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3.1.1方程的根与函数的零点7


f ( x) ? 0

y ? f ( x)
临 沭 一 中

在人类用智慧架设的无数座从 未知通向已知的金桥中,方程的求 解是其中璀璨的一座,虽然今天我 们可以从教科书中了解各式各样方 程的解法,但这一切却经历了相当 漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地 解决了部分方程的求解的问题。如 约公元50年—100年编成的《九章 算术》,就给出了求一次方程、二 次方程和三次方程根的具体方法…

2014-11-29

2

问题· 探究
问题 1 求下列方程的根. (1) 3 x ? 2 ? 0 ; (2) x ? 5 x ? 6 ? 0 ;
2

(3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0

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问题· 探究
问题2 求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次 函数图像的简图,并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方程 函数 函 数 的 图 象
函数的图象 与x轴的交点

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 .
-1

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 .y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y
2

.
-1 -2

. . . 1 .
2

.

1

0

1

2

.

.
x
-1

3

x
-1

1

0

-3 -4

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

. x1=x2=1

0

3

x

方程的实数根x1=-1,x2=3

无实数根

(-1,0)、(3,0)

(1,0)

无交点

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问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系, 上述结论是否仍然成立?
判别式△ = b2-4ac △>0 △=0 △<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a>0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

y
x1 0 x2 x 0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

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5

函数的零点定义:

对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 零点的求法

代数法
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图像法

6

例1:求函数f(x)=lg(x-1)的零点
求下列函数的零点

求函数零点的步骤:
2和 3

2 ? ? 5x ? 6 ( ) f x x ( 1)

(2) f (x) ? 2x ?1

(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0; (3)写出零点

0

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问题探究
问题 4:函数 y=f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点?
2

观察函数的图象

①在区间 (a,b)上______(有/无)零点; 探究: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 的图象: f(a).f(b)_____0(<或>). ② 在区间(b,c)上______(有/无)零 f (?2) · f (1) _____0(<或>) . 点;f(b).f(c) _____ 0(<或>).
1 在区间(-2,1)上有零点______; f (?2) ? _______, f (1) ? _______, ○

③ 在区间(c,d)上______(有/无)零 点;f(c).f(d) _____ 0(<或>).

2 在区间(2,4)上有零点______; f ( 2) · f ( 4) ____0(<或>) ○ .

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8

20

20

10

15

15

10

f?x? = x2-2?x-3

10

5
5

5

y=f(x)
-20 -10 10 20

-20

-10

10

20

-5

g?x? = x3
-5

-20

-10

10

20

2 y ? x ? 2x ? 3 ①
20



y ? x3
-5



y ? ln x

15

10

5

-20

-10

10

20

-5

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1 y ? ?1 x



y ? lg | x |

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结 论

如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

y

y
b x

0 a y 0a
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0 a y

b

x

b

x

0a

b

x
10

思考:若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点,一定能得出f(a)· f(b)<0的结论吗?

y

0

a

bbb

bb

bb

b b bb x

b

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11

20

20

10

15

15

10

f?x? = x2-2?x-3

10

5
5

5

y=f(x)
-20 -10 10 20

-20

-10

10

20

-5

g?x? = x3
-5

-20

-10

10

20

2 y ? x ? 2x ? 3 ①
20



y ? x3
-5



y ? ln x

15

10

5

-20

-10

10

20

-5

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1 y ? ?1 x



y ? lg | x |

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? 如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续 的,并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数那么, 这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。

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例题 2 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。 解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知 y f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0, 14 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 4 由于函数f(x)在定义域 2 (0,+∞)内是增函数,所以 0 它仅有一个零点。 -2
-4 -6

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

1

2

x

.
14

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试一试:
你能判断出方程 ㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗?

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1

练习:
2 1.函数 f ( x) ? Inx ? 的零点所在的大致区间是( B ) x ? 1? A. ?1, 2 ? B. ? 2,3? C. ? 1, ? 和 ? 3,4 ? D. ? e, ?? ? ? e?
B) 2.若方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 在 ? 0,1? 内恰有一解,则 a 的取值范围(

A. a ? ?1

B. a ? 1

C. ?1 ? a ? 1

D. 0 ? a ? 1

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练习:
2 1.函数 f ( x) ? Inx ? 的零点所在的大致区间是( B ) x ? 1? A. ?1, 2 ? B. ? 2,3? C. ? 1, ? 和 ? 3,4 ? D. ? e, ?? ? ? e?
B) 2.若方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 在 ? 0,1? 内恰有一解,则 a 的取值范围(

A. a ? ?1

B. a ? 1

C. ?1 ? a ? 1

D. 0 ? a ? 1

2 a, 1.分析: 间 是 否 为? ,? 只 f内恰有一解,则 ( x) 零 点 所 在 的 区 间 ?? ?1 f (0) f要 (1)判 ?断 0。 分析:若 在 f (判 x)断 ?区 2ax xb? ? 0,1 f (a) ? f (b) ? 0是否成立。 即 ?1 ? ? 2a ? 2 ? ? 0 2 f (2) ? In2 ?1 ? 0 , f (3) ? In3 ? ? 0 经代入计算得 ?a ? 1 3 ? f选 (2) ? B ? f (3) ? 0 ,

? f ( x) 在 ? 2,3? 内有零点。
?选 B

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反思小结:

1.函数零点的定义 2.等价关系 3.函数的零点或相应方程的

根的存在性以及个数的判断
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再 见
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