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2014-2015学年陕西省渭南市澄城县寺前中学高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)


2014-2015 学年陕西省渭南市澄城县寺前中学高二(下)期中数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分) (2012 春?金台区期中)已知 z1=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正确的是( A. z1>z2 B. z1<z2 C. |z1|>|z2| D. |z1|<|z2| 考点: 复数求模. 专题:

计算题. 分析: 由于虚数不能比较大小,可用排除法,再利用复数的模比较即可. 解答: 解:∵z1=5+3i,z2=5+4i, ∴z1 与 z2 为虚数,故不能比较大小,可排除 A,B;
所有



又|z1|=

,|z2|=

=



∴|z1|<|z2|,可排除 C. 故选 D. 点评: 本题考查复数的模的运算,属于基础题. 2. (5 分) (2013?崂山区校级三模)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大 于 60 度”时,假设正确的是( ) A. 假设三内角都不大于 60 度 B. 假设三内角都大于 60 度 C. 假设三内角至多有一个大于 60 度 D. 假设三内角至多有两个大于 60 度 考点: 反证法与放缩法. 专题: 常规题型. 分析: 一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定: “不都是”; “至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是至多有 n 个” 的否定:“至少有 n+1 个”; “任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某两个”;“所有的”的否定:“某些”. 解答: 解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,“至少有一个”的否定:“一个 也没有”;即“三内角都大于 60 度”. 故选 B 点评: 本题考查反证法的概念,逻辑用语,否命题与命题的否定的概念,逻辑词语的否定.
所有

3. (5 分) (2013 春?渭南期末)函数 y=x sinx 的导数为( 2 2 A. y′=2xsinx+x cosx B. y′=2xsinx﹣x cosx 2 2 C. y′=x sinx+2xcosx D. y′=x sinx﹣2xcosx 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数运算法则计算即可.
所有

2



第 1 页(共 10 页)

解答: 解:∵y=x sinx, 2 2 2 ∴y′=(x )′sinx+x (sinx)′=2xsinx+x cosx, 故选:A. 点评: 本题主要考查了导数的运算法则,关键是掌握基本的导数公式,属于基础题. 4. (5 分)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( A. B. C. D.
2 3

2



考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 函数的性质及应用.
2 3

所有

分析: 要求曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积,根据定积分的几何意义,只要求∫0 (x 3 ﹣x )dx 即可. 解答: 解:由题意得,两曲线的交点坐标是(1,1) , (0,0)故积分区间是[0,1] 所求封闭图形的面积为∫0 (x ﹣x )dx═
1 2 3

1

2



故选 A. 点评: 本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积.

5. (5 分) (2015?金家庄区校级模拟)用数学归纳法证明 1+a+a +…+a n∈N ) ,在验证当 n=1 时,等式左边应为( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 考点: 数学归纳法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由数学归纳法即可得出. 2 解答: 解:在验证当 n=1 时,等式左边应为 1+a+a . 故选:C. 点评: 本题考查了数学归纳法证题的步骤,属于基础题.
所有

2

n+1

=

(a≠1,

*

D.1+a+a2+a3

6. (5 分) (2014?奎文区校级模拟) 曲线 y= ﹣

上一点 P (4, ﹣ ) 处的切线方程是 (



A. 5x+16y﹣8=0 B. 5x﹣16y+8=0 C. 5x+16y+8=0 D. 5x﹣16y﹣8=0 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,得到函数在 x=4 处的导数,由直线方程的点斜式得答案.
所有

解答: 解:∵y= ﹣ ∴ .



第 2 页(共 10 页)

. ∴曲线 y= ﹣ 上一点 P(4,﹣ )处的切线方程是 .

整理得,5x+16y+8=0. 故选:C. 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,关键是会利用导数求曲线上 过某点切线方程的斜率,是中档题.

7. (5 分) (2010 春?昌平区期末) A. 0 B. C. 2 D. 4

的值为(



考点: 微积分的产生──划时代的成就;简单复合函数的导数. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是简单复合函数的定积分,要求

所有

,关

键是要确定满足条件 F′(x)=sinx+cosx 的函数 F(x) ,根据三角函数的导数的公式,我们 易得 F(x)=﹣cosx+sinx,代入即可求出 解答: 解:令 F(x)=﹣cosx+sinx, ∴F′(x)=sinx+cosx, 所以 故选 C 点评: 解答定积分的计算题,关键是熟练掌握定积分的相关性质:①∫a 1dx=b﹣a②∫a kf b b b b (x)dx=k∫a f(x)dx③∫a f(x)±g(x)dx=∫a f(x)dx±∫a g(x)dx 8. (5 分) (2015 春?武汉校级期末)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x) 在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值( )
b b

的值.



A. 2 个 B. 1 个 C. 3 个 D. 4 个 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用.

所有

第 3 页(共 10 页)

分析: 如图所示,由导函数 f′(x)在(a,b)内的图象和极值的定义可知:函数 f(x)只 有在点 B 处取得极小值. 解答: 解:如图所示, 由导函数 f′(x)在(a,b)内的图象可知: 函数 f(x)只有在点 B 处取得极小值, ∵在点 B 的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,且 f′(xB)=0. ∴函数 f(x)在点 B 处取得极小值. 故选:B.

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值,考查了数形结合的思想方法,考查了 推理能力,属于基础题. 9. (5 分) (2012 春?金台区期中)已知 f(x)=x ,若 f′(﹣1)=﹣4,则 α 的值为( A.4 B.﹣4 C .5 D.﹣5
α



考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 利用求导法则求出 f(x)的导函数,将 x=﹣1,f′(﹣1)=﹣4 代入导函数中,即可 求出 α 的值.
所有

解答: 解:求导得:f′(x)=αx ∵f′(﹣1)=﹣4,
α﹣1

α﹣1



∴α(﹣1) =﹣4, ∴α=4. 故选 A 点评: 此题考查了导数的运算,熟练掌握求导法则是解本题的关键. 10. (5 分) (2004?浙江)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的是( )

第 4 页(共 10 页)

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围,进而根据当导 函数大于 0 时原函数单调递增, 当导函数小于 0 时原函数单调递减确定原函数的单调增减区 间. 解答: 解:由 y=f'(x)的图象易得当 x<0 或 x>2 时,f'(x)>0, 故函数 y=f(x)在区间(﹣∞,0)和(2,+∞)上单调递增; 当 0<x<2 时,f'(x)<0,故函数 y=f(x)在区间(0,2)上单调递减; 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.
所有

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 11. (4 分) (2013 春?渭南期末)设曲线 y= 直,则 a= ﹣1 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 由 y= 得 y′=﹣ 在点(2,1)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂

所有

,知 y′|x=2=﹣1,由曲线 y=

在在点(1,1)处

的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,知﹣a=1,由此能求出 a. 解答: 解:∵y=

∴y′=﹣ ∴y′|x=2=﹣1, ∵曲线 y=



在点(2,1)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,

∴﹣a=1,即 a=﹣1.
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故答案为:﹣1 点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的应用,解题时要认真审题,仔细 解答. 12. (4 分) (2015 春?澄城县校级期中) 函数 f (x) =﹣x +15x +33x+6 的单调减区间为 (﹣ ∞,﹣1)和(11,+∞) . 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: 要求函数的单调减区间可先求出 f′(x) ,并令其小于零得到关于 x 的不等式求出解 集即可.
所有

3

2

解答: 解:f′(x)=﹣3x +30x+33=﹣3(x ﹣10x﹣11)=﹣3(x+1) (x﹣11)<0, 解得 x>11 或 x<﹣1, 故减区间为(﹣∞,﹣1)和(11,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣1)和(11,+∞) . 点评: 此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力,同时考查解不等式的运算能力, 属于基础题.

2

2

13. (4 分) (2015 春?澄城县校级期中)定义一种运算如下: 的共轭复数是 5﹣3i .

=ad﹣bc,则复数

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由新定义和复数的运算可化简式中的复数,可得其共轭复数.
所有

解答: 解:由题意可得 =(1﹣i)?3i﹣(﹣1)?2 2 =3i﹣3i +2=5+3i, ∴共轭复数为:5﹣3i, 故答案为:5﹣3i 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,属基础题. 14. (4 分) (2015 春?澄城县校级期中)已知函数 f(x)的导数为 f′(x)=2x,且 x=1 时, y=2,则这个函数的解析式为 f(x)=x +1 .
2

考点: 导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: 由题意可设 f(x)=ax +b,利用导数的运算法则即可得出. 2 解答: 解:由题意可设 f(x)=ax +b, ∴f(1)=a+b=2,f′(x)=2ax=2x, 解得 a=1,b=1. 2 ∴f(x)=x +1.
所有

第 6 页(共 10 页)

故答案为:f(x)=x +1. 点评: 本题考查了导数的运算法则,属于基础题. 15. (4 分) (2006?湖北)半径为 r 的圆的面积 S(r)=πr ,周长 C(r)=2πr,若将 r 看作 2 (0,+∞)上的变量,则(πr )′=2πr①. ①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为 R 的球,若 将 R 看作 (0, +∞) 上的变量, 请你写出类似于①的式子②: ②式可以用语言叙述为: 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 . 考点: 归纳推理. 专题: 常规题型;压轴题. 分析: 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数,类比得到球的体积函数的导数等于球的表 面积函数,有二维空间推广到三维空间.
所有

2

2



解答: 解:V 球=

,又

故①式可填



用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.” 故答案为 ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数.

点评: 本题考查类比推理,属于基础题. 三、解答题(本大题共 4 小题,总分 50 分) 16. (12 分) (2013 春?渭南期末)已知复数 z=(m +5m+6)+(m ﹣2m﹣15)i,当实数 m 为何值时, (1)z 为实数; (2)z 为虚数; (3)z 为纯虚数. 考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: (1)复数的虚部为 0,z 为实数,求出 m 的值即可; (2)复数的虚部不为 0,z 为虚数,求出 m 即可; (3)复数的实部为 0,虚部不为 0,z 为纯虚数,求出 m 的值即可. 2 解答: 解: (1)若 z 为实数,则 m ﹣2m﹣15=0,解得 m=﹣3 或 m=5; 2 (2)若 z 为虚数,则 m ﹣2m﹣15≠0,解得 m≠﹣3 或 m≠5;
所有

2

2

(3)若 z 为纯虚数,则

解得 m=﹣2.

点评: 本题考查复数的基本概念,考查计算能力,是基础题. 17. (12 分) (2012?宣威市校级模拟)已知 a 为实数,f(x)=(x ﹣4) (x﹣a) . (1)求导数 f′(x) ; (2)若 f′(﹣1)=0,求 f(x)在[﹣2,2]上的最大值和最小值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题.
2

所有

第 7 页(共 10 页)

分析: (1)f(x)=(x ﹣4) (x﹣a)=x ﹣ax ﹣4x+4a,能求出导数 f′(x) ; (2)由 f'(﹣1)=3+2a﹣4=0,得 a= .由 f′(x)=3x ﹣x﹣4=0,得 x1=﹣1, 后分别求出 最大值和最小值. 解答: 解: (1)∵f(x)=(x ﹣4) (x﹣a) 3 2 =x ﹣ax ﹣4x+4a, 2 ∴f′(x)=3x ﹣2ax﹣4. (2)∵f'(﹣1)=3+2a﹣4=0, ∴a= .f(x)=(x ﹣4) (x﹣ ) ∴由 f′(x)=3x ﹣x﹣4=0, 得 x1=﹣1, ∵ , =0, = , =﹣ . ∴f(x)在[﹣2,2]上的最大值为 , 最小值为﹣ . ,
2 2 2 2

2

3

2

,然

和 f(2) ,由此能得到 f(x)在[﹣2,2]上的

点评: 本题考查导数的概念和利用导数求闭区间上函数的最值,解题时要认真审题,仔细 解答,注意导数的灵活运用.

18. (12 分) (2012 春?金台区期中)已知数列{an}满足

,a1=0.

(1)计算 a2,a3,a4,a5 的值; (2)根据以上计算结果猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想. 考点: 数学归纳法;数列递推式. 专题: 综合题;点列、递归数列与数学归纳法.
所有

分析: (1)由

和 a1=0,代入计算,可求 a2,a3,a4,a5 的值;

(2)猜想{an}的通项公式,再用数学归纳法证明,关键是假设当 n=k(k≥1)时,命题成立, 即 成立,利用递推式,证明当 n=k+1 时,等式成立.
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解答: 解: (1)由

和 a1=0,得







. (4 分)

(2)由以上结果猜测: 用数学归纳法证明如下:

(6 分)

(Ⅰ)当 n=1 时,左边=a1=0,右边= (Ⅱ)假设当 n=k(k≥1)时,命题成立,即 那么,当 n=k+1 时,

,等式成立. (8 分) 成立.

这就是说,当 n=k+1 时等式成立. 由(Ⅰ)和(Ⅱ) ,可知猜测 对于任意正整数 n 都成立. (12 分)

点评: 本题考查数列的通项,考查归纳猜想,考查数学归纳法的运用,属于中档题. 19. (14 分) (2006?福建)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升) 关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为: x+8(0<

x≤120) .已知甲、乙两地相距 100 千米. (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 考点: 利用导数研究函数的极值;函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: (I)把用的时间求出,在乘以每小时的耗油量 y 即可. (II)求出耗油量为 h(x)与速度为 x 的关系式,再利用导函数求出 h(x)的极小值判断 出就是最小值即可.
所有

解答: 解: (I)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗油 (升) .

小时,

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升. (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为 h(x)升,

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依题意得 ,

. 令 h'(x)=0,得 x=80. 当 x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在(0,120]上只有一个极值, 所以它是最小值. 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 点评: 本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实 际问题的能力.

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