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2011年100份全国中考数学真题汇编:第38章尺规作图


2011 年 100 份全国中考数学真题汇编: 38 章尺规作图第 份全国中考数学真题汇编: 第
38 章 一、选择题 1. (2011 浙江绍兴, 4 分) 8, 如图, ?ABC 中, 在 分别以点 A 和点 B 为圆心, 大于 尺规作图

1 AB 2

的长为半径画弧, 两弧相交于点 M , N , 作直线 MN , BC

于点 D , 交 连接 AD .若 ?ADC 的周长为 10, AB = 7 ,则 ?ABC 的周长为( A.7 B.14 ) C.17 D.20

C

N D

A

B

M
[来源:Zxxk.Com] (第 8 题图)

【答案】C 2. 3. 4. 5. 6. [来源 学*科*网] 来源:学 科 网 来源 7. 8. 9. 10. .

二、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. . 三、解答题 1. (2011 江苏扬州,26,10 分)已知,如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90?,∠BAC 的角 平分线 AD 交 BC 边于 D。 (1)以 AB 边上一点 O 为圆心,过 A,D 两点作⊙O(不写作法,保留作图痕迹),再 判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若(1)中的⊙O 与 AB 边的另一个交点为 E,AB=6,BD= 2 3 , 劣弧 DE 所围成的图形面积。(结果保留根号和 π ) 求线段 BD、 与 BE

【答案】(1)如图,作 AD 的垂直平分线交 AB 于点 O,O 为圆心,OA 为半径作圆。

判断结果:BC 是⊙O 的切线。连结 OD。 ∵AD 平分∠BAC ∵OA=OD ∴∠DAC=∠ODA ∵∠C=90? ∵OD 是⊙O 的半径 (2) 如图,连结 DE。 设⊙O 的半径为 r,则 OB=6-r, 在 Rt△ODB 中,∠ODB=90?, ∴ 0B2=OD2+BD2 ∴r=2 ∴OB=4 即:(6-r)2= r2+( 2 3 )2 ∴∠OBD=30?,∠DOB=60? ∴∠DAC=∠DAB ∴∠ODA=∠DAB[来源:学_科_网 Z_X_X_K] ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C

∴∠ODB=90? 即:OD⊥BC ∴ BC 是⊙O 的切线。

∵△ODB 的面积为

1 60 2 × 2 3 × 2 = 2 3 ,扇形 ODE 的面积为 × π × 22 = π 2 360 3 2 3

∴阴影部分的面积为 2 3 — π 。

2. (2011 山东滨州,23,9 分)根据给出的下列两种情况,请用直尺和圆规找到一条 直线,把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形(不写做法,但需保留作图痕迹);并根据 每种情况分别猜想:∠A 与∠B 有怎样的数量关系时才能完成以上作图?并举例验证猜 想所得结论。 (1)如图①△ABC 中,∠C=90°,∠A=24°

C

B

A

(第 23 题图①)

①作图: ②猜想: ③验证: (2)如图②△ABC 中,∠C=84°,∠A=24°.

C

B

A

(第 23 题图②)

①作图: ②猜想: ③验证: 【答案】 (1)①作图: 痕迹能体现作线段 AB(或 AC、 BC)的垂直平分线, 或 或作∠ACD=∠A(或∠BCD= ∠B)两类方法均可, 在边 AB 上找出所需要的点 D,则直线 CD 即为所求………………2 分

②猜想:∠A+∠B=90°,………………4 分

③验证:如在△ABC 中,∠A= 30°,∠B=60°时,有∠A+∠B=90°,此时就能找到一条 把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5 分

(2)答:①作图:痕迹能体现作线段 AB(或 AC、或 BC)的垂直平分线,或作∠ACD=∠A 或在线段 CA 上截取 CD=CB 三种方法均可。 在边 AB 上找出所需要 的点 D,则直线 CD 即为所求………………6 分

②猜想:∠B=3∠A………………8 分

③验证:如在△ABC 中,∠A=32°,∠B=96,有∠B=3∠A,此时就能找到一条把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………9 分 3. (2011 山东威海,20,8 分)我们学习过:在平面内,将一个图形绕一个定点沿着 某一个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫旋转中心. (1)如图①,△ABC≌△DEF,△DEF 能否由△ABC 通过一次旋转得到?若能,请用直 尺和圆规画出旋转 中心,若不能,试简要说明理由.图① (2)如图②,△ABC≌△MNK,△MNK 能否由△ABC 通过一次旋转得到?若能,请用 直尺和圆规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由. (保留必要的作图痕迹)

图①

图②

【答案】 解:(1)能,点 O1 就是所求作的旋转中心 就是所求作的旋转中心. :( )

图① 就是所求作的旋转中心. (1)能,点 O2 就是所求作的旋转中心 )

图②

4. (2011 浙江杭州, 18,6)四条线段 a,b,c,d 如图,a:b:c:d=1:2:3:4. (1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图,要求保留作图痕迹,不必写出作 法); (2)任取三条线段,求以它们为边能作出三角形的概率.

【答案】(1)只能取 b,c,d 三条线段,作图略 (2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果:(a,b,c),(a,b,d),(a,c, d),(b,c,d),其中能组成三角形的只有(b,c,d),所以以它们为边能作出三
1 角形的概率是 . 4

5. (2011 四川重庆,20,6 分)为进一 步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的矩形广 场的内部修建一个音乐喷泉, 要求音乐喷泉 M 到广场的两个入口 A、 的距离相等, B 且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半, B、 的位置如图所示. A、 C 请 在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉 M、位置.(要求:不写已知、求作、作 法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)

【答案】

6. (2011 甘肃兰州,25,9 分)如图,在单位长度为 1 的正方形网格中,一段圆弧经 过网格的交点 A、B、C。 (1)请完成如下操作: ①以点 O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长,建立平面 直角坐标系;②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心 D 的位置(不用写作法,保留作 图痕迹),并连结 AD、CD。 (2)请在(1)的基础上,完成下列问题: ①写出点的坐标:C ②⊙D 的半径= 、D ;

(结果保留根号); (结果保留

③若扇形 ADC 是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面面积为 π); ④若 E(7,0),试判断直线 EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由。

A

B C

O 【答案】(1)

y

A

B C

O

D

E

x

(2) ① C(6,2),D(2,0) ②2 5 ③ π ④相切。 理由:∵CD= 2 5 ,CE= 5 ,DE=5 ∴CD2+CE2=25=DE2 ∴∠DCE=90°即 CE⊥CD ∴CE 与⊙D 相切。 7. ( 2011 重庆江津, 23,10 分)A、B 两所学校在一条东西走向公路的同旁, 以公路所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点 A 的坐标 是(2,2),点 B 的 坐标是(7,3). (1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点 C,使 C 点到 A、 两校的距离 B 相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标. (2)若在公路边建一游乐场 P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出 建游乐场的位置,并求出它的坐标. y .B(7, 3) .A(2, 2) O 第 23 题图 x

5 4

【答案】(1)存在满足条件的点 C: 作出图形,如图所示,作图略; 答案】 (2)作出点 A 关于 x 轴的对称点 A/(2,-2), 连接 A/B,与 x 轴的交点即为所求 的 点 P. 设 A/B 所在的直线的解析式为: y=kx+b, 把 A/(2,-2), B(7,3)分别代入得:[来源: 学科网]

?7 k + b = 3 ? ? 2 k + b = ?2
所以: y=x-4·

解得: ?

?k = 1 · ?b = ?4

当 y=0 时,x=4,所以交点 P 为(4,0)·[来源:学科网] 8. (2011 重庆綦江,19,6 分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一 个医疗点 P, P 到该镇所属 A 村、 村、 村的村委会所在地的距离都相等(A、 、 使 B C B C 不在同一直线上,地理位置如下图),请你用尺规作图的方法确定点 P 的位置. 要求: 写出已知、求作;不写作法,保留作图痕迹. 解:已知:

求作:

【答案】:解:已知:A、B、C 三点不在同一直线上.

求作:一点 P,使 PA=PB=PC. (或经过 A、B、C 三点的外接圆圆心 P) 正确作出任意两条线段的垂直平分线,并标出交点 P

9. (2011 江苏南京,27,9 分)如图①,P 为△ABC 内一点,连接 PA、PB、PC,在△PAB、 △PBC 和△PAC 中,如果存在一个三角形与△ABC 相似,那么就称 P 为△ABC 的自相 似点. ⑴如图②,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD 是 AB 上的中线, 过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,试说明 E 是△ABC 的自相似点. ⑵在△ABC 中,∠A<∠B<∠C. ①如图③,利用尺规作出△ABC 的自相似点 P(写出作法并保留作图痕迹); ②若△ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数. A

A D

A

P B ① C B

E C ② B ③ C

(第 27 题) 【答案】解:⑴在 Rt △ABC 中,∠ ACB=90°,CD 是 AB 上的中线, 解 上的中线, = , ∴ CD =

1 AB ,∴CDCBD. 2

∴∠BCB=∠ABC.∵BB⊥CD,∴∠BBC=90°,∴∠BBC= ⊥ , , ∠ACB.∴△BCB∽△ABC. ∽ .

的自相似点. ∴B 是△ABC 的自相似点. ⑵①作图略. 作图略. 作法如下:( ) 作法如下:(i)在∠ABC 内,作∠CBD=∠A; :( 来源:Z*xx*k.Com] (ii)在∠ACB 内,作∠BCB=∠ABC;BD 交 CB 于点 P.[来源 ) . 来源 的自相似点. 则 P 为△ABC 的自相似点. 的内心, ②连接 PB、PC.∵P 为△ABC 的内心,∴ ∠PBC = 、 . 的自相似点, ∵P 为△ABC 的自相似点,∴△BCP∽△ABC. ∽ . ∴∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABCC2∠PBC C2∠A, ∠ACB=2∠BCPC4∠A.∵∠AA∠ABCA∠ACB=180°. . ∴∠AA2∠AA4∠A=180°. .

1 1 ∠ABC , ∠PCB = ∠ACB . 2 2

180o 180o 360o 720o ∴ ∠A = .∴该三角形三个内角的度数分别为 、 、 . 7 7 7 7
10.(2011 江苏无锡,26,6 分)(本题满分 6 分)如图,等腰梯形 MNPQ 的上底长为 . 2,腰长为 3,一个底角为 60°。正方形 ABCD 的边长为 1,它的一边 AD 在 MN 上, 且顶点 A 与 M 重合。现将正方形 ABCD 在梯形的外面沿边 MN、NP、PQ 进行翻滚, 翻滚到有一个顶点与 Q 重合即停止滚动。[来源:Zxxk.Com] (1)请在所给的图中,用尺规画出点 A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图; (2)求正方形在整个翻滚过程中点 A 所经过的路线与梯形 MNPQ 的三边 MN、NP、 PQ 所围成图形的面积 S。
N P

C D B A(M) Q

【答案】解:(1)如右图所示.……………………(3 分)

1 1 150 (2)S = 2[4π·12 + 4π·( 2)2 + 1 + 360π·12] 7π = 3 + 2.………………………(6 分)[来源:学科网 ZXXK]

N

P

C D B A(M) Q

11. (2011 重庆市潼南,19,6 分)画△ABC,使其两边为已知线段 a、b,夹角为 β . (要求:用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图; 不 写作法). 已知:

a
求作:

b

β
19题图

【答案】已知:线段 a、b 、角 β 求作:△ABC 使边 BC=a,AC= b,∠C= β 画图(保留作图痕迹图略)

-------------1 分 ------------2 分
--------------6 分

12. (2011 湖北宜昌,23,10 分)如图 1,Rt△ABC 两直角边的边长为 AC = 1,BC =2.
(1) 如图 2, ⊙O 与 Rt△ABC 的边 AB 相切于点 X,与边 CB 相切于点 Y.请你在图 2 中作出 并标明⊙O 的圆心 0;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)

(2) P 是这个 Rt△ABC 上和其内部的动点,以 P 为圆心的⊙P 与 Rt△ABC 的两条边相切. 设⊙P 的面积为 S,你认为能否确定 S 的最大值? 若能,请你求出 S 的最大值;若不能, 请你说明不能确定 S 的最大值的理由.

(第 23 题图 1)

(第 23 题图 2)

【答案】解 : (1)共 2 分 .( 标 出 了 圆 心 , 没 有 作 图 痕 迹 的 评 1 分 ) 看 见 垂 足 为 Y( X) 的 一 条 垂 线 (或 者 ∠ ABC 的 平 分 线 )即 评 1 分 , (2)① 当 ⊙ P 与 Rt△ ABC 的 边 AB 和 BC 相 切 时 ,由 角 平 分 线 的 性 质 ,动 点 P 是 ∠ ABC 的 平 分 线 BM 上 的 点 ,如 图 1,在 ∠ ABC 的 平 分 线 BM 上 任 意 确 定 点 P 1 (不 为 ∠ ABC 的 顶 点 ), ∵ OX = BOsin∠ ABM, P 1 Z= BP 1 sin∠ ABM. BP 1 > BO 时 , 1 Z> OX,即 P 与 B 的 距 离 越 大 , P 的 面 积 越 大 . 当 P ⊙ 这 时 , BM 与 AC 的 交 点 P 是 符 合 题 意 的 BP 长 度 最 大 的 点 . ( 3 分 .此 处 没 有 证 明 和 结 论 不 影 响 后 续 评 分 ) 如 图 2, ∵ ∠ BPA> 90°, 过 点 P 作 PE⊥ AB, 垂 足 为 E, 则 E 在 边 AB 上 .∴ 以 P 为 圆 心 、 PC 为 半 径 作 圆 , 则 ⊙ P 与 边 CB 相 切 于 C, 与 边 AB 相 切 于 E, 即 这 时 的 ⊙ P 是 符 合 题 意 的 圆 .( 4 分 .此 处 没 有 证 明 和 结 论 不 影 响 后 续 评 分 )这 时 ⊙ P 的 面 积 就 是 S 的 最 大 值 .∵ ∠ A= ∠ A,∠ BCA= ∠ AEP= 90°,∴ Rt△ ABC∽ Rt△ APE, 5 ( 分)∴

PA PE = .∵ AC= 1, BC= 2, ∴ AB= AB BC

5 .设 PC= x, 则 PA= AC-

PC= 1- x,PC= PE,



1? x 5

=

x 2 , ∴ x= .(6 分) 2 2+ 5

② 如 图 3, 同 理 可 得 : 当 ⊙ P 与 Rt△ ABC 的 边 AB 和 A C 相 切 时 ,

设 PC= y, 则

2? y 5

=

y 2 , ∴ y= (7 分) 1 1+ 5

③ 如 图 4, 同 理 可 得 : 当 ⊙ P 与 Rt△ ABC 的 边 BC 和 AC 相 切 时 , 设 PF= z, 则

2? z z 2 = , ∴ z= ( 8 分 ) 由 ① , ② , ③ 可 知 : ∵ 2 1 3

5 > 2, ∴

5 +

2>

5 + 1> 3, ∵ 当 分 子 、 分 母 都 为 正 数 时 , 若 分 子 相 同 , 则 分 母 越 小 , 2 2+ 5
= 2 5 - 4, y=

这 个 分 数 越 大 , (或 者 :∵ x=

2 1+ 5

=

5 ?1 , 2

∴ y-x=

49 ? 45 >0,∴ y>x. 2
2 - 3 2 2 5 ? 1 7 ? 45 2 = >0, ∴ 2 > > ,( 9 分 , 没 有 过 程 2 6 3 1+ 5 2 + 5

∵ z-y=

直 接 得 出 酌 情 扣 1 分 ) ∴ z> y> x. ∴⊙P 的面积 S 的最大值为

4 π.( 10 分 ) 9
C C P P M

O B A [来源:学。科。网 Z。X。X。K] E (第 23 题答图 1) C A

B

X (第 23 题答图 1)

Z

C P B A A

B

(第 23 题答图 3)

(第 23 题答图 4)

中考试题来源:http://www.zhongkao.com/z2011/zkst/


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