当前位置:首页 >> 高中教育 >>

安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)


2015-2016 学年安徽省安庆市慧德中学高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题: (5*12=60 分) 1.若复数 z 满足 z(2﹣i)=11+7i(i 为虚数单位) ,则 z 为( A.3+5i B.3﹣5i C.﹣3+5i D.﹣3﹣5i )

2.已知集合 A={﹣1, },B={x|mx﹣1=0},若 A∩B=B,则所

有实数 m 组成的集合是( A.{0,﹣1,2} B.{ , 0,1} C.{﹣1,2} D.{﹣1,0, }

)

3.已知 p、q 是两个命题,若“¬(p∨q)”是真命题,则( A.p、q 都是真命题 B.p、q 都是假命题 D.p 是真命题且 q 是假命题

)

C.p 是假命题且 q 是真命题

4.已知向量 A.﹣2 B.0 C.1

, D.2





平行,则实数 x 的值是(

)

5.要得到函数 y=2cos(2x+ A.向左平移 C.向右平移

)的图象,只需将函数 y=sin2x+ 个单位 个单位

cos2x 的图象(

)

个单位 B.向右平移 个单位 D.向左平移

6.若函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0 且|φ |< 1 减小到﹣1,则 f( A.1 B. C. )=( D.0 )

)在区间上是单调减函数,且函数值从

7.有以下四个命题,其中真命题的个数为(

)

①△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件;

②若命题 p:? x∈R,sinx≤1,则¬p:? x∈R,sinx<1; ③函数 y=3sin(2x﹣
2

)+2 的单调递减区间是(k∈z) ; = .

④若函数 f(x)=x +2x+2a 与 g(x)=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值,则 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

8.设函数 f(x)=

,给出以下三个结论:①f(x)为偶函数;②f(x) )

为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的个数为( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

9.已知函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈ 时,f(x)=﹣x,则 f+f=( A.﹣1 B.0 C.1 D.2 )

10.若关于 x 的方程 x ﹣3x+m=0 在 A. B. C. D.

3

上有根,则实数 m 的取值范围是(

)

11.如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等 待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船, 乙船立即朝北偏东 θ +30°角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sinθ 的值为( )

A.

B.

C.

D.

12.若函数 f(x)的定义域为 D 内的某个区间 I 上是增函数,且 F(x)=

在 I 上也是

增函数,则称 y=f(x)是 I 上的“完美函数”,已知 g(x)=ex+x﹣lnx+1,若函数 g(x)是 区间上单调递减,求 a 的取值范围;

(2)求满足下列条件的所有整数对(a,b) :存在 x0,使得 f(x0)是 f(x)的最大值,g(x0) 是 g(x)的最小值.

21.已知函数 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) (Ⅰ)求 g(x)= 的单调区间与极大值;

(Ⅱ) 任取两个不等的正数 x1, x2, 且 x1<x2, 若存在 x0>0 使 f′ (x0) = 成立,求证:x1<x0<x2 (Ⅲ)己知数列{an}满足 a1=1,an+1=(1+ 的底数) . )an+ (n∈N+) ,求证:an< (e 为自然对数

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题 号 22.在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标 方程分别为 ρ =4sinθ ,ρ cos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; )=2 .

(Ⅱ)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为

(t∈R 为参数) ,求 a,b 的值.

23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年安徽省安庆市慧德中学高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题: (5*12=60 分) 1.若复数 z 满足 z(2﹣i)=11+7i(i 为虚数单位) ,则 z 为( A.3+5i B.3﹣5i C.﹣3+5i D.﹣3﹣5i )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】等式两边同乘 2+i,然后化简求出 z 即可. 【解答】解:因为 z(2﹣i)=11+7i(i 为虚数单位) , 所以 z(2﹣i) (2+i)=(11+7i) (2+i) , 即 5z=15+25i, z=3+5i. 故选 A. 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力.

2.已知集合 A={﹣1, },B={x|mx﹣1=0},若 A∩B=B,则所有实数 m 组成的集合是( A.{0,﹣1,2} B.{ ,0,1} C.{﹣1,2} D.{﹣1,0, }

)

【考点】子集与交集、并集运算的转换. 【专题】集合. 【分析】根据集合 A∩B=B 得到,B? A,即可得到结论. 【解答】解:∵A∩B=B, ∴B? A, 若 m=0,则 B=?,此时满足条件. 若 m≠0,则 B={ },则 =﹣1 或 = , 解得 m=﹣1 或 m=2, 综上所有实数 m 组成的集合是{0,﹣1,2}, 故选:A.

【点评】本题主要考查集合的基本关系的应用,将条件 A∩B=B 转化为 B? A 是解决本题的关 键.

3.已知 p、q 是两个命题,若“¬(p∨q)”是真命题,则( A.p、q 都是真命题 B.p、q 都是假命题 D.p 是真命题且 q 是假命题

)

C.p 是假命题且 q 是真命题 【考点】复合命题的真假. 【专题】阅读型.

【分析】由复合命题真值表判断命题“p∨q”为假命题,进而得到命题 p、q 都是假命题. 【解答】解:由复合命题真值表得:若“¬(p∨q)”是真命题, 则 p∨q 为假命题, 则命题 p、q 都是假命题. 故选 B. 【点评】本题考查了复合命题的真假判定规律,对复合命题真值表要熟练掌握.

4.已知向量 A.﹣2 B.0 C.1

, D.2





平行,则实数 x 的值是(

)

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量的坐标运算. 【专题】计算题. 【分析】由题意分别可得向量 程,解之即可. 【解答】解:由题意可得 因为 解得 x=2 故选 D 【点评】本题为向量平行的问题,熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键,属基础 题. 与 =(3,x+1) , =(﹣1,1﹣x) , 与 的坐标,由向量平行的充要条件可建立关于 x 的方

平行,所以 3×(1﹣x)﹣(x+1)×(﹣1)=0,

5.要得到函数 y=2cos(2x+ A.向左平移 C.向右平移

)的图象,只需将函数 y=sin2x+ 个单位 个单位

cos2x 的图象(

)

个单位 B.向右平移 个单位 D.向左平移

【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 由两角差的余弦把 y=sin2x+ 【解答】解:y=sin2x+ 又数 y=2cos(2x+ =2 ∴只需要将 y=sin2x+ 故选:A. 【点评】本题考查了 y=Asin(ω x+φ )型函数的图象,考查了两角和与差的三角函数,是中 档题. cos2x 的图象向左平移 ) = 个单位, 即可得到 y=2cos (2x+ , ) 的图象. cos2x= cos2x 化积, 然后看 x 发生如何变化得 y=2cos (2x+ . ) .

6.若函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0 且|φ |< 1 减小到﹣1,则 f( A.1 B. C. )=( D.0 )

)在区间上是单调减函数,且函数值从

【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数的单调性和最值求出 ω 和 φ 的值即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0 且|φ |< 值从 1 减小到﹣1, ∴ ∵T= ,即函数的周期 T=π , ,∴ω =2, )在区间上是单调减函数,且函数

则 f(x)=sin(2x+φ ) ,

∵f( ∴sin( 即

)=sin(2× +φ )=1,

+φ )=1,

+φ =

+2kπ ,k∈Z,

即φ = ∵|φ |<

+2kπ ,k∈Z, , , ) , + )=sin( + )=cos = ,

∴当 k=0 时,φ = 即 f(x)=sin(2x+ 则 f(

)=sin(2×

故选:C. 【点评】本题主要考查三角函数的图象的应用,根据条件求出 ω 和 φ 的值是解决本题的关 键.

7.有以下四个命题,其中真命题的个数为(

)

①△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件; ②若命题 p:? x∈R,sinx≤1,则¬p:? x∈R,sinx<1; ③函数 y=3sin(2x﹣ )+2 的单调递减区间是(k∈z) ; = .

④若函数 f(x)=x2+2x+2a 与 g(x)=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值,则 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】对应思想;导数的综合应用;三角函数的图像与性质;简易逻辑.

【分析】根据正弦定理,可判断①;写出原命题的否定,可判断②;求出函数的单调区间, 可判断③,求出 a 值,进而求出积分,可判断④ 【解答】解:①△ABC 中,“A>B”?“a>b”?“2RsinA>2RsinB”?“sinA>sinB”,故 “A>B”是“sinA>sinB”的充要条件,即①是真命题; ②若命题 p:? x∈R,sinx≤1,则¬p:? x∈R,sinx>1,故②是假命题; ③由 2x﹣ ∈(k∈z)得:x∈(k∈z) ;

即函数 y=3sin(2x﹣

)+2 的单调递减区间是(k∈z) ,故③是假命题;

④若函数 f(x)=x2+2x+2a 的最小值为:2a﹣1, 函数 g(x)=|x﹣1|+|x+a|的最小值为:|a+1|, 由 2a﹣1=|a+1|得:a=2, 则 = = 故真命题的个数为 2 个, 故选:B. 【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理,全称命题的否定,正弦函数的单调 性,函数的最值,积分等知识点,难度中档. = ,故④是真命题; ﹣

8.设函数 f(x)=

,给出以下三个结论:①f(x)为偶函数;②f(x) )

为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的个数为( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】规律型;函数思想;综合法;简易逻辑. 【分析】由题意可得 f(x)= =

,检验 f(﹣x)=f(x) ,即可判

断①,由于 f(x)的函数值是 1,0 交替出现,故函数是以 2 为周期的周期函数,可判断②, 由于 x+1,x 中必定一个是奇数,一个是偶数,则 f(x+1)与 f(x)的值一个是 1,一个是 0, 可判断③. 【解答】解:∵f(x)= = ,

∴f(﹣x)= 正确.

=

=

=f(x) ,故 f(x)为偶函数,①

由于 f(x)的函数值是 1,0 交替出现,故函数是以 2 为周期的周期函数,②正确.

由于 x+1,x 中必定一个是奇数,一个是偶数,则 f(x+1)与 f(x)的值一个是 1,一个是 0, 则 f(x+1)+f(x)=1,③正确. ∴正确结论的个数为:3. 故选:D. 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义、周期性的定义的应用,解题的关键是对已知 函数的化简,是基础题.

9.已知函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈ 时,f(x)=﹣x,则 f+f=( A.﹣1 B.0 C.1 D.2 )

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】由函数的对称性可得 f(x)=f(2﹣x) ,再由奇偶性可得 f(x)=﹣f(x﹣2) ,由此 可推得函数的周期,根据周期性可把 f,f 转化为已知区间上求解 【解答】解:因为 f(x)图象关于 x=1 对称,所以 f(x)=f(2﹣x) , 又 f(x)为奇函数,所以 f(2﹣x)=﹣f(x﹣2) ,即 f(x)=﹣f(x﹣2) , 则 f(x+4)=﹣f(x+2)=﹣=f(x) , 故 4 为函数 f(x)的一个周期, 从而 f+f=f(﹣1)+f(0) , 而 f(0)=0,f(﹣1) , 故 f(﹣1)+f(0)=1, 即 f+f=1, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关 键.

10.若关于 x 的方程 x3﹣3x+m=0 在 A. B. C. D.

上有根,则实数 m 的取值范围是(

)

【考点】函数的零点与方程根的关系;函数的值域;利用导数研究函数的单调性.

【专题】计算题;函数思想;构造法. 【分析】分离参数 m=﹣x3+3x,记 f(x)=﹣x3+3x,x∈,要使原方程有解,则 m∈. 【解答】解:分离参数 m 得,m=﹣x3+3x,x∈, 记 f(x)=﹣x3+3x,x∈, 要使原方程有解,则 m∈, 令 f'(x)=﹣3x +3=0,解得 x=±1,分析可知, 函数 f(x)在(﹣∞,﹣1)单调递减, (﹣1,1)单调递增, (1,+∞)单调递减, 所以,当 x∈时,f(x)先增后减,在 x=1 取得最大值,即: f(x)max=f(1)=2,f(x)min=min{f(0) ,f( )}=0, 因此,m∈, 故选:B. 【点评】本题主要考查了应用导数研究函数的单调性,单调区间和最值,以及函数零点与方 程的判断,属于中档题.
2

11.如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等 待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船, 乙船立即朝北偏东 θ +30°角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sinθ 的值为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题;解三角形. 【分析】 连接 BC, 在三角形 ABC 中, 利用余弦定理求出 BC 的长, 再利用正弦定理求出 sin∠ACB 的值,即可求出 sinθ 的值. 【解答】解:连接 BC,在△ABC 中,AC=10 海里,AB=20 海里,∠CAB=120° 根据余弦定理得:BC2=AC2+AB2﹣2AC?AB?cos∠CAB=100+400+200=700, ∴BC=10 海里, ,

根据正弦定理得





∴sin∠ACB= ∴sinθ = 故选:A. .



【点评】解三角形问题,通常要利用正弦定理、余弦定理,同时往往与三角函数知识相联系.

12.若函数 f(x)的定义域为 D 内的某个区间 I 上是增函数,且 F(x)=

在 I 上也是

增函数,则称 y=f(x)是 I 上的“完美函数”,已知 g(x)=ex+x﹣lnx+1,若函数 g(x)是 区间 【点评】本题以新定义的形式考查函数的单调性,考查运用所学知识分析解决新问题的能力, 多次构造函数,求解导数,判断单调递增,属于难题.

二、填空题: (5*4=20 分)

13.已知函数 f(x)=

,则 f(f( ) )的值是=﹣2.

【考点】对数的运算性质;函数的值. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】利于抑制投机求出 f( )的值,然后求解所求表达式的值.

【解答】解:∵函数



∴f( )=2+

=4. =f(4)= =﹣2.

故答案为:﹣2. 【点评】本题考查函数值的求法,指数以及对数的运算法则,解题方法是由里及外逐步求解, 考查计算能力.

14.已知 cos(

)= ,则 sin(

)=﹣ .

【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】观察得, ( ﹣ ) . ﹣α )= ,且( ﹣α )+(α ﹣ ﹣α )=﹣ . )=﹣ , ﹣α )+(α ﹣ )=﹣ ,结合题意,利用诱导公式即可求得 sin(α

【解答】解:∵cos( ∴sin(α ﹣

)=sin=﹣sin=﹣cos(

故答案为:﹣ . 【点评】本题考查诱导公式,观察得到( 转化的能力,属于中档题. ﹣α )+(α ﹣ )=﹣ 是关键,考查观察与

15.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(a+b) (sinA﹣sinB)= (c﹣b)sinC,则△ABC 面积的最大值为 【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】由条件利用正弦定理可得 b2+c2﹣bc=4.再由余弦定理可得 A= ,利用基本不等式可 .

得 bc≤4, 当且仅当 b=c=2 时, 取等号, 此时, △ABC 为等边三角形, 从而求得它的面积 的值. 【解答】解:△ABC 中,∵a=2,且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC, ∴利用正弦定理可得(2+b) (a﹣b)=(c﹣b)c,即 b +c ﹣bc=4,即 b +c ﹣4=bc, ∴cosA=
2 2 2 2 2 2

=

= ,∴A=



再由 b +c ﹣bc=4,利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc, ∴bc≤4,当且仅当 b=c=2 时,取等号, 此时,△ABC 为等边三角形,它的面积为 = ×2×2× = ,

故答案为:



【点评】本题主要考查正弦定理的应用,基本不等式,属于中档题.

16.已知函数 ①f(x)是奇函数;

,在下列四个命题中:

②对定义域内任意 x,f(x)<1 恒成立; ③当 时,f(x)取极小值;

④f(2)>f(3) , 正确的是:②④. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质;简易逻辑. 【分析】判断出函数的奇偶性,可判断①,求出函数的值域,可判断②;判断出函数的极值 点,可判断③;利用函数的单调性,比较两个函数值,可判断④. 【解答】解:①∵函数 ∴ = , = =f(x) ,

故 f(x)是偶函数,故①错误; ②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|, ∴ ∵x≠0, ∴ <1 成立,故②正确; ≤1,

③∵f′(x)=



∵f′( ∴x=

)=

≠0,

不是极值点,

∴③错误; ④∵ <2<3<π ,

∴sin2>sin3>0,





,∴④正确,

故答案为:②④. 【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性,值域,极值,单调性是三 角函数图象和性质的综合应用,难度较大.

三、解答题: (12+12+12+12+12+10=70 分) 17.已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x2﹣5x+4≥0}, (1)当 a=3 时,求 A∩B,A∪(?RB) ; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 【考点】集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】 (1)当 a=3 时,求出集合 A,B,然后求出 CRB,即可求 A∩B,A∪(CRB) ; (2)若 A∩B=Φ ,只需 2﹣a>1,并且 2+a<4,即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)当 a=3 时,A={x|﹣1≤x≤5},B={x|x ﹣5x+4≥0}={x|x≤1 或 x≥4}, CRB={x|1<x<4} 所以 A∩B={x|﹣1≤x≤5}∩{x|x≤1 或 x≥4}={x|﹣1≤x≤1 或 4≤x≤5}, A∪(CRB)={x|﹣1≤x≤5}∪{x|1<x<4}={x|﹣1≤x≤5}; (2)A∩B=Φ 所以 或 2﹣a>2+a,解得 a<1 或 a<0,
2

所以 a 的取值范围是(﹣∞,1) 【点评】本题考查集合的基本运算,不等式的解集的求法,注意等价变形的应用,常考题型.

18.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 递增区间; (3)求(2)中 y=g(x)在 上的值域. 在 x=



处取得最大值,求 y=g(x)的单调

【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.

【专题】方程思想;转化思想;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)利用倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出; (2)g(x)=f(x+?)=2sin(2x+2?)+1,当 代入上式,得 ?,再利用正弦函数的单调性即可得出. (3)利用正弦函数的单调性即可得出. 【解答】解: (1) ,k∈z 时取得最大值,将

=2sin2x(1+sin2x)+cos4x =2sin2x+2sin22x+cos4x =2sin2x+1 ∴最小正周期为 . ,k∈z 时取得最大值,

(2)g(x)=f(x+?)=2sin(2x+2?)+1,当 将 ∴ ∴ 解得 ∴g(x)的单调增区间为 (3)由(2)得 , ∴ ∴g(x)∈ . ,得 , 代入上式,得 ,得 ,k∈z, , ,k∈z, ,k∈z, ,k∈z ,由

,得

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19.在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 cosC+(cosB﹣ (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值.

sinB)cosA=0,

【考点】余弦定理的应用;正弦定理. 【专题】方程思想;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】 (1)利用和差化积、诱导公式、三角函数求值即可得出. (2)利用三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理即可得出. 【解答】解: (1)由验证可得: 化为 ∴ ∴ , . ,得 bc=20,又 b=5,∴c=4.
2 2 2

, ,又 sinB≠0,

,又 cosA≠0,

又 0<A<π ,故 (2)∵

由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA=21,故 又由正弦定理得

, .

【点评】本题考查了和差化积、诱导公式、三角函数求值、三角形的面积计算公式、正弦定 理余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20.已知函数 f(x)=ax2﹣2

x,g(x)=﹣

(a,b∈R)

(1)当 b=0 时,若 f(x)在(﹣∞,2]上单调递减,求 a 的取值范围; (2)求满足下列条件的所有整数对(a,b) :存在 x0,使得 f(x0)是 f(x)的最大值,g(x0) 是 g(x)的最小值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)当 b=0 时,f(x)=ax ﹣4x,讨论 a 的取值并结合二次函数的单调性,建立关于 实数 a 的不等式即可解出实数 a 的取值范围; (2)当 a=0 时,易得一次函数 f(x)没有最大值,不符合题意.因此(x)为二次函数,可 得 a<0,函数 f(x)取最大值时对应的 x= ,结合题意得到 =a 是一
2

个整数,化简得 a2=

,即可得出满足条件的整数只有 a=﹣1,从而得到 b=﹣1

或 3,得到满足条件的所有整数对(a,b) .

【解答】解: (1)当 b=0,时,f(x)=ax ﹣4x, 若 a=0,f(x)=﹣4x,则 f(x)在(﹣∞,2]上单调递减,成立, 故 a≠0,要使 f(x)在; (2)若 a=0,f(x)=﹣2 ∴f(x)为二次函数, 要使 f(x)有最大值,必须满足 ,即 a<0 且 ≤b≤ , x,可得 f(x)无最大值,故 a≠0,

2

此时,x=x0=

时,f(x)有最大值.

又∵g(x)取最小值时,x=x0=a, 依题意, ∵a<0 且 ∴0 =a∈Z,可得 a = ≤b≤ ,
2



,结合 a 为整数得 a=﹣1,此时 b=﹣1 或 b=3.

综上所述,满足条件的实数对(a,b)是: (﹣1,﹣1) , (﹣1,3) . 【点评】本题给出含有根号和字母参数的二次函数,讨论函数的单调性与值域.着重考查了 二次函数的图象与性质、方程整数解的讨论等知识,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) (Ⅰ)求 g(x)= 的单调区间与极大值;

(Ⅱ) 任取两个不等的正数 x1, x2, 且 x1<x2, 若存在 x0>0 使 f′ (x0) = 成立,求证:x1<x0<x2 (Ⅲ)己知数列{an}满足 a1=1,an+1=(1+ 的底数) . 【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值 问题中的应用. 【专题】导数的综合应用. )an+ (n∈N+) ,求证:an< (e 为自然对数

【分析】 (Ⅰ)由 f(x)求出 f(x+1) ,代入 g(x) ,对函数 g(x)求导后利用导函数的符号 求出函数 g(x)在定义域内的单调区间,从而求出函数的极大值; (Ⅱ)求出 f′(x0) ,代入 f′(x0)= 后把 lnx0 用 lnx1,lnx2 表示,

再把 lnx0 与 lnx2 作差后构造辅助函数,求导后得到构造的辅助函数的最大值小于 0,从而得 到 lnx0<lnx2,运用同样的办法得到 lnx1<lnx0,最后得到要证的结论; (Ⅲ)由给出的递推式 an+1=(1+ 由此把递推式 an+1=(1+ 中的 ln(1+x)<x 得到 式子后累加即可证得结论. 【解答】 (Ⅰ)解:由 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) ) . ∴f(x+1)=(x+1)ln(x+1) (x∈(﹣1,+∞) ) . 则有 = =ln(x+1)﹣x, )an+ )an+ 说明数列{an}是递增数列,根据 a1=1,得到 an≥1, ,结合(Ⅰ) ,分别取 n=1,2,3,?,n﹣1,得到 n 个

放大得到

此函数的定义域为(﹣1,+∞) . . 故当 x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0;当 x∈(0,+∞)时,g′(x)<0. 所以 g(x)的单调递增区间是(﹣1,0) ,单调递减区间是(0,+∞) , 故 g(x)的极大值是 g(0)=0; (Ⅱ)证明:由 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) ) ,得 f′(x)=lnx+1, 所以 ,

于是

=

=





(t>1) ,则



因为 t﹣1>0,只需证明 lnt﹣t+1<0. 令 s(t)=lnt﹣t+1,则 ,

∴s(t)在 t∈(1,+∞)上递减,所以 s(t)<s(1)=0, 于是 h(t)<0,即 lnx0<lnx2,故 x0<x2. 同理可证 x1<x0,故 x1<x0<x2. (Ⅲ)证明:因为 a1=1, 于是 所以 由(Ⅰ)知当 x>0 时,ln(1+x)<x. 所以(*)式变为 . (*) . = ,所以{an}单调递增,an≥1. ,

即 令 k=2,3,?,n,这 n﹣1 个式子相加得

(k∈N,k≥2) ,

= = = 即 . ,

所以



【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了通过构造函数,利用函数的单调性 和极值证明不等式,训练了累加法求数列的通项公式,考查了利用放缩法证明不等式,是一 道难度较大的综合题型.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题 号 22.在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标 方程分别为 ρ =4sinθ ,ρ cos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; )=2 .

(Ⅱ)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为

(t∈R 为参数) ,求 a,b 的值. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 【专题】压轴题;直线与圆. 【分析】 (I)先将圆 C1,直线 C2 化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标, 最后化成极坐标即可; (II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) ,从而直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0,由参数方程可得 y= x﹣ +1,从而构造关于 a,b 的方程组,解得 a,b 的值.

【解答】解: (I)圆 C1,直线 C2 的直角坐标方程分别为 x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0, 解 得 或 ,

∴C1 与 C2 交点的极坐标为(4,

) . (2



) .

(II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) , 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0, 由参数方程可得 y= x﹣ +1,





解得 a=﹣1,b=2. 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法, 方程思想的应用,属于基础题.

23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ)由 a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f (x)≥2 成立. (Ⅱ) 由f (3) =|3+ |+|3﹣a|<5,分当 a>3 时和当 0<a≤3 时两种情况,分别去掉绝对值, 求得不等式的解集,再取并集,即得所求. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|≥|(x+ )﹣(x﹣a) |=|a+ |=a+ ≥2 =2,

故不等式 f(x)≥2 成立. (Ⅱ)∵f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5, ∴当 a>3 时,不等式即 a+ <5,即 a2﹣5a+1<0,解得 3<a< 当 0<a≤3 时,不等式即 6﹣a+ <5,即 a ﹣a﹣1>0,求得 综上可得,a 的取值范围( , ) .
2

. <a≤3.

【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的 数学思想,属于中档题.


相关文章:
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期期中数学...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文)_高中教育_教育专区。安徽省安庆市慧德中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试 文科数学试卷一、...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二英语上学期期中...
安徽省安庆市慧德中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试 英语试卷第Ⅰ卷 第一部分:阅读理解(共两节,满分 40 分) 阅读下列四篇短文,从每小题后所给的 A、B...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二数学上学期期中...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文_数学_高中教育_教育专区。安徽省安庆市慧德中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试 文科数学试卷一...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二第一次月考数学...
2015-2016 学年安徽省安庆市慧德中学高二(上)第一次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期期中考试...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题_数学_高中教育_教育专区。安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期期中考试 文科数学试卷...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二(上)第一次月考...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二()第一次月考数学试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年安徽省安庆市慧德中学高二(上)第一次...
安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试...
安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。安庆一中 2015-2016 学年度高二第一学期期中数学(理)试题一、选择题...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二数学上学期第一...
安徽省安庆市慧德中学 2015-2016 学年高二上学期第一次月考 数学试卷(理科)第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高一上学期期中考试...
安徽省安庆市慧德中学 2015-2016 学年高一上学期期中考试数学 试卷卷面满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是...
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期期中化学...
安徽省安庆市慧德中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试 化学试卷可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 N-14 O-16 Cu-64 Al-27 S-32 Cl-35.5 一、选择...
更多相关标签: