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第二讲:集合和函数


第二讲:集合和函数
例 1.设 S 是由任意 n ? 5 个人组成的集合,如果 S 中任意 4 个人当中都至少有 1 个人认识其余 3 个人,那么,下面的判断中正确的是( ). (A)S 中没有人认识 S 中所有的人 (B)S 中至少有 1 人认识 S 中所有的人 (C)S 中至多有 2 人不认识 S 中所有的人 (D)S 中至多有 2 人认识 S 中所有的人 例 2.

例 2. 运动会上,甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌,其中 1 人得金牌、 1 人得银牌、 1 人得铜牌.王老师曾猜测“甲得金牌、 乙不得金牌、 丙不得铜牌”, 结果王老师只猜对了一人,那么甲、乙、丙分别获得 、 、 牌. 例 3.有 50 名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测验成绩分别及格的有 40 人和 31 人,两项测验成绩均不及格的有 4 人,两项测验成绩都及格的有多少 人? 例 4. 7 个人到 7 个地方去旅游,甲不去 A 地,乙不去 B 地,丙不去 C 地,丁不 去 D 地,共有多少种旅游方案?
? 2? 2 2 例 5. 设集合 A ? ?? x, y ? ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? ? , B ? 5? ?
A ? B ,则 a 的取值范围是

?? x, y ? x ?1 ? 2 y ? 2 ? a? ,若

.

例 6. 设 M ? ? x f ? x ? ? x? , N ? x f ? ? f ? x ?? ??x ,
(1) 求证: M ? N ; (2) f ? x ? 为单调增函数时,是否有 M ? N ?并证明。

?

?

例 7. 设二次函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? f ? ?x ? 2? ,且它的图像与 y 轴交于点

? 0,1? ,在 x 轴上截得的线段长为 2

2 .求 f ? x ? 的解析式.

例 8. 已知二次函数 f ? x ? ? 4 x 2 ? 4ax ? ? a 2 ? 2a ? 2 ? ,在 0 ? x ? 1 上的最小值为 2. 求 a 的值. 例 9. 已知 a, b, c 是正整数,关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两实数根的
1 绝对值均小于 .求 a ? b ? c 的最小值. 3

例 10. 已知当 x ??0,1? 时,不等式 x 2 cos ? ? x ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? sin ? ? 0 恒成立.试求
2

? 的取值范围. 例 11. 二次函数

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a、b ? R, 且a ? 0?

满足条件: (1) (2) (3) 当 x ? R 时, f ? x ? 4? ? f ? 2 ? x ? ,且 f ? x ? ? x ;

? x ?1 ? 当 x ? ? 0,2? 时, f ? x ? ? ? ? ; ? 2 ?

2

f ? x ? 在 R 上的最小值为 0.

求最大的 m ? m ? 1? ,使得存在 t ? R ,只要 x ? ?1, m? 就有 f ? x ? t ? ? x . 例 12. 已知函数 f ( x) ? log a
x?3 , a ? 0 且 a ? 1 ,若存在实数 m, n(m ? n) 及 a , x?3

使得 f ( x) 的定义域为( m, n ) ,值域为 ?1 ? loga (n ?1),1 ? loga (m ?1) ? ,分别求 m 和

a 的取值范围.
例 13.若 0 ? a ? 1 ,且 log 2 x1 ? loga x2 ? loga?1 x3 ? 0 ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系
a



. .
1 1 ? 的值为 a b

例 14. 若 2 x ? 3 y ? 5 z ? 1 ,则 2 x,3 y,5 z 的大小关系是

例 15.若正数 a , b 满足 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log6 (a ? b) ,则

3 ? ?( x ? 1) ? 2014 ? x ? 1? ? ?1 例 16. 设 x , y 为实数,且满足 ? 则x? y ? 3 ( y ? 1) ? 2014 y ? 1 ? 1 ? ? ? ?

.

例 17. 不等式 ? lg x ? 3? ? lg 7 x ? lg x 2 ? 3 ? 0 的解集是
7

.

例 18.

函数 y ?

1 ? x2 x ? 的值域是 2 1 ? x ? x 1 ? x2
x x ?1 x ? 2 ? ? ? x ?1 x ? 2 x ? 3 ?

.
x ? 2014 的图像的对称中心. x ? 2015

例 19. 求函数 f ? x ? ?

ax 2 ? 8 x ? b 例 20. 已知函数 y ? 的最大值为 9,最小值为 1,求实数 a , b 的值. x ?1

例 21. 设函数 f ? x ? 定义域为 ? ??,0?

? 0, ??? ,且满足 af ? x ? ? bf ? ?

1? c ? ? ,其中 ? x? x

a, b, c 均为常数, a ? b .求证: f ? x ? 为奇函数.

例 22. 已 知 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ? 0? ? 0 , 且
? a?b ? f ? a ? ? f ?b? ? 2 f ? ? ? 2 ? ? a ?b ? f? ? ,判断 f ? x ? 的奇偶性. ? 2 ?

例 23. 对任意的 x ? Z , f ? x ? 1? ?

1? f ? x? ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 2015? ? 1? f ? x?
1 ? 2
2

.

例 24. 已知定义在实数集上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? 求证: f ? x ? 为周期函数.

f ? x? ? ? ? f ? x? ? ? ,

例 25. 已知 f ? x ? 满足 f ? 0? ? 1, f ? a ? b? ? f ? a ? ? b ? 2a ? b ? 1? ,求 f ? x ? 的解析 式. 例 26. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x+ y? ? f? x , ,? ,x ? y ?R ? ? f? ?y ?2 xy

f ?1? ? 2 ,求 f ? x ? 的解析式.
例 27. 设 f : N* ? N* , 并且对任意正整数 n , 有f? n ?1? ? f n? 则 f ? 2015? ? .

? ,f ? f ? n?? ? 3n ,


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