道 b,必须减小飞船的总能量,使辅助发动机的推力对飞船作负功,其总能量的减小 使其轨道半径和速度的减小,使飞船 a 过渡到飞船 b 的轨道,并与 b 对接。 解:∵ ra ? rb 《 ra 或rb ∴ ra ? rb ? r

在两条轨道上其速度也近似相同: va ? vb ? v 设飞船 a 过渡到飞船 b 的轨道需时间为 ?t ,辅助发动机的平均推力为 F,作负功:

W ? ? F ? v ? ?t ? Eb ? Ea ? G

Mm Mm Mm ?rb ? ra ? ? G Mm ?rb ? ra ? ?G ?G 2ra 2rb 2ra rb 2r 2

通常飞船的轨道半径约为数百千米,故: r ? R地 ? 6400 km ∵ Ek ?

1 1 Mm mv 2 ? G 2 2 r

∴ v ?
2

GM GM GM ? ? 2 ? R地 ? gR地 r R地 R地

F ? ?t ? G

Mm ?ra ? rb ? ? GMm ?ra ? rb ? ? mg ?ra ? rb ? ? 1.9 ?103 ( N ? s) 2 2 2r ? v 2R地 gR地 2 gR地

质量为 m 的登月器连接在质量为 M(=2m)的航天飞机上一起绕月球作圆周运动,其轨道 半径是月球半径 Rm 的 3 倍,某一时刻,将登月器相对航天飞机向运动反方向射出后,登月 器仍沿原方向运动,并沿图中所示的椭圆轨道登上月球表面,在月球表面逗留一段时间后, 经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接, 试求登月器在月球表面可逗留多 2 长时间?已知月球表面的重力加速度为 gm=1.62m/s ,月球的半径 Rm=1.74×106m。 解析:如图所示,设登月器与航天飞机脱离前饶月球运动的共同速度为 v0 ,则:

G

M m ( M ? m) v2 ? (M ? m) 0 (3Rm )2 3Rm

v0 ?

GM m 3Rm
( M m 为月球的质量)

M m Rm 3Rm

2? (3Rm ) 3Rm 运动周期: T0 ? ? 6? Rm v0 GM m
月球表面的重力加速度: g m ?

GM m 2 Rm

故:

GM m ? gm Rm ? 1.62 ?1.74 ?106 ? 2.82 ?106 m2 / s 2 Rm

T0 ? 3 3 8 1 s? 2

9 h4 .

设登月器与航天飞机脱离后饶月球运动的速度分别为 v1、 v2 ,则:

(M ? m)v0 ? mv1 ? Mv2

?? ①

设登月器运动到月球表面时的速度为 v1/,由机械能守恒:

1 2 1 GM m m GM m m mv1 ? ? mv1/ 2 ? 2 2 3Rm Rm

??



由开普勒第二定律:

3Rmv1 ? Rmv1/

?? ③

由②③得: v1 ?

GM m 2 ? v0 6 Rm 2

代入①得: v2 ? ? ?

?3 ?2

?

2? ? v0 4 ? ?

设航天飞机运动到离月球最远处与月球的距离为 KRm,速度为 v2/,同理可得:

1 GM m M 1 GM m M 2 / Mv2 ? ? Mv22 ? 2 2 3Rm KRm
由④⑤得: K ?

?? ④

/ 3Rmv2 ? Rmv2

?? ⑤

3 ?v ? 2 ? 0 ? ?1 ? v2 ?
2

?

19 ? 6 2 ? 5.75 2 2 ?1

故航天飞机运动轨道的半长轴为: dm ? ( K ? 3) Rm / 2 由题意可知,登月器为能沿原轨道回到脱离点与航天飞机实现对接,登月器在月球表面 可逗留时间:

?t ? (n ? 1)TM ? Tm (n=0、1、2??)?? ⑥ ( TM 、 Tm 分别为航天飞机和登月器的
运动周期) 由开普勒第三定律:

TM ? d m ? ?? ? T0 ? 3Rm ?

3/ 2

? K ?3? ?? ? ? 6 ?

3/ 2

? 1.76

Tm ? 2 Rm ? ?? ? T0 ? 3Rm ?

3 / 2

?2? ?? ? ?3?

3 / 2

? 0.54

将 TM ? 1.76T0 、 Tm ? 0.54T0 代入⑥得:

?t ?[ (n ? 1 ) ? 1 . 7 ? 0 T5 4? 6 . ] 0

n 1 ?7 6 ( .

? . h (n=0、1、2??) 1 22) 9.4

登月器在月球表面可逗留的最短时间: 11.5h 。

7.已知物体从地球上挣脱地球引力所需的速度(第二宇宙速度)为第一宇宙速度的 2 倍, 即v ?

2GM ,其中 G,M,R 分别表示万有引力恒量,地球质量,地球半径。对任何一 R

个天体, 物体从该天体上挣脱天体引力所必须的速度叫逃逸速度, 其计算公式跟地球第二宇 宙速度的计算公式一样。 当逃逸速度大于真空中的光速 c 时,就以围着连光子也无法挣脱该 天体的引力而射出,那么外界就无法直接接收到该天体的任何信息,这样的天体称为黑洞。 已知太阳的质量为 2 ? 10 kg。一颗质量为太阳 100 倍的星球,当它坍塌到半径为多大时就
30

会演化为一个黑洞? 解:按临界情况计算,即逃逸速度刚好等于 C: c ?

2GM R

2GM 2 ? 6.67 ?10?11 ? 2 ?1022 ? ? 2.96 ?105 (m) ∴ R? 2 2 2 c ?3.0 ?10 ?
8.天文学家根据天文观察宣布了下列研究成果:银河系中可能存在一个大“黑洞” ,距“黑 洞”60 亿千米的星体以 2000km/s 的速度绕其旋转;接近“黑洞”的所有物质即使速度等 于光速也被“黑洞”吸入,试计算“黑洞”的最大半径

解: G

Mm v2 ? m? r2 r

G

Mm/ c2 ? m/ ? R2 R

R=GM/C2=v2r/C2=(2000×103)2×60×109×103 /(3×108)2=2.7×108(m) 9.当空间探测器从行星旁绕过时,由于行星的引力作用,将“偷”取一部分行星的能量, 可以使探测器的运动速率会增大, 在航天技术中, 这是用来增大人造小天体运动速率的一种 有效方法,称为“弹弓效应” 。1997 年 10 月 15 日发射升空的卡西尼号宇宙飞船,在到达土 星前,也是这样“偷“了两次金星、一次地球的引力使自己加速,直 m 奔土星。当然中途经过巨大的木星更不会放过,照例再”偷“一次, v0 U 如图所示。质量为 m 的空间探测器以相对于太阳的速度 v0,飞向质量 M U0 为 M 的行星,此时行星相对于太阳的速度为 U0,绕过行星后探测器 m 相对于太阳的速度为 v,此时行星相对于太阳的速度为 U,由于 M 》 v0 m,v0、v、U0、U 的方向均可视为相互平行。 (1)试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”及“始末状态总动能相等” 的方程,并在 m<<M 的条件下,用 v0 和 U0 来表示 v。 (2)若质量为 m=150kg 的空间探测器以相对于太阳的速度 v0=10.4km/s,飞向质量为 M=5.67×1026kg 的土星,此时土星相对于太阳的速度为 U0=9.6km/s,绕过土星后探测器相 对于太阳的速度为 v,此时土星相对于太阳的速度为 U,由于 M 》m,v0、v、U0、U 的方 向均可视为相互平行。若探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”及“始末状态 总动能相等” ,则探测器绕过土星后相对于太阳的速度为 v 将增为多大? (3)若探测器飞向行星时其速度 v0 与土星的速度 U0 同方向,则是否仍能产生使探测器速 率增大的“弹弓效应” ,简要说明理由。 解析: (1)由题知探测器和行星组成的系统在作用过程中动量和动能均守恒,规定 U0 方向 为正,则有 MU0—mv0= MU+mv 得: v ?

1 1 2 1 1 mU 02 ? mv 0 ? MU 2 ? mv 2 2 2 2 2
∵ m《M ∴ v ? v0 ? 2u0

?M ? m?v0
M ?m

?

2Mu0 M ?m

(2) v ? v0 ? 2u0 =(10.4+2×9.6) km/s =29.6 km/s (3)不能。若 v0 方向与图中方向相反,则: MU0+mv0= MU+mv 得: v ? ?

1 1 2 1 1 mU 02 ? mv 0 ? MU 2 ? mv 2 2 2 2 2

?M ? m?v0
M ?m

?

2Mu0 M ?m

∵ m《M



v ? ?v0 ? 2u0

由于: v0 ? u0

∴ v ? v0 ? 2u0 ? v0 ,即不能使探测器加速。

故当飞船掠过行星时,利用“弹弓效应”它会“盗“取行星的部分轨道动能,这对于质 量巨大的行星不会造成什么影响,却能显著的提高飞船的速度,如此借助引力,是对推进系 统的有意补充。 10.一空间探测器从某一星体表面垂直升空,假设探测器质量恒为 1500kg,发动机推动力

为恒力,探测器升空中发动机突然关闭,如图表 示其速度随时间的变化情况。 (1)升空后 9s、25s、45s,即在图线上 A、B、C 三点探测器运动情况如何? (2)求探测器在该行星表面达到的最大高度。 (3)计算该行星表面的重力加速度。 (4)假设行星表面没有空气,计算发动机的推进 力。 (5)事实上尽管发动机推动力不变,但由于燃料 的消耗,探测器质量是变化的,在坐标纸上再画 一根图线(草图) ,说明在此情况下速度是如何随时间变化的,在草图上标出与前面 A、B、 C 三点相应的点的位置。 (1)9s 发动机关闭,25s 达最大高度,45s 落回地面; (2)H=9×64/2+(25-9)×64/2=800(m) 2 (3)g=△v/△t=64/(25-9)=4(m/s ) (4)略

11.发射同步卫星的一种方法是:先用火箭将星体送入一近地轨道运行,然后再适时开动星 载火箭,将其通过椭圆形过渡轨道,最后送上与地球自转同步运行的圆形轨道,那么变轨后 与变轨前相比,卫星的: [ B ] A.机械能增大,动能增大 C.机械能减小,动能减小

B.机械能增大,动能减小 D.机械能减小,动能增大

12.如图所示,A、B 两个行星饶同一个恒星做圆周运动,旋转方向相同,A 行星的周期为 T1,B 行星的周期为 T2,在某一时刻两行星相遇(即两行星距离最近) ,则:[B、D ] A.经过时间 t=T1+T2,两行星再次相遇 B.经过时间 t ? C.经过时间 t ? D.经过时间 t ?

T1 ? T2 ,两行星再次相遇 T2 ? T1
T2 ? T1 ,两行星相距最远 2
A B

T1 ? T2 ,两行星相距最远 2(T2 ? T1 )
? 2? 2? ? ? ? ? ? t ? 2n? ? TA TB ?


解法一:∵

? A ? t ? ?B ? t ? 2? ? n

t ? n?

T1 ? T2 (n=1) T2 ? T1

解法二:以 B 为参照物,当 A、B 在一条直线上且在恒星的同侧时,两行星距离最近。设 A 相对 B 的角速度,在旋转方向相同时: ?? ? ? A ? ?B 。当 ?? ? t ? 2? 时,再次相遇。 ∴ t?

T ?T 2? 2? ? ? 1 2 ?? 2? ? 2? T2 ? T1 T1 T2

当旋转方向相反时: ?? ? ? A ? (??B ) 。当 ?? ? t ? 2? 时,再次相遇。 ∴ t?

T ?T 2? 2? ? ? 1 2 。 ?? 2? ? 2? T2 ? T1 T1 T2
? ? ? ? ? 2? 2? ? T1 ? ? 2? 或 n ? 2? ? ? T1 ? ? ? T2 T2 ? ? ?

解法三:设 T2 > T1, ∵ n ? 2? ?



t (T2 ? T1 ) ? T2 T1



T t (T2 ? T1 ) ? 2 T1 2

解析: (1)A、B 两行星在位置距离最近时,A、B 与恒星在同一条圆半径上.A、B 运动方向相 同,A 更靠近恒星,A 的转动角速度大、周期短.如果经过时间 t,A、B 与恒星连线半径转过的 角度相差 2π 的整数倍,则 A、B 与恒星又位于同一条圆半径上,距离最近.设 A、B 的角速度 分别为ω 1、ω 2,经过时间 t,A 转过的角度为ω 1t,B 转过的角度为ω 2t.A、B 距离最近的条件是: ω 1t–ω 2t=n×2π (n=1,2,3??) 恒星对行星的引力提供向心力,则:

GMm GM =mrω 2,ω = 2 r r3
得:t=

由此得出:ω 1=

GM GM 3 ,ω 2= 3 r1 r2

n ? 2? (n=1,2,3??) GM GM ? 3 3 r1 r2
(2k ? 1)? ?11 ? ? 2

(2)如果经过时间 t,A、B 转过的角度相差π 的奇数倍时,则 A、B 相距最远, 即:ω 1t′-ω 2t′=(2k-1)π (k=1,2,3??) 得:t′=

把ω 1、ω 2 代入得:? t′=

(2k ? 1)? (k=1,2, 3??) GM GM ? 3 3 r1 r2

13.如图所示,质量为 m 的飞行器在绕地球的圆轨道上运行,半径为 r1,要进入半径为 r2 的更高的圆轨道Ⅱ,必须先加速进入一个椭圆轨Ⅲ,然后再进入 圆轨道Ⅱ。已知飞行器在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为 v,在 A 点时 通过发动机向后喷出一定质量气体使飞行器速度增加到 v ' 进入椭 圆轨道,设喷出的气体的速度为 u,求: (1)飞行器在轨道上的速度 v1 及轨道Ⅰ处的重力加速度 (2)飞行器喷出气体的质量 解: (1)在轨道Ⅰ上,飞行器所受万有引力提供向心力,设地球质 量为 M ,则有:

v2 Mm =m 1 r1 r12

得:

v1 ?

GM r1

同理在轨道Ⅱ上: v ?

GM r2

得: v1 ?

r2 ?v r1

在轨道Ⅰ上重力加速度为 g / ,则有: G

Mm ? mg / 2 r1

G

r Mm v2 得: g / ? 2 ? v 2 ?m 2 r12 r2 r2

(2)设喷出气体质量为 Δm,由动量守恒得:mv1=(m–Δm)· v′–Δm· u 得:Δm=

v? ? r2 / r1 ? v · m v? ? u

14.2003 年 10 月 15 日 9 时, “神舟”五号飞船在酒泉卫星发射成功,16 日 16 时在内蒙古 主着陆场成功着陆。 “神舟”五号进入太空后先以远地点 350km 左右,近地点 200km 左右 的椭圆轨道上运行,实施变轨后,进入 343km 的圆轨道,共饶地球飞行 14 圈。 (1) “神舟”五号在椭圆轨道上从近地点向远地点运行过程中,其引力势能、动能、机械能 怎样变化? (2)在圆轨道上运行时万有引力提供向心力,试估算其运行速度(已知地球表面重力加速 度 g0=9.8m/s2,地球半径 R0=6400km) 。 (3)若“神舟”五号的引力势能可表示为: E p ? ?

GMm ,且在椭圆轨道上高度为 300km r

处的速度为 7.82×103m/s,试确定“神舟”五号在椭圆轨道远地点、近地点的速度为多少? 解: (1)引力势能增大、动能减小、机械能不变 (2)∵ G

Mm v2 ?m r2 r

r ? R0 ? h

mg0 ? G

Mm R02

∴ v?R

R0 ? 7.794 ?103 (m / s) R0 ? h

(3)设“神舟”五号在椭圆轨道远地点、近地点的速度为 v1、v2,由机械能守恒: ∵

1 2 ? Mm ? 1 2 ? Mm ? mv ? ? ?G ? ? ? mv1 ? ? ?G 2 r ? 2 r1 ? ? ?
1? 2? 1 v1 ? v 2 ? g0 R0 ? ? ? ? 7.792 ?103 (m / s) ? r1 r ?





1 2 ? Mm ? 1 2 ? Mm ? mv ? ? ?G ? ? ? mv2 ? ? ?G 2 r ? 2 r2 ? ? ?
1? 2? 1 v2 ? v 2 ? g0 R0 ? ? ? ? 7.88 ?103 (m / s) ? r2 r ?



9.从地球表面向火星发射火星探测器。设地球和火星都在同一平面上饶太阳作圆周运动, 火星轨道半径为地球轨道半径的 1.5 倍,简单而又比较节省能量的发射过程可以分为两步进

行: (1)在地球表面用火箭对探测器进行加速,使之获得足够的动能,从而脱离地球的引力 作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫星。 (2) 在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发 动机,在短时间内对探测器沿原方向加速,使其速度数值增加到适当值,从而使探测器沿着 一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半椭圆轨道正好射在火星上,如 a 图所 示, 当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后, 在某年 3 月 1 日零时测得探测器与火 0 星之间的角距离为 60 ,如 b 图所示,问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能 使探测器恰好落在火星的表面?(时间的计算只需精确到日,地球的半径为 R0=6.4×106m。 解析:为使火星探测器落到火星上,必须在适当时机点燃探测器上的 火箭发动机,使得探测器沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点,火星 也恰好运行到这一点,故必须首先确定点燃时刻两者的相对位置,探 飞船 太阳 地球 测器在地球的公转轨道上运行的周期 Td 与地球公转的周期相同,即: 火星

Td ? Te ? 365天
由开普勒第三定律,火星的公转周期为:

a

Tm ? Te

?1 . 5 ?

3

? 3 6 5 1 . ? 4 0 天6 7 1 ? 8
火星 60
0

3600 ? 0.5370 / 天 火星饶太阳转动的角速度为: ?m ? 671天
而探测器在椭圆轨道上的半长轴为:

探测器 地球

太阳

a?

2 R0 ? ?1.5R0 ? R0 ? ? 1.25R0 2

b

/ 3 故探测器在椭圆轨道上的运行周期为: Ta ? Te 1.25 ? 365 ?1.400 ? 510天

故探测器从点火至到达火星,需要的时间为: t ?

Td/ ? 255天 2

3600 ? 0.9860 / 天 探测器在点火前饶太阳转动的角速度为: ? d ? ?e ? 365天
由于探测器运行至火星需要 255 天,火星在此期间运行的角度为:

?1 ? ?m ? t ? 0.537 ? 255 ? 1370
即探测器在椭圆轨道在近日点点火时,火星应在其远 日的切点之前 1370,如 c 图所示,亦即点燃发动机时,探 测器与火星的角距离应为: ?2 ? 180 ??1 ? 43 。
0 0

探测器与火星同 时到达的位置 137
0

探测器点火时刻 43
0

火星的位置

探测器点火时刻的位置

c 已知某年 3 月一日零时测得探测器与火星之间的角距 0 0 离为 60 (火星在前,探测器在后) ,为使其角距离变为 43 ,必须等待二者在各自轨道运行 至某个合适的时间,设二者到达合适位置,探测器又经历的天数为 t/,则:

?d t / ? ?mt / ? 600 ? 430

∴ t ?
/

600 ? 430 ? 38天 ?d ? ?m

故点燃探测器上的火箭发动机的时刻应为当年的 3 月 1 日之后的 38 天,即同年的 4 月 7 日。 要发射一颗人造地球卫星,使它在半径为 r2 的预定轨道上绕地球作匀速圆周运动,为此先 将卫星发射到半径为 r1 的近地暂行轨道上绕地球作匀速圆周运动。 如 图所示,在 A 点,实际使卫星速度增加,从而使卫星进入一个椭圆的 r2 转移轨道上, 当卫星到达转移轨道的远地点 B 时, 再次改变卫星速度, B A r1 使它进入预定轨道运行,试求卫星从 A 点到达 B 点所需的时间,设 万有引力恒量为 G,地球质量为 M。 解析:由开普勒第三定律,当卫星经过 A、B 两点时: vB ?

r1 vA r2

1 2 Mm EA ? mvA ? G 2 r1

1 2 Mm EB ? mvB ? G 2 r2
2 vA ?

EA ? EB

?1 1? 1 2 1 2 mv A ? mvB ? GMm ? ? ? 2 2 ? r1 r2 ?

2GMr2 r1 (r 1? r ) 2

2 vB ?

2GMr1 r2 (r 1? r ) 2

卫星扫过的面积(或面积速度)为: S ? S A ? S B ? 椭圆的面积为: ? ? ab 周期: T ? 其中: a ?

r1 ? r2 2

1 r ? vA 2

b ? r1r2

? ? ab
S

??

(r1 ? r2 )3 r ?r ? ? (r1 ? r2 ) 1 2 2GM 2GM
T ? (r1 ? r2 ) r1 ? r2 ? 2 2 2GM

星从 A 点到达 B 点所需的时间: t ?

2004 年,现代版“嫦娥奔月”将正式开演,如图所示,登月飞船以速度 v0 饶月球做圆周运 动,若飞船的质量为 m=1.2×104kg,离月球表面的高度为 h=100km。飞船在 A 点突然向前 做短时间喷气,喷气的相对速度为 u=1.0 ×104m/s,喷气后飞船在 A 点的速度减为 vA,于 是飞船将沿新的椭圆轨道运行。为使飞船能在图中的 B 点着地(A、B 连线通过月球中心, 即 A、B 两点分别为椭圆轨道的远月点和近月点) ,试问喷气时 需消耗多少燃料?月球的半径为 R=1700km, 月球表面的重力加 飞船 A 2 速度为 g=1.7m/s (设无限远处为零势能位置,物体重力势能的 B 月球 大小为: E p ? ?G

Mm ) R

解析:飞船在 A 点突然向前做短时间喷气,飞船在 A 点的速度从 v0 减为 vA,速度改变量为

?v ? v0 ? vA ,其轨道从圆改为椭圆。
当月球饶月球做圆周运动时:

G

Mm

? R ? h?

2

2 v0 ?m ? R ? h?

2 GM R? g v ? ? R? h R h ? 2 0

v0 ? 1652m / s
??(1)

由开普勒第而定律(面积定律) rAvA ? rB vB : 由机械能守恒:



? R ? h? vA ? RvB

1 2 Mm 1 2 Mm mvA ? G ? mvB ? G 2 R ? R ? h? 2
??(2)



1 ? Rh ?1 2 2 vA ? vB ? ?2GM ? ? ?g ? ? ?2 R?h ? R R?h?

由(1) (2)得: vB ?

2 gR 3 ? 1628m / s ? R ? h ?? 2 R ? h ?

故登月所需的速度改变量为: ?v ? v0 ? vA ? 1652 ? 1628 ? 24m / s 飞船在 A 点喷气前后动量守恒,设喷气总质量为 ? m :

mv0 ? ? m ? ?m? vA ? ?m ? v0 ? u ? (有问题) ?m ? ?v ? u ? m ?v ?
?m ? m ? ?v ? 2 8 . kg 7 u ? ?v

?m ? v0 ? vA ? u ? ? m ? v0 ? vA ?

物奥指导(四川)P82 页 如图所示,要把在赤道上空的半径 r1=6.5×103km 的圆形轨道上的卫星,转移到半径 r2=4.2×104km 的通讯卫星轨道上去,需要在短时间内开动火箭,加速卫星,使卫星从圆轨 道转移到远地点距地心 4.2×104km 的椭圆轨道上, 当卫星沿此 V1 Vθ 3 r 1 V10 椭圆轨道到达这个远地点时,再一次在短时间内开动火箭发动 O A r1 P r2 机加速,使之达到在半径为 r2 的圆轨道上运动的通讯卫星应具 V2 2 有的环绕速度。试求这两次加速中卫星的速度各增加了多少? 解析:人造卫星在运转过程中,机械能守恒,开普勒第二定律: r ? v sin ? ? 恒量(θ 为速 度方向与地心和卫星位置连线间的夹角,如图所示。在椭圆轨道的远地点 A 和近地点 P, θ =900。 ∴ r1v1 ? r2 v2 (r1 、r2 和 V1 、V2 分别表示近地点和远地点到球心的距离及卫星的速度) 通信卫星首先进入圆轨道 1(停泊轨道) ,环绕速度为 V10,要想使卫星经椭圆轨道 2, 到达距地心为 r2 的远地点 A,如果短时间内发动火箭发动机使卫星沿圆轨道 1 的切线方向 加速,此加速位置为 P 点。利用机械能守恒和开普勒第二定律求出 V1 和 V2 ,则 V1 –V10 为发 动机第一次使卫星增加的速度,然后当卫星到达远地点 A 时再次开动发动机使卫星加速, 使速度从 V2 增加到卫星的环绕速度 V3: ∵ v10 ?

G

M 6.67 ? 10 ?11 ? 5.98 ? 10 24 ? ? 7.82(km / s ) r1 6.5 ? 10 6

又∵ r1v1 ? r2 v2

1 2 Mm 1 2 mM m v1 ? G ? m v2 ? G 2 r1 2 r2

∴ v1 ?

2GMr 2 ? (r1 ? r2 )r1

2 ? 6.67 ? 10 ?11 ? 5.98 ? 10 24 ? 4.2 ? 10 4 ? 10 3 ? 10.29(km / s ) (6.5 ? 10 3 ? 4.2 ? 10 4 ) ? 6.5 ? 10 6

在以 r2 为半径的圆轨道上的卫星环绕速度为: v3 ? G 第一次开动火箭发动机卫星速度从 V10 增加到 V10:

M ? 3.08(km / s) r2

?v1 ? v1 ? v10 ? 10.29 ? 7.82 ? 2.47(km / s)
第二次开动火箭发动机卫星从远地点速度 V2 增加到环绕速度 V3:

?v2 ? v3 ? v2 ? 3.08 ? 1.59 ? 1.49(km / s)
设想宇航员在完成对火星表面的科学考察后乘返回舱返回围绕火星做匀速圆周运动的轨道 舱,如图所示。为了安全,返回舱与轨道舱对接时,必须具有相同的速度。已知返回舱返回 过程中需要克服火星的引力做功 W ? mgR ?1 ?

? ?

R? ? ,返回舱与人的总质量为 r?
r R

m,火星表面的重力加速度为 g,火星的半径为 r,不计火星表面大气对返回 舱的阻力和火星自转的影响,则该宇航员乘坐的返回舱在火星表面开始返回 时至少需要具有多大能量才能返回轨道舱。 解析:返回舱与人在火星表面附近: G

Mm ? mg R2

设轨道舱的质量为 m0,速度大小为 v,则: G

Mm0 v2 ? m0 r2 r 1 2 mgR 2 mv ? 2 2r

故宇航员乘坐的返回舱与轨道舱对接时,具有的动能为: EK ?

因为返回舱返回过程中克服火星的引力做功 W ? mgR ?1 ?

? ?

R? ? r?

故返回时至少需要的能量: E ? EK ? W ? mgR ?1 ?

? ?

R? ? 2r ?

宇宙飞船、造找卫星在太空中处于微重力、高真空、强磁场、强辐射、超低温等特殊环境。 有关微重力的误区: 1.微重力是微小的重力:重力是物体受到的行星或其他天体的引力,在地球附近,重力通 常指地球的引力,由万有引力可知,离地心越远,重力越小,在离地面 200—1000km 的高 度范围内,重力是地面的 94%—75%,即重力加速度为 0.94 g0—0.75g0,即使在 10000km 的 高空重力还是地面的 15%,即重力加速度为 0.15g0。地球的引力范围是以地心为中心、半径 -3 为 9.2×106km 的区域内,只有远离地球几十万千米处重力才变的微小(10 g0) ,此时对地 球而言可以说是真真的微重力。而通常所说的航天器的“微重力”显然不是由于天体产生的

引力变的微弱而产生的, 而是一种环境诱发的微小的视重力, 表观重力, 或称其为 “伪重力” 。 2.微重力是太空环境的特点:高真空、强磁场、强辐射、超低温确实是太空环境的特点, 在太空中(离地面 200km 以上)大气压强一低于 5×10 5Pa;太空中有来自太阳的 X 射线、 紫外线等短波电磁辐射、 粒子辐射和来自银河系的γ 射线以及宇宙粒子辐射; 太空的环境温 0 6 度在–269 C(4K) 。至于太空中的重力环境,在离地面 1.0×10 km 的区域内,重力只是有 所减小,充其量只能算是“低重力” ,这还不算太阳等其他天体的引力。航天器中的微重力 环境并不是太空中的自然环境, 而是由于航天器在引力场中运行时, 受到非引力的作用而导 致的一种诱发环境, 是相对于宇航天器中的失重或完全失重的环境而言, 故微重力不是太空 环境的特点。失重或完全失重本质上也是诱发环境。当航天器仅在重力作用下飞行时,航天 器及其内部的所有物体都具有相同的速度和加速度, 相互之间没有相互作用力, 处于完全失 重状态。航天器中的微重力是由于航天器常会受到非引力(非天体引力)的作用和干扰,使 航天器及其内部的物体获得额外的加速度, 这时物体之间、 航天器与物体之间存在相互作用 力,表现出“重量” 。物理学上称这种“重量”为“表观重量” ,因而衍生出“表观重力” 。 这个“表观重力”或“伪重力“通常是非常微小的,简称它为“微重力” 。微重力产生的根 源为: ①残余的大气阻力; ②航天器变轨或姿势调整时产生的推力; ③航天器饶质心的转动; ④航天员在航天器中的走动; ⑤重力梯度 (航天器中某点到地面的高度与航天器质心到地面 的高度不同而引起地球的引力不同) 。第①⑤两类属于长期持续存在的微重力;第②③④三 类属于瞬时的或短暂作用的微重力。 宇宙飞船在距火星表面 H 高度处作匀速圆周运动,火星半径为 R,今设飞船在极短时间内 向外侧点喷气, 使飞船获得一径向速度, 其大小为原速度的α 倍, 因α 量很小,所以飞船新轨道不会与火星表面交会。如图,飞船 B v0 P 喷气质量可忽略不计。 (1)试求飞船新轨道的近火星点的高度 h 近和远火星点高度 h 远。 vP v (2)设飞船原来的运动速度 v0,试计算新轨道的运行周期 T。 A 解析: (1)设火星和飞船的质量分别为 M、m,飞船沿椭圆轨道 运行时,飞船在最远点或最近点与火星中心的距离为 r,飞船速 度为 v。 飞船喷气前饶圆轨道的面积速度为 度为

1 r0 ? v0 等于喷气后飞船饶椭圆轨道在 P 点的面积速 2

1 r0 ? v p sin ? (P 电为圆与椭圆的交点) ,由开普勒第二定律得: 2 1 1 1 r0 ? v0 ? r0 ? v p sin ? ? r ? v (飞船在近、远点的面积速度) ,即: r0 ? v0 ? r ? v 2 2 2
1 2 Mm 1 Mm 2 2 mv ? G ? m(v0 ? ? 2v0 ) ? G 2 r 2 r0

由机械能守恒:

飞船沿圆轨道运行时: G

v2 Mm ?m 0 r02 r0
2

r0 ? H ? R
2 2

r ? h? R

利用上述方程消去 G、M、v0 得: (1 ? ? )r ? 2r0r ? r0 ? 0

r1 ?

r0 R?H ? (近点) 1? ? 1? ?

r2 ?

r0 R?H ? (远点) 1?? 1??

h 故近火星点的高度: 近 ? r1 ? R ?

H ?? R 1? ?

h 远火星点高度: 远 ? r2 ? R ?
即: a ?

H ??R 1??

(2)设椭圆轨道的半长轴为 a: r1 ? r2 ? 2a 飞船喷气前饶圆轨道运行的周期: T0 ?

r0 1?? 2

2? r0 v0
32

T ?a? ?? ? 飞船喷气后饶椭圆轨道运行的周期由开普勒第三定律: T0 ? r0 ? ?a? 故: T ? T0 ? ? ? r0 ?
32

?

2? r0 ? 1 ? ? ? v0 ? 1 ? ? 2 ?

32

?

2? ( R ? H ) ? 1 ? ? 2 ? v0 ? 1?? ?

32

物奥指导(四川)P100 页 在半径 r0=6500km 的圆轨道上运动的质量 m0=103kg 的人造卫星,需要转移到远地点距地心 rA=8000km 的椭圆轨道上,于是开动火箭发动机向后喷射。假定燃料的消耗率很大,喷射是 在很短时间内完成的。试估算需要消耗多少燃料。 解析:无外力作用下火箭的初速度和末速度若相差不大,且火箭喷射燃气很大的情况下,喷 气时间很短时,可认为燃气作为一整体以相对速度 u 向后喷出,动量守恒。 ∵ v0 ? G

M 6.67 ? 10 ?11 ? 5.98 ? 10 24 ? ? 7.83(km / s ) r0 6.5 ? 10 6

由于火箭向后喷气,喷气后的速度仍与半径垂直,火箭与地心的距离仍为近地点与地心 的距离 r0,设远地点到地心的距离为 r1: r0 v0 ? r1v1 ( v0 、 v1 分别为喷气后的速度和远地 点的速度) v0 从地球表面发射一抛射体, 发射初速的大小为第一宇宙 速度,发射方向与竖直方向的夹角为 α ,忽略空气阻力和 地球转动的影响。 试问抛射体能上升到多高?已知地球半径 地球 为 R。 α R O rmax B vB

如图所示, 某彗星绕日作椭圆轨道运动, 其远日点速度 v1=10 km/s, 近日点速度 v2=80 km/s。 已知地球绕日作圆运动的速度为 v=30 km/s,圆轨道半径 R=1.5×108 km。试求该彗星远日 点和近日点的距离 r1 和 r2。 根据行星绕日作椭圆轨道运动的面积速度为恒量(开普勒第二定律) ,试证明各行星绕日运 2 3 动的周期 T 与椭圆轨道半长轴 α 之间的关系为 T /α =常量(即开普勒第三定律) 。 如图所示,从地球发射火箭至火星进行探测,发射后火箭绕日沿椭圆轨道运行。为了节省能 量, 火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致。 并且选择适当的发射时机, 使火箭椭圆轨道的远日点为火星,近日点为地球。假设地球和火星均绕日作圆运动,圆轨道 半径分别为 r 地 和 r 火,忽略其他行星对火箭的引力作用。试问:

1?火箭应以多大的相对速度离开地球? 2?火箭到达火星要用多长时间? 如图所示,登月飞船以速度 v0 绕月球作圆周运动,已知飞船质量为 m=1.2×104kg,离月球 表面的高度为 h =100km。飞船在 A 点突然向前作短时间喷气,喷气的相对速度为 u=1.0×104m/s 喷气后飞船在 A 点的速度减为 vA,于是飞船将沿新的椭圆轨道运行。为使飞 船能在图中的 B 点着陆(A,B 联线通过月球中心,即 A,B 点分别是椭圆轨道的远月点和近月 点 )试 问喷气 时需消耗 多少 燃料?已 知月球 半径 R=1700km, 月球表 面的重 力加速 度 g=1.7m/s2。


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