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第 5 课时万有引力定律及其应用


第 5 课时
基础知识归纳
1.开普勒三定律

万有引力定律及其应用

(1)第一定律(轨道定律):所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆 的一个焦点上. (2)第二定律(面积定律):对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相 等的面积. (3)第三定律(周期定律): 所有行星的轨道的半长轴的

三次方跟它的公转周期的二次方的 比值都相等. 在近似情况下,通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动. 2.万有引力定律 (1)内容:自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟两个物体的 乘积 成正比,跟他们之间的 距离的二次方 成反比. (2)公式:F= G
m1m 2 r
2

质量的

,其中 G=6.67× 10

-11

N?m2/kg2,叫 引力常量 . 的物体.相距较远(相对于物体自 质点 间

(3)适用条件:仅仅适用于 质点 或可以看做 质点 的距离或球心间的距离. 3.万有引力定律的应用 (1)由 G (2)由 G (3)由 G
Mm R
2

身的尺寸)的物体和质量均匀分布的球体可以看做 质点 , 此时, 式中的 r 指两

? m

v

2

得 v=

GM R GM R
3

,所以 R 越大,v 越小; ,所以 R 越大,ω 越小;
2 3

R

Mm R
2

=mω2R 得 ω= =m
4π T
2

Mm R
2

2

R 得 T=

4π R GM

,所以 R 越大,T 越大;

(4)模型总结: ①当卫星稳定运行时,轨道半径 R 越大,v 越 小 ;ω 越 小 ;T 越 大 ;万有 引力越 小 ;向心加速度越 小 . ②同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、角速度、周期、向心加速度的大小均相 等. ③这一模型在分析卫星的轨道变换、卫星回收等问题中很有用.

重点难点突破
一、万有引力与重力 1.重力:重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的 力.通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果, 可以知道重力是引 力的一个分力.引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向 心力(这个向心力也可以看做是物体受到的地球引力与地面支持力的 合力)如图所示.但由于向心力很小,所以在一般计算中可认为重力近 似等于万有引力,重力方向竖直向下(即指向地心). 2.天体表面重力加速度问题
1

设天体表面重力加速度为 g,天体半径为 R,因为物体在天体表面受到的重力近似等于 受到的万有引力,所以有 mg=G
Mm R
2

,g=

Gm R
2

同样可以推得在天体表面上方 h 处重力加速度 mg′=G

Mm (R ? h)
2

,g′=

GM (R ? h)
2

重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因素影响,随纬度的增大而增大, 随高度的增大而减小. 二、估算天体的质量和密度 把卫星(或行星)绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动,由中心天体对卫星(或行星)的 引力作为它绕中心天体的向心力.根据 G
Mm r
2

=man=m

4π r T
2

2

得 M=

4π r GT
2

2

3

.因此,只需测出
M 4 3 π R
2 3

卫星(或行星)的运动半径 r 和周期 T,即可算出中心天体的质量 M.又由 ρ= 出中心天体的密度. 典例精析 1.万有引力与重力 【例 1】(2009?全国Ⅱ)如图所示,P、Q 为某地区水平地面上的两点, 在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布,密度

,可以求

为 ρ;石油密度远小于 ρ,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔, 则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向:当存在空腔时,该地区重力加速 度的大小和方向会与正常情况下有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即 PO 方向)上的投影 相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利 用 P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为 G. (1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径), PQ =x,求空腔所引起的 Q 点处的重力加速度反常; (2)若在水平地面上半径为 L 的范围内发现: 重力加速度反常值在 δ 与 kδ(k>1)之间变化, 且重力加速度反常的最大值出现在半径为 L 的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某 一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积. 【解析】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为 ρ 的岩石,则该地区重力加速度便回 到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力 G
Mm r
2

=mΔg



来计算,式中 m 是 Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量, M=ρV ② 而 r 是球形空腔中心 O 到 Q 点的距离 r= d 2 ? x 2 ③ Δg 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的 Q 点处重力加速度改变的大小.Q 点处重力 加速度改变的方向沿 OQ 方向,重力加速度反常 Δg′是这一改变在竖直方向上的投影. Δg′=
d r

Δg



联立①②③④式得 Δg′=
(d G ? Vd
3 2



? x )2

2

2

(2)由⑤式得,重力加速度反常 Δg′的最大值和最小值分别为(Δg′)max= (Δg′)min=
(d G ? Vd
3 2

G ?V d
2





? L )

2

2

由题设有 (Δg′)max=kδ,(Δg′)min=δ ⑧
L
2

联立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为 d=
k
L k?
2 2


?1

3

V=


? 1)

G ? (k

3

【思维提升】 此题是万有引力定律实际应用的典型实例, 求解的关键是综合题中所给信 息,充分理解题意,采用补全法求重力加速度反常量值,并结合几何关系等求解空腔深度和 体积. 【拓展 1】火星的质量和半径分别约为地球的 火星表面的重力加速度约为( B ) A.0.2g B.0.4g C.2.5g
Mm R
2

1 10



1 2

,地球表面的重力加速度为 g,则

D.5g =mg,故火星表面

【解析】考查万有引力定律.星球表面重力等于万有引力,即 G 的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值 2.天体的质量与密度的计算
g火 g ? M M
火 地

R地 R火
2

2

=0.4,故 B 正确.

【例 2】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面 112 km 的空中沿圆形轨道绕月球飞行, 周期是 120.5 min.已知月球半径是 1 740 km,根据这些数据计算月球的平均密度.(G=6.67× 10
-11

N?m2/kg2)
Mm (R ? h)
2

【解析】根据牛顿第二定律有 G

? m

4π T

2

2

(R ? h)

从上式中消去飞行器质量 m 后可解得 2 3 4× 3.142× 852× 3)3 (1 10 4π (R ? h) M= = kg=7.2× 22 kg 10 - 2 6.67× 11× 10 (7.23× 3)2 10 GT 根据密度公式有 M 3× 7.2× 22 10 3M ρ= = = kg/m3=3.26× 3 kg/m3 10 V 4 π R 3 4× 3.14× (1.74× 6)3 10 【思维提升】要计算月球的平均密度,首先应求出月球的质量 M.飞行器绕月球做匀速 圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的. 【拓展 2】 (2009?全国Ⅰ)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球 的 4.7 倍,质量是地球的 25 倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为 1.4 小时,引力常 量 G=6.67× 10
-11

N?m2/kg2,由此估算该行星的平均密度约为( D )

A.1.8× 3 kg/m3 10 B.5.6× 3 kg/m3 10 C.1.1× 4 kg/m3 10 D.2.9× 4 kg/m3 10 M GMm 2π 2 【解析】 ρ= 知该行星的密度是地球密度的 5.32 倍.对近地卫星有 由 ? mR ( ) , 2 V T R M 4 3π 再结合 ρ= ,V= πR3 可解得地球的密度 ρ= =5.6× 3 kg/m3,故行星的密度 ρ′= 10 2 V 3 GT 5.32× ρ=2.96× 4 kg/m3,D 正确. 10
3

易错门诊 3.万有引力定律的应用 【例 3】从地球上发射的两颗人造地球卫星 A 和 B,绕地球做匀速圆周运动的半径之比 为 RA∶RB=4∶1,求它们的线速度之比和运动周期之比. 【错解】卫星绕地球做匀速圆周运动所需向心力为 F 向=mg=m
v
2

R

设 A、B 两颗卫星的质量分别为 mA、mB,则 mAg=mA mBg=mB
vA RA
vB RB
vA
2 vB 2

2

① ②
? RA RB

2

由①②式解得 又 T=
2πR v

vA ,所以 = vB

RA =2 RB

TA RA vB 1 ,所以 = · =4× =2 TB RB vA 2
地m A

【错因】这里错在没有考虑重力加速度与高度有关.根据万有引力定律知 mAgA=G mBgB=G
M RA
2

③ ④

M

地m B

RB

2

gA R 2 1 由③④式解得 = B = 2 gB R 16
A

1 所以 gA= gB 16 可见, 在“错解”中把 A、 两卫星的重力加速度 gA、 B 当做相同的 g 来处理是不对的. B g 【正解】卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,根据牛顿第二定律有 A:FA 向=G B:FB 向=G
M
地m A

R M

2 A

=mA =mB

vA RA vB RB
2

2

⑤ ⑥ RB 1 = RA 2

地m B

RB

2

由⑤⑥式解得 根据 TA=

R V

2 A 2 B



RB vA ,所以 = RA vB
2πRB VB

2πR A VA

,TB=

TA vB RA 2 4 可知 = · = · =8∶1 TB vA RB 1 1

【思维提升】 我们在研究地球上的物体的运动时, 地面附近物体的重力加速度近似看做 是恒量.但研究天体运动时,应注意不能将其认为是常量,随高度变化,g 值是改变的. ?

4


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