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高中数学希望杯典型例题100道(41-50)


高中数学希望杯典型例题 100 道(41-50) x 2 y2 ? ? 1 的左、 题 41 E、 F 是椭圆 右焦点, l 是椭圆的准线, 4 2 点 ( y l P ?l , 则 ? EPF 的 最 大 值 是 ) A 、 15 ° D、60° B 、 30 ° C 、 45 ° C E o 图1 P (第十三届高二培训题第 21 题) 解法 1 不妨设 l 是右准线,点 P 在 x 轴上方(如图所示) ,则 A F x l 的方程为 x ? a2 ? 2 2 ,故可设点 P 为 2 2, y c ? ? ? y ? 0? ,记 y θ E O F P ?EPF ? ? ,由 PE 到 PF 的角为 ? ,得 tan ? ? kPF ? kPE .又 1 ? kPF ?kPE 知 k PF y y y y ? ? , kPE ? ? , 代入上式 2 2? 2 2 2 2? 2 3 2 D l x 并 化 简 , 得 tan ? ? 2 2y . 由 假 设 知 y?0 , 所 以 y2 ? 6 2 2y 3 ? ?? ,所以 ? 的最大值为 30°,当 tan ? ? 0,? ? ? 0, ? .由基本不等式得 tan ? ? ? 3 2 6y ? 2? yP ? 6 时取得最大值.故选 B. 解法 2 如上图,设 ?EPD ? ? , ?FPD ? ? ,则 ? ? ? ? ? , tan? ? tan ?? ? ? ? ? 2 2? 2 2 2? 2 ? tan ? ? tan ? 2 2 2 2 2 2 3 y y ? ? ? ? ? 1 ? tan ? ?tan ? 3 2 2? 2 2 2? 2 y? 6 6 2 6 1? ? 2 y? y y y y ? ?? ? ?? 0 ,? 2 ? ? , , 因 为 所以 ? 的最大值为 30°.故选 B. 解法 3 由 ?EPF 面积的两种表示方法, 即s ? 1 1 EF ?y ? EP FP ? sin ? , 得 sin ? ? 2 2 1 EF y ? EP ?FP 2cy y2 ? 2 2 ? 2 ? y2 ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2y y 4 ? 20 y 2 ? 36 ? 2 2 36 y 2 ? 2 ? 20 y ? 2 2 36 2 y 2 ? 2 ? 20 y ? 2 2 1 ? ,因为 ? 为锐角,所以 ? 的最大值为 30°.故选 B. 4 2 2 解法 4 依题意,经过 E、F 且与椭圆的准线 l 相切于点 P 的圆,使 ? EPF 最大.如图 1, 不妨设 l 是右准线,点 P 在 x 轴上方,则准线方程为 x ? a2 ? 2 2 ,易得圆心 C 的坐标为 c ? 0, 6 ? ,因此点 P ? 2 2, 6 使 ?EPF 最大.又 PE、PF 的斜率分别为 ? 3 、 3 ,设准线 3 l ? x 轴于点 A,则 ?PEA ? 30? , ?PFA ? 60? ,此时 ?EPF ? 30? .故选 B. 评析 一般说来,要求某个角的最值,常常先求出此角的某一三角函数的最值.然后根 据角所在范围内此三角函数的单调性确定角的最值. 解法 1 运用到角公式与基本不等式求出了 ? EPF 正切的最大值,又利用 ? 为锐角时 tan ? 单调增,求出了 ? EPF 的最大值.解法 2 将 ? 表示成两角差,并

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