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海淀2014年高二下学期期中考试数学理科试题及答案教师版


北京高二年级第二学期期中练习 数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 1.复数 z=i(i+2) 的虚部是 A. 2.计算 ( ) 2 C.

?2

B.

? 2i

D.

2i
( )

?<

br />
e

1

1 dx 的结果是 x
e B. 1 ? e
?2

A.

C. 1

D.

e ?1
( )

3.已知函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的图象如图所示,那么下面说法正确的是 A. 在 ( ? 3,1) 内 f ( x ) 是增函数 B. 在(1,3)内 f ( x ) 是减函数 C. 在(4,5)内 f ( x ) 是增函数 D. 在 x =2 时, f ( x ) 取得极小值 4.已知函数 f ( x ) 和 g ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象如图所示,那么下列说法正确的是 A. f ( x ) 在 a 到之间的平均变化率大于 g ( x) 在 a 到之间的平均变化率 B. f ( x ) 在 a 到之间的平均变化率小于 g ( x) 在 a 到之间的平均变化率 C.对于任意 x0 ? (a, b) ,函数 f ( x ) 在 x =x0 处的瞬时变化率总大于 函数 g ( x) 在 x =x0 处的瞬时变化率 D.存在 x0 ? (a, b) ,使得函数 f ( x ) 在 x =x0 处的瞬时变化率小于 函数 g ( x) 在 x =x0 处的瞬时变化率

( )

5.用反证法证明命题“已知 A,B,C,D 是空间中的四点,直线 AB 与 CD 是异面直线,则直线 AC 和 BD 也是异面 直线.”应假设 ( ) A. 直线 AC 和 BD 是平行直线 B. 直线 AB 和 CD 是平行直线 C. 直线 AC 和 BD 是共面直线 D. 直线 AB 和 CD 是共面直线 6.已知函数 f ( x) ? x sin x ,记 m ? f (? ) , n ? f ( ) ,则下列关系正确的是 A. m ? 0 ? n B. 0 ? n ? m C. 0 ? m ? n D.

1 2

1 3

( )

n?m?0

7. 已知曲线 y ? g ( x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 设函数 f ( x) ? g (2 x ? 1) , 则曲线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处切线方程为
第 1 页 共 12 页

( )

A. y ? 2 x ? 1

B.

y ? 4 x ? 1 C. y ? 2 x ? 1

D. y ? 4 x ? 1

8.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ?( x) ? f ( x) ,则下列结论正确的是( ) A. f (1) ? e f (0) B. f (1) ? e f (0) C. f (1) ? f (0) D.

f (1) ? f (0)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 9.函数 f ( x) ? x ? 2ln x 的单调递增区间是 . .

10.已知复数 z 满足| z |≤2,则复数 z 在复平面内对应的点 Z 的集合构成的图形的面积是 11.曲线 y ? x2 与 y ? x 所围成的图形的面积是 .

12.设正三棱柱(底边为等边三角形的直棱柱)的体积为 2,那么其表面积最小时,底面边长为 13.观察不等式: 1 ?

.

1 1 1 1 ? ? 2 ,1 ? ? ? 2 3 2 3

?

1 1 1 ? 3 ,1 ? ? ? 7 2 3

?

1 1 1 ? 4 ,1 ? ? ? 15 2 3

?

1 ? 5, 31

?,由此归纳第 n 个不等式为 式成立,推证 n ? k ? 1 时,左边应增加的项数 为 .. 14.根据“已知点 A(a0 ,0) 是圆 C1 :

.要用数学归纳法证明该不等式,由 n ? k (k ? 1) 时不等 .

x2 y 2 ? ? 1外一点,设不垂直于 x 轴的直线 l 与圆 C1 交于 P,Q 两点,若 x R2 R2

R2 轴 是 ∠ PAQ 的 平 分 线 , 则 直 线 l 过 定 点 A? ( ” , 通 过 类 比 可 推 知 “ 已 知 点 B(b0 ,0) 是 椭 圆 , 0) a0
x2 y 2 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一定点, 设不垂直于 x 轴的直线 a b
圆 C2 交于 P? , Q? 两点, 若 x 轴是 ? P?BQ? 的平分线, 则直线 l ? ”.(将点的坐标填入前面的横线上) 三、解答题:本大题共 4 小题,每小题 44 分,解答应写出文 明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题共 10 分) 如图,在四棱柱 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,E 是棱 PA 点,PD⊥BC. 求证:(I) PC∥平面 BED; (II) △PBC 是直角三角形. (15) (本小题满分 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O ,连接 OE . 在矩形 ABCD 中, AO = OC . 因为 AE = EP , 所以 OE ∥ PC . ?????????2 分 A B E D C

P

l? 与 椭
过定点

B?

E D A B O P C









10 分)

因为 PC ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , 所以 PC ∥平面 BDE . ?????????5 分
第 2 页 共 12 页

(Ⅱ)在矩形 ABCD 中, BC ^ CD . 因为 PD ^ BC , CD 所以 BC ^ 平面 PDC . 因为 PC ? 平面 PDC , 所以 BC ^ PC . 即 ?PBC 是直角三角形. 16. (本小题共 11 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ? 2(a ? R) 的一个极值点是 1. (I) 求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (II)求函数 f ( x ) 在 [?2,3] 上的最大值和最小值. 解: (Ⅰ)因为 f (x) = ax + 3x + 2 ,
3

PD = D , PD ? 平面 PDC , DC ? 平面 PDC ,
?????????8 分

????????

所以

f '( x) ? 3ax2 ? 3 .

………………………2 分

因为 函数 f ( x) 的一个极值点是 1, 所以 f '(1) ? 3a ? 3 ? 0 . 解得: a ? ?1 . 经检验, a ? ?1 满足题意. 所以 f (2) ? 0, f '(2) ? ?9 . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程是 y ? ?9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 18 ? 0 . ?????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f '( x) ? ?3x ? 3 .
2

?????????4 分

令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 1 . 当 x 在 [?2,3] 上变化时, f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表
x

?????????7 分

?2

(?2, ?1)
-

?1

(?1,1)
+ ↗

1
0
4

(1,3)


3

f '( x)

0
0

f ( x)

4



- 16

?????????10 分 所以 函数 f ( x ) 在 [?2,3] 上的最大值为 4,最小值为-16. ?????????11 分

17. (本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? e
a? x

,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
第 3 页 共 12 页

(I) 求函数 g ( x) ? xf ( x) 的单调区间;II)试确定函数 h( x) ? f ( x) ? x 的零点个数,并说明理由.
a? x

解: (Ⅰ)因为 g ( x) ? xe 所以 g '( x) ? (1 ? x)e
a? x

, x?R , ?????????2 分



令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 1 . 当 x 变化时, g ( x) 和 g '( x ) 的变化情况如下:

x
g '( x )

(??, 1)

1
0

(1, ? ?)

?


?


g ( x)

e a ?1

故 g ( x) 的单调递减区间为 (1, ? ?) ;单调递增区间为 (??, 1) . ?????????5 分 (Ⅱ)因为 h( x) ? ea? x ? x , 所以 h '( x) ? 1 ? e
a? x

.

?????????6 分

令 h '( x) ? 0 ,得 x ? a . 当 x 变化时, h( x) 和 h '( x ) 的变化情况如下:

x
h '( x)

(??, a)

a
0
1? a

( a, ? ? )
?


?


h( x )

即 h( x) 的单调递增区间为 ( a, ? ? ) ;单调递减区间为 (??, a ) . ?????????8 分 所以 h( x) 的最小值为 h(a) ? 1 ? a . ①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,函数 h( x) 不存在零点. ( 18. (本小题共 11 分) 在平面直角坐标系中,对于一条折线 C: A 1 ? A2 ?

? An ,若能再作出一条折线

C? : A1 ? B2 ? B3 ? A1 , A2 , A3 ,

? Bn?1 ? An ,使得 A1B2 ? A1 A2 , B2 B3 ? A2 A3 ,?, Bn?1 An ? An?1 An (其中
,则称折线 C ? 是折线 C 的一条共轭折线(说明:横、纵坐标均 , Bn?1 都是整点)

, An , B2 , B3 ,

为整数的点成为整点). (I)请分别判断图(1) , (2)中,虚折线是否是实折线的一条个,共轭折线;

第 4 页 共 12 页

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

B2 B3
A4

A1 A3 A2

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 9 10 x 0

B2

A4

A1 A3 A2
A5

B4

B3

1

2

3

4

5 6 (1)

7

1

2

3

4

5 6 (2)

7

8

9

10 x

(II)试判断命题“对任意的 n ? N 且 n ? 2 ,总存在一条折线 C: A 1 ? A2 ? 并举例说明;

? An 有共轭折线”的真假,

y

O

x
备用图

(III)如图,折线 C: A 1?A 2 ?A 3?A 4 ,其中 A 1 (0,0), A 2 (3,1) , A 3 (6,0), A 4 (9,1) 求证:折线 C 无共轭折线.

.

y
3 2 1

A2
A1
1 2 3 4 5

A3
6 7 8 9

A4
10 x

(Ⅰ)解: (1)不是,因为线段 A1B2 与线段 A1 A2 不垂直; (2)不是,因为线段 B2 B3 与线段 A2 A3 不垂直. (Ⅱ)命题“对任意 n ? N 且 n ? 2, 总存在一条折线 C:A 1?A 2 ? 当 n 为奇数时,不妨令 n ? 2k ? 1, k ? 2,3, 4, ?????????2 分

? An 有共轭折线”是真命题.理由如下:
? A2k ?1 .其中

,取折线 C:A 1?A 2 ?

Ai (ai , bi )(i ? 1, 2,

, 2k ?1) ,满足 ai ? i ? 1(i ? 1,2, ,2k ? 1), b2i ?1 ? 0(i ? 1,2, , k ),
第 5 页 共 12 页

b2i ? 1(i ? 1,2, , k ? 1) .则折线 C 的共轭折线为折线 C 关于 x 轴对称的折线.如图所示.
y

A2 A1 B1 B2 A3 B3

A4 A5 ??? An-2

An-1 An Bn Bn-1 x

B5 ??? Bn-2 B4

当 n 为偶数时,不妨令 n ? 2k , k ? 2,3, 4, 满足 ai ? i ?1(i ? 1, 2, 折线 C ':B1 ? B2 ?

,取折线 C:A 1 ? A2 ?

? A2k .其中 Ai (ai , bi )(i ? 1, 2, , 2k ) , , k ) .折线 C 的共轭折线为

, 2k ?1), a2k ? 2k , b2i ?1 ? 0(i ? 1, 2, ? B2k .其中 Bi ( xi , yi )(i ? 1, 2,

, k ), b2i ? 1(i ? 1, 2,

, 2k ) 满足 , k ?1),

xi ? i ?1(i ? 1, 2,
y2i ? ?1(i ? 1, 2,
y

, 2k ? 3), x2k ?2 ? 2k ?1, x2k ?1 ? 2k ? 1, x2k ? 2k , y2i ?1 ? 0(i ? 1, 2,

, k ? 2), y2k ?2 ? ?3, y2k ?1 ? ?1, y2k ? 1 .如图所示.

?????????7 分

A2 A1 B1 B2 A3 B3

A4 A5 ??? B5 ??? B4 An-5 Bn-5

An-4 An-3 Bn-3 Bn-4

An-2 An-1

An Bn x Bn-1

Bn-2

注:本题答案不唯一. (Ⅲ)证明:假设折线 B1 ? B2 ? B3 ? B4 是题设中折线 C 的一条共轭折线(其中 B1 ? A1 , B4 ? A4 ) ,设

Bt Bt ?1 ? ( xt , yt ) ( t ? 1, 2,3 ),显然 xt , yt 为整数. 则由 Bt Bt ?1 ? At At ?1 ,
?3x1 ? y1 ? 0, ? ?3x2 ? y2 ? 0, ? 得: ?3x3 ? y3 ? 0, ? x ? x ? x ? 9, ? 1 2 3 ? ? y1 ? y2 ? y3 ? 1.
? y1 ? ?3 x1 , ? 由①②③式得 ? y2 ? 3 x2 , ? y ? ?3x . 3 ? 3
这与⑤式矛盾,因此,折线 C 无共轭折线. ?????????11 分

① ② ③ ④ ⑤

第 6 页 共 12 页

海淀区高二年级第二学期期中练习

数学(理科)
参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.
第 7 页 共 12 页

2014.04

题号 答案

(1) B

(2) C

(3) C

(4) D

(5) C

(6) B

(7) B

(8) A

(8)讲评提示:考察函数

f ( x) . ex
1 6

二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9) (2, + (13) 1 ? (14) (

)
? 1 2
n ?1

(10) 4 ?

(11)

(12) 2

1 1 ? ? 2 3

?1

? n ? 1(n ? N*) , 2 k ?1 (注:每空2分)

a2 , 0) b0

(注:回答出 (

ab a2 b2 a 2 + b2 , 0) 给4分;答案为 ( , 0) 或 ( , 0) 或 ( , 0) 给3分;其它答案酌 b0 b0 b0 2b0

情给1~2分;未作答,给0分) 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O ,连接 OE . 在矩形 ABCD 中, AO = OC . 因为 AE = EP , 所以 OE ∥ PC . ?????????2 分

因为 PC ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , 所以 PC ∥平面 BDE . ?????????5 分 (Ⅱ)在矩形 ABCD 中, BC ^ CD . 因为 PD ^ BC , CD 平面 PDC , 所以 BC ^ 平面
A B O C P

PD = D , PD ? 平面 PDC ,

E D

DC ?

PDC .
因为 PC ? 平面 PDC , 所以 BC ^ PC . 即 ?PBC 是直角三角形.

?????????8 分

?????????10 分

(16) (本小题满分 11 分)
第 8 页 共 12 页

解: (Ⅰ)因为 f (x) = ax3 + 3x + 2 , 所以

f '( x) ? 3ax2 ? 3 .

………………………2 分

因为 函数 f ( x) 的一个极值点是 1, 所以 f '(1) ? 3a ? 3 ? 0 . 解得: a ? ?1 . 经检验, a ? ?1 满足题意. 所以 f (2) ? 0, f '(2) ? ?9 . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程是 y ? ?9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 18 ? 0 . ?????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f '( x) ? ?3x ? 3 .
2

?????????4 分

令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 1 . 当 x 在 [?2,3] 上变化时, f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表
x

?????????7 分

?2

(?2, ?1)
-

?1

(?1,1)
+ ↗

1
0
4

(1,3)


3

f '( x)

0
0

f ( x)

4



- 16

?????????10 分 所以 函数 f ( x ) 在 [?2,3] 上的最大值为 4,最小值为-16. (17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 g ( x) ? xe 所以 g '( x) ? (1 ? x)e
a? x a? x

?????????11 分

, x?R , ?????????2 分



令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 1 . 当 x 变化时, g ( x) 和 g '( x ) 的变化情况如下:

x
g '( x ) g ( x)

(??, 1)

1
0

(1, ? ?)

?


?


e a ?1

故 g ( x) 的单调递减区间为 (1, ? ?) ;单调递增区间为 (??, 1) . ?????????5 分 (Ⅱ)因为 h( x) ? ea? x ? x , 所以 h '( x) ? 1 ? e
a? x

.
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?????????6 分

令 h '( x) ? 0 ,得 x ? a . 当 x 变化时, h( x) 和 h '( x ) 的变化情况如下:

x
h '( x)

(??, a)

a
0
1? a

( a, ? ? )
?


?


h( x )

即 h( x) 的单调递增区间为 ( a, ? ? ) ;单调递减区间为 (??, a ) . ?????????8 分 所以 h( x) 的最小值为 h(a) ? 1 ? a . ①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,函数 h( x) 不存在零点. ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,函数 h( x) 有一个零点.
a

?????????10 分

③当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时, h(0) ? e ? 0 , 下证: h(2a) ? 0 . 令 m( x) ? e x ? 2 x ,则 m '( x) ? e x ? 2 . 解 m '( x) ? e x ? 2 ? 0 得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 时, m '( x) ? 0 ,所以 函数 m( x) 在 ?ln 2, ??? 上是增函数. 取 x ? ?a ? 1 ? ln 2 ,得: m(?a) ? e? a ? 2a ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 . 所以 h(2a) ? e?a ? 2a ? m(?a) ? 0 . 结合函数 h( x) 的单调性可知,此时函数 h( x) 有两个零点. 综上,当 a ? ?1 时,函数 h( x) 不存在零点;当 a ? ?1 时,函数 h( x) 有一个零点;当 a ? ?1 时,函数 h( x) 有 两个零点当 x 变化时, g ( x) 和 g '( x ) 的变化情况如下:

x
g '( x ) g ( x)

(??, 1)

1
0

(1, ? ?)

?


?


e a ?1

故 g ( x) 的单调递减区间为 (1, ? ?) ;单调递增区间为 (??, 1) . ?????????5 分 (Ⅱ)因为 h( x) ? ea? x ? x , 所以 h '( x) ? 1 ? e
a? x

.

?????????6 分

令 h '( x) ? 0 ,得 x ? a . 当 x 变化时, h( x) 和 h '( x ) 的变化情况如下:

x
h '( x)

(??, a)

a
0
1? a

( a, ? ? )

?


?


h( x )

即 h( x) 的单调递增区间为 ( a, ? ? ) ;单调递减区间为 (??, a ) . ?????????8 分 所以 h( x) 的最小值为 h(a) ? 1 ? a .
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①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,函数 h( x) 不存在零点. ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,函数 h( x) 有一个零点.
a

?????????10 分

③当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时, h(0) ? e ? 0 , 下证: h(2a) ? 0 . 令 m( x) ? e x ? 2 x ,则 m '( x) ? e x ? 2 . 解 m '( x) ? e x ? 2 ? 0 得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 时, m '( x) ? 0 ,所以 函数 m( x) 在 ?ln 2, ??? 上是增函数. 取 x ? ?a ? 1 ? ln 2 ,得: m(?a) ? e? a ? 2a ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 . 所以 h(2a) ? e?a ? 2a ? m(?a) ? 0 . 结合函数 h( x) 的单调性可知,此时函数 h( x) 有两个零点. 综上,当 a ? ?1 时,函数 h( x) 不存在零点;当 a ? ?1 时,函数 h( x) 有一个零点;当 a ? ?1 时,函数 h( x) 有 两个零点. . ?????????12 分 ?????????12 分

(18) (本小题满分 11 分) (Ⅰ)解: (1)不是,因为线段 A1B2 与线段 A1 A2 不垂直; (2)不是,因为线段 B2 B3 与线段 A2 A3 不垂直. (Ⅱ)命题“对任意 n ? N 且 n ? 2, 总存在一条折线 C:A 1?A 2 ? 当 n 为奇数时,不妨令 n ? 2k ? 1, k ? 2,3, 4, ?????????2 分

? An 有共轭折线”是真命题.理由如下:
? A2k ?1 .其中

,取折线 C:A 1?A 2 ?

Ai (ai , bi )(i ? 1, 2,

, 2k ?1) ,满足 ai ? i ? 1(i ? 1,2, ,2k ? 1), b2i ?1 ? 0(i ? 1,2, , k ),

b2i ? 1(i ? 1,2, , k ? 1) .则折线 C 的共轭折线为折线 C 关于 x 轴对称的折线.如图所示.
y

A2 A1 B1 B2 A3 B3

A4 A5 ??? An-2

An-1 An Bn Bn-1 x

B5 ??? Bn-2 B4

当 n 为偶数时,不妨令 n ? 2k , k ? 2,3, 4, 满足 ai ? i ?1(i ? 1, 2, 折线 C ':B1 ? B2 ?

,取折线 C:A 1 ? A2 ?

? A2k .其中 Ai (ai , bi )(i ? 1, 2, , 2k ) , , k ) .折线 C 的共轭折线为

, 2k ?1), a2k ? 2k , b2i ?1 ? 0(i ? 1, 2, ? B2k .其中 Bi ( xi , yi )(i ? 1, 2,

, k ), b2i ? 1(i ? 1, 2,

, 2k ) 满足 , k ?1),

xi ? i ?1(i ? 1, 2,
y2i ? ?1(i ? 1, 2,

, 2k ? 3), x2k ?2 ? 2k ?1, x2k ?1 ? 2k ? 1, x2k ? 2k , y2i ?1 ? 0(i ? 1, 2,

, k ? 2), y2k ?2 ? ?3, y2k ?1 ? ?1, y2k ? 1 .如图所示.

?????????7 分

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y

A2 A1 B1 B2 A3 B3

A4 A5 ??? B5 ??? B4 An-5 Bn-5

An-4 An-3 Bn-3 Bn-4

An-2 An-1

An Bn x Bn-1

Bn-2

注:本题答案不唯一. (Ⅲ)证明:假设折线 B1 ? B2 ? B3 ? B4 是题设中折线 C 的一条共轭折线(其中 B1 ? A1 , B4 ? A4 ) ,设

Bt Bt ?1 ? ( xt , yt ) ( t ? 1, 2,3 ),显然 xt , yt 为整数. 则由 Bt Bt ?1 ? At At ?1 ,
?3x1 ? y1 ? 0, ? ?3x2 ? y2 ? 0, ? 得: ?3x3 ? y3 ? 0, ? x ? x ? x ? 9, ? 1 2 3 ? ? y1 ? y2 ? y3 ? 1.
? y1 ? ?3 x1 , ? 由①②③式得 ? y2 ? 3 x2 , ? y ? ?3x . 3 ? 3
这与⑤式矛盾,因此,折线 C 无共轭折线. ?????????11 分

① ② ③ ④ ⑤

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