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第21讲 不等式的性质、解法及应用 1.考题展望 不等式的性质、简单不等式的解法及应用常以客观 题的形式出现,而含绝对值的不等式(性质、解法及 应用),基本不等式有时以小题呈现,也有可能渗透 在函数、数列、导数的综合问题中,以考查数学思 想方法的灵活运用及分析问题和解决问题的能力. 2.高考真题 考题1 (2012 福建 ) 下列不等式一定成立的是 ( ) 1 A.lg(x + )>lgx(x>0) 4 1 B.sinx+ ≥2(x≠kπ ,k∈Z) sinx C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 2 【解析】选 C. 1 对于 A:当 x= 时,两边相等,故 A 错误; 2 对于 B: 具有基本不等式的形式, 但是 sinx 不一定 大于零,故 B 错误;对于 C:x2+1≥2|x|?x2±2x +1≥0?(x±1)2≥0,显然成立;对于 D:任意 x 都不成立.故选 C. 【命题立意】本小题主要考查基本不等式和不等 式的性质及分析能力. 考题2(2012 浙江)设 a>0,b>0,( A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,则 a<b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b D.若 2a-2a=2b-3b,则 a<b ) 【解析】选A. 若2a+2a=2b+3b,必有2a+2a>2b+2b. 构造函数: f(x)=2x+2x,则f′(x)= 2x·ln2+ 2>0恒成 立, 故有函数 f(x) = 2x + 2x 在 x > 0 上单调递增,即 a > b 成 立. 其余选项用同样方法排除.故选A. 【命题立意】本小题主要考查不等式的性质和指数函 数的性质,考查创新意识和推理论证能力. 考题3(2012 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+ b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不 等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为 ______. 【解析】9. 由值域为[0,+∞),当 x2+ax+b=0 时有 Δ=a2-4b=0, a2 即 b= , 4 2 a a2 2 2 ∴f(x)=x +ax+b=x +ax+ =(x+ ) . 4 2 a2 a ∴f(x)=(x+ ) <c 解得- c<x+ < c, 2 2 a a - c- <x< c- 2 2 ∵不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6), a a ∴( c- )-(- c- )=2 c=6,解得 c=9. 2 2 【命题立意】 本小题主要考查二次函数和二次 不等式的解法,考查转化化归思想. 一、不等式的性质 性质1:a>b?b<a(对称性) 性质2:a>b,b>c?a>c(传递性) 性质3:a>b?a+c>b+c;a>b,c>0?ac>bc;a >b,c<0?ac<bc 以上是不等式的基本性 质 ,以下是不等式的运算性 质. 性质4:a>b,c>d?a+c>b+d(加法法则) 性质5:a>b,c<d?a-c>b-d. 性质 6: a>b>0, c>d>0?ac>bd(乘法法则) a b 性质 7:a>b>0,0<c<d? c>d. 性质 8:a>b>0,n∈N*?an>bn(乘方法则) 性质 9:a>b>0,n∈N ? a> b(开方法则) 1 1 性质 10:ab>0,a>b?a<b(倒数法则) * n n 二、基本不等式 a+b 均值不等式:如果 a,b∈R+,那么 ≥ ab 2 a+b 2 ?ab≤( ) (当


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