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2012届高三第一轮复习(文理数) 第四章《数列》课件专题2


题型一 等差、等比数列的综合应用

例1

已知等比数列{an}的公比为q,前n项的和为Sn,

且S3,S9,S6成等差数列. (1)求q3; (2)求证:a2,a8,a5成等差数列.

【解析】 (1)法一:由 S3,S9,S6 成等差数列, 得 S3+S6=2S9, 若 q=1,则 S3+

S6=9a1,2S9=18a1, 由 a1≠0,得 S3+S6≠2S9,与题意不符,∴q≠1. 由 S3+S6=2S9, a1?1-q3? a1?1-q6? 2a1?1-q9? 得 + = . 1-q 1-q 1-q 整理,得 q3+q6=2q9,由 q≠0 且 q≠1,得 q3= 1 - . 2

法二:由 S3,S9,S6 成等差数列,得 S9-S3=S6- S9. ∴a4+a5+a6+a7+a8+a9=-(a7+a8+a9), 移项得 a4+a5+a6+2(a7+a8+a9)=0, ∴(a4+a5+a6)(1+2q3)=0. ∵a4+a5+a6=a4(1+q+q2)≠0, 1 ∴1+2q =0,∴q =-2.
3 3

1 (2)证明:法一:由(1)知,a8=a2×q =4a2,
6

1 a5=a2×q =- a2, 2
3

a8-a2=a5-a8, 所以 a2,a8,a5 成等差数列. 法二:由(1)知,a2+a5-2a8=a2×(1+q3-2q6) 1 1 =a2(1-2-2×4)=0, 所以 a2,a8,a5 成等差数列.

探究1 结果.

等差、等比数列的基本计算问题,要搞清基本

量之间的关系, 熟练掌握基本公式与性质,正确给出计算

思考题1

(2010·全国卷Ⅰ,文)记等差数列{an}的前n

项和为Sn.设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求Sn.
【解析】 设数列{an}的公差为 d.依题设有
?a2+2a d-d2+2a =0, ? 1 1 1 ? 即 ?a1+d=4. ?

?2a ?a +1?=a2, ? 1 3 2 ? ?a1+a2+a3=12, ?

解得 a1=1,d=3,或 a1=8,d=-4. 1 因此 Sn=2n(3n-1),或 Sn=2n(5-n).

题型二 数列与函数的综合应用

例 2 已知函数 f(x)对任意实数 p,q 都满足:f(p+ 1 q)=f(p)· f(q),且 f(1)=3.

(1)当 n∈N*时,求 f(n)的表达式; (2)设 an=nf(n)(n∈N*),Sn 是数列{an}的前 n 项的和, 3 求证:Sn<4; nf?n+1? (3)设 bn= (n∈N*), 数列{bn}的前 n 项和为 Tn, f?n? 1 1 1 1 试比较T +T +T +…+T 与 6 的大小. 1 2 3 n

1 【解】 (1)由题意知,f(n+1)=f(n)· f(1),f(1)= , 3 1 ∴f(n+1)=3f(n)(n∈N*), 1 1 ∴数列{f(n)}(n∈N )是以 f(1)=3为首项,3为公比的
*

等比数列, 1 1 n-1 1n ∴f(n)=3×(3) ,即 f(n)=(3) (n∈N*).

1n (2)由(1)知,an=n( ) , 3 1 12 13 1 n-1 则 Sn =1× 3 +2×( 3 ) +3×( 3 ) +…+(n-1)( 3 ) + 1n n(3) ,① 1 1 2 1 3 1 4 1 n S =1×( ) +2×( ) +3×( ) +…+(n-1)( ) + 3 n 3 3 3 3 1 n+1 n(3) ,② ①-②得: 2 1 12 13 1n 1 n+1 3Sn=3+(3) +(3) +…+(3) -n(3)

1 1n 3[1-?3? ] 1 n+1 = -n( ) 1 3 1-3 1 1n 1 n+1 =2[1-(3) ]-n(3) , 3 31n n1n ∴Sn=4-4(3) -2(3) . 3 ∵n∈N ,∴Sn<4.
*

nf?n+1? 1 (3)由题知,bn= =3n, f?n? 1 n?n+1? n?n+1? 则 Tn=3× 2 = 6 , 1 1 1 ∴ =6( - ). Tn n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + +…+ =6(1- + - + - +…+ T1 T2 T3 Tn 2 2 3 3 4 n 1 1 - )=6(1- ). n+1 n+1 ∵n∈N*, 1 1 1 1 ∴T +T +T +…+T <6. 1 2 3 n

探究2

数列与函数的综合问题主要有以下两类:①已

知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、 图象研究数列问题;②已知数列条件,解决函数问题,解决 此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式 子化简变形.

思考题 2

1 已知函数 f(x)=a 的图象过点(1,2),且点
x

an (n-1,n2)(n∈N*)在函数 f(x)=ax 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn=an+1- an,若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求 2 证:Sn<5.

【解】

1 (1)∵函数 f(x)=a 的图象过点(1,2),
x

1 1x ∴a=2,f(x)=(2) . an 又点(n-1,n2)(n∈N*)(在函数 f(x)=ax 的图象上,从 an 1 n2 而n2= n-1,即 an= n-1. 2 2

?n+1?2 n2 2n+1 (2)由 bn= 2n -2n= 2n 得, 2n+1 3 5 Sn=2+22+…+ 2n , 2n-1 2n+1 1 3 5 则2Sn=22+23+…+ 2n + n+1 , 2 1 3 1 1 1 2n+1 两式相减得:2Sn=2+2(22+23+…+2n)- n+1 , 2 2n+5 ∴Sn=5- 2n ,∴Sn<5.

题型三 数列与导数、解析几何的综合应用

例3

(2011·皖南八校)设曲线y=x2+x+2-lnx在x=1

处的切线为l,数列{an}的首项a1=-m(其中常数m是正奇数), 且对任意n∈N*,点(n-1,an+1-an-a1)均在直线l上. (1)求出{an}的通项公式; (2)令bn=nan(n∈N*),当an≥a5恒成立时,求出n的取值

范围,使得bn+1>bn成立.

【思路分析】

问题(1)可先利用求导公式求得直线的

斜率,进而求出直线方程,利用累加法即求得数列的通项公
式;问题(2)是恒成立问题,可转化为数列的单调性问题进 而求得数列的最小值.

【解析】 (1)由 y=x2+x+2-lnx, 知 x=1 时,y=4. 1 又 y′|x=1=(2x+1- x)|x=1=2, ∴直线 l 的方程为 y-4=2(x-1), 即 y=2x+2. 又点(n-1,an+1-an-a1)在 l 上 , ∴an+1-an+m=2n,

即an+1-an=2n-m(n∈N*).

∴a2-a1=2-m,
a3-a2=2×2-m, …… an-an-1=2×(n-1)-m, 各项相加,得

an=2(1+2+…+n-1)-(n-1)m+a1
=n2-n-nm+m-m=n2-(m+1)n. ∴通项公式an=n2-(m+1)n(n∈N*).

m+1 (2)∵m 为奇数,∴ 为整数. 2 由题意,知 a5 是数列{an}中的最小项, m+1 ∴ 2 =5.∴m=9. 令 f(n)=bn=n3-(m+1)n2=n3-10n2, 则 f′(n)=3n2-20n.由 f′(n)>0,

20 得 n> (n∈N*), 3 20 即为 n> (n∈N*)时,f(n)单调递增, 3 即 bn+1>bn 成立. ∴n 的取值范围是 n≥7,且 n∈N*.

探究3

本题把数列、导数、解析几何等知识巧妙地融

合在一起,具有较强的综合性,在解决数列知识与其他章节
知识的综合题时,要注意思维角度与解题途径的选择,提高 数字变形转换、推理等综合能力.

思考题 3 已知函数 f(x)=x2-4, 设曲线 y=f(x)在点 (xn,f(xn))处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中 x1 为正实数. (1)用 xn 表示 xn+1. xn+2 (2)若 x1=4,记 an=lg ,证明数列{an}成等比数 xn-2 列,并求数列{an}的通项公式.

【解】 (1)∵f′(x)=2x, ∴曲线 y=f(x)在点(xn, n)) f(x 处的切线方程是 y-f(xn)=f′(xn)(x-xn), 即 y-(x2-4)=2xn(x-xn), n 令 y=0,得-(x2-4)=2xn(xn+1-xn), n
2 得 xn+4=2xn·n+1,而 xn≠0, x

xn 2 ∴xn+1= + . 2 xn

xn 2 (2)由 xn+1= 2 +x , n ?xn+2?2 xn 2 知 xn+1+2= 2 +x +2= 2x . n n ?xn-2?2 xn+1+2 xn+2 2 同理,xn+1-2= 2x ,故 =( ). xn+1-2 xn-2 n

xn+1+2 xn+2 从而 lg =2lg , xn+1-2 xn-2 即 an+1=2an,故{an}是等比数列,an=a1·n-1 2 x1+2 n-1 =lg · =2n-1lg3, 2 x1-2 ∴an=2n-1· lg3.

题型四 数列的实际应用

例4

(2010·湖北卷)已知某地今年年初拥有居民住房

的总面积为a(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除.当 地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房, 同时也拆除面积为b(单位:m2)的旧住房. (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表

达式;
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住 房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?(计 算时取 1.15=1.6)

11 【解析】 (1)第 1 年末的住房面积 a· -b=1.1a- 10 b(m2), 11 11 11 2 第 2 年末的住房面积(a· -b)· -b=a·10) -b(1 ( 10 10 11 +10)=1.21a-2.1b(m2).

11 2 11 11 (2)第 3 年末的住房面积[a· ) -b(1+ )] -b= ( 10 10 10 11 3 11 11 2 a· ) -b[1+ +( ) ], ( 10 10 10 11 4 11 11 2 第 4 年末住房面积为 a·10 ) -b[1+ 10 +(10 ) + ( 11 3 ( ) ], 10 11 5 11 11 2 第 5 年末住房面积为 a·10 ) -b[1+ 10 +(10 ) + ( 1-1.15 11 3 11 4 (10) +(10) ]=1.15a- b=1.6a-6b. 1-1.1

a 依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得 b= , 20 a 2 所以每年拆除的旧房面积为 (m ) 20

思考题 4 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车. 有 关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车,随后电 力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底, 电力型公交车的数量开始超过该市公 1 交车总量的3?

【答案】 (1)1458 (2)2011年底

【解析】

(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组

成等比数列{an}, 其中a1=128,q=1.5, 则在2010年应该投入的电力型公交车为 a7=a1q6=128×1.56=1458(辆)

(2)记 Sn=a1+a2+…+an, Sn 1 依据题意,得 > 10000+Sn 3 128?1-1.5n? 于是 Sn= >5000(辆) 1-1.5 657 lg 32 657 n 即 1.5 > 32 ,则有 n> lg1.5 ≈7.5,因此 n≥8. 所以,到 2011 年底,电力型公交车的数量开始超过 1 该市公交车总量的 . 3

1.(2010·济南)已知数列{an}的通项公式an=3n2-(9+

a)n+6+2a(其中a为常数),若a6与a7两项中至少有一项是an
的最小值,则实数a的取值范围是( A.[24,36] C.{a|27≤a≤33,a∈N*} 答案 A ) B.[27,33] D.{a|24≤a≤36,a∈N*}

解析

当a6为an的最小值时,由题意得a5≥a6且a7≥a6,

∴解得24≤a≤36; 当a7为an的最小值时,由题意,a6≥a7且a8≥a7, 此不等式组无解,∴24≤a≤36.

2.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,数列{bn}

是等差数列,且a6=b7,则有(
A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10

)

D.a3+a9与b4+b10的大小关系不确定

答案 B

解析

记等比数列{an}的公比为 q,由数

列{bn}为等差数列可知 b4+b10=2b7,又数列 {an}是各项均为正数的等比数列,∴a3 +a9 = 1+q6 1+q6 1+q6 1 a3(1+q6)=a6( 3 )=b7( 3 ),又 3 = 3 q q q q +q3≥2,当且仅当 q=1 时,等号成立,∴a3 +a9≥b4+b10.故选 B.

3.某市2007年新建住房100万平方米,其中有25万平

方米的经济适用房.有关部门计划以后每年新建住房面积比
上一年增长5%,其中经济适用房每年增加10万平方米,按 照此计划,当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住 房面积一半的年份是( ) (参考数据:1.052=1.10,1.053=1.61,1.054=1.22,1.055

=1.28)
A.2010年 C.2012 答案 B B.2011年 D.2013

4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S10>0并且S11=0,

若Sn≤Sk对n∈N*恒成立,则正整数k构成的集合为
________. 答案 {5,6} 解析 等差数列中由 S10>0,S11=0 得,

10?a1+a10? S10= >0?a1+a10>0?a5+a6>0, 2 11?a1+a11? S11= =0?a1+a11=2a6=0,故可知,等差数 2 列{an}是递减数列且 a6=0,所以 S5=S6≥Sn,即 k=5 或 6, ∴集合为{5,6}.

5. (2010· 天津卷, 文)设{an}是等比数列, 公式 q= 2, 17Sn-S2n Sn 为{an}的前 n 项和.记 Tn= ,n∈N*.设 Tn0 为 an+1 数列{Tn}的最大项,则 n0=________.

答案 4

a1?1-qn? 解析 根据等比数列的通项公式 Sn= ,故 Tn 1-q a1?1-qn? a1?1-q2n? 17× - 1-q 1-q q2n-17qn+16 1 = = = (qn + n n a1q ?1-q?q 1-q 16 16 n n -17),令 q =( 2) =t,则函数 g(t)=t+ ,当 t=4 时 qn t 1 1 函数 g(t)取得最小值,此时 n=4,而 = <0,故 1-q 1- 2 此时 Tn 最大,所以 n0=4.

6.(2010· 安徽卷,文)设 C1,C2,…,Cn,…是坐标 平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都 3 与直线 y= 3 x 相切.对每一个正整数 n,圆 Cn 都与圆 Cn+1 相互外切.以 rn 表示 Cn 的半径,已知{rn}为递增数 列. 证明:{rn}为等比数列.

解析

3 将直线 y= x 的倾斜角记为 θ, 3

3 1 则有 tan θ= ,sin θ= . 3 2 rn 1 设 Cn 的圆心坐标为(λn,0),则由题意知 = ,得 λn= λn 2 2rn;同理 λn+1=2rn+1,从而 λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,将 λn=2rn 代入,解得 rn+1=3rn. 故{rn}为公比 q=3 的等比数列.

1 7.(2010· 福建卷,文)数列{an}中,a1=3,前 n 项和 1 n +1 Sn 满足 Sn+1-Sn=(3) (n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值.

解析

1 n+1 1 n+1 (1)由 Sn+1-Sn=(3) 得 an+1=(3) (n∈N*),

1 1n 又 a1= ,故 an=( ) (n∈N*). 3 3 1 1n ×[1-? ? ] 3 3 1 1n 从而 Sn= = [1-( ) ](n∈N*). 1 2 3 1- 3 1 4 13 (2)由(1)可得 S1= ,S2= ,S3= . 3 9 27 由 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得 1 4 13 1 4 3+3×(9+27)=2×(3+9)t,解得 t=2.

8.已知函数 f(x)=x2+m,其中 m∈R.定义数列{an} 如下:a1=0,an+1=f(an),n∈N*. (1)当 m=1 时,求 a2,a3,a4 的值; (2)是否存在实数 m,使 a2,a3,a4 构成公差不为 0 的 等差数列?若存在, 求出 m 的值, 若不存在, 请说明理由; 1 (3)求证:当 m>4时,总能找到 k∈N*,使得 ak>2010.



(1)因为a1=0,m=1,所以f(x)=x2+1,所以a2=

f(a1)=f(0)=1,a3=f(a2)=f(1)=12+1=2,
a4=f(a3)=f(2)=22+1=5. (2)假设存在实数m,使得a2 ,a3 ,a4构成公差不为0的 等差数列. 由题知,a2=f(0)=m,a3=f(a2)=f(m)=m2+m,

a4=f(a3)=(m2+m)2+m.
因为a2,a3,a4成等差数列,

所以 2a3=a2+a4, 所以 2(m2+m)=m+(m2+m)2+m, 化简得 m2(m2+2m-1)=0, 解得 m=0(舍去)或 m=-1± 2. 经检验,此时 a2,a3,a4 的公差不为 0, 所以存在 m=-1± 2,使 a2,a3,a4 构成公差不为 0 的等差数列.

(3)因为

12 1 1 2 an+1-an=an+m-an=(an- ) +m- ≥m- , 2 4 4

1 1 又 m> ,所以令 d=m- ,则 d>0,则有 4 4 an-an-1≥d, an-1-an-2≥d, …… a2-a1≥d,

将上述不等式累加得 an-a1≥(n-1)d,即 an≥(n- 1)d, 2010 因 此 只 需 取 正 整 数 k> d + 1 , 就 有 ak≥(k - 2010 1)d>d· =2010. d 1 故当 m>4时,总能找到 k∈N*,使得 ak>2010.

9.已知数列{an}的首项 a1=1,且点 An(an,an+1) x 在函数 y= 的图象上. x+1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:弦 AnAn+1 的斜率随 n 的增大而增大; (3)若数列{bn}满足 an·n=2n,求数列{bn}的前 n b 项和 Sn 的值.

an 解析 (1)∵an+1= 且 a1=1, an+1 1 1 1 ∴ =1+a .∴ -a =1. an+1 an+1 n n 1 ∴{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. an 1 1 ∴a =1+(n-1)×1=n.∴an=n. n 1

1 1 1 (2)∵an=n,an+1= ,an+2= , n+1 n+2 ∴弦 AnAn+1 的斜率 1 1 - an+2-an+1 n+2 n+1 n kn= = 1 1 =n+2. an+1-an - n+1 n n+1 ?n+1??n+2?-n?n+3? n ∴kn + 1 -kn = - = = n+3 n+2 ?n+3??n+2? 2 >0. ?n+2??n+3? ∴弦 AnAn+1 的斜率随 n 的增大而增大.

1 n (3)由 an·n=2 ?bn=a · =n·n, b 2 2 n
n

∴Sn=1·1+2·2+3·3+…+n·n. 2 2 2 2 ∴2Sn=1·2+2·3+…+(n-1)·n+n·n+1. 2 2 2 2 ∴Sn-2Sn=1·1+22+23+…+2n-n·n+1. 2 2 ∴-Sn=2(2n-1)-n·n+1. 2 ∴Sn=(n-1)2n+1+2.

10.(2011· 衡水调研)已知各项均为正数的数列{an}的 1 2 前 n 项和为 Sn,函数 f(x)=2px -(p+q)x+qlnx(其中 p、q 均为常数,且 p>q>0),当 x=a1 时,函数 f(x)取得极小值, q 点(an,2Sn)(n∈N )均在函数 y=2px - x +f′(x)+q 的图象
* 2

上.(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)

(1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 4Sn n (3)记 bn= · ,求数列{bn}的前 n 项和 q n+3 Tn .

解析 (1)由题易得 f(x)的定义域为(0,+∞). px2-?p+q?x+q q f′(x) = px - (p + q) + x = = x ?x-1??px-q? , x q 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=p, q ∵p>q>0,∴0<p<1. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

∴f(x)在 x=1 处取得极小值,即 a1=1.

q (2)依题意,y=2px - x+f′(x)+q=2px2+px-p,
2

2Sn=2p·n+p·n-p(n∈N*), a2 a ∴2a1=2p·1+pa1-p. a2 由 a1=1,得 p=1.
2 ∴2Sn=2an+an-1,①

∴当 n≥2 时,2Sn-1=2a2-1+an-1-1,② n ①-②得 2an=2(a2-a2-1)+an-an-1, n n

2 ∴2(an-a2-1)-(an+an-1)=0,∴(an+an-1)(an- n

1 an-1-2)=0, 1 由于 an+an-1>0,∴an -an-1=2(n≥2),∴{an} 1 是以 a1=1 为首项, 为公差的等差数列, 2 1 n+1 ∴an=1+(n-1)×2= 2 .

n?n-1? 1 n2+3n 4Sn n (3)Sn=n+ 2 ·= 4 ,由 bn= ·= q 2 n+3 nqn,∴Tn=q+2q2+3q3+…+(n-1)qn-1+nqn,③ 已知 p>q>0,而由(2)知 p=1,则 q≠1. ∴qTn=q2+2q3+3q4+…+(n-1)qn+nqn+1,④

由③-④得:(1-q)Tn=q+q2+q3+…+qn 1+qn q?1-qn? + + -nqn 1= -nqn 1, 1-q q?1-qn? nqn 1 ∴Tn= - . ?1-q?2 1-q





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