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2014版学海导航数学(文)总复习(第1轮)同步测控 第5讲 函数的性质(一)——单调性、奇偶性 Word版含答案]


第 5 讲 函数的性质(一)——单调性、奇偶性

1.(2012· 广东卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 1 C.y=( )x 2 1 D.y=x+ x

)

2.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么 F(x)必为( A

.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数

)

3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的减函数,a∈R,则下列不等式恒成立的是( A.f(a2+a)<f(a) B.f(a2+a)>f(a) C.f(a2+1)<f(a) D.f(a2+1)>f(a) 4.下列命题正确的是( )

)

A.定义在(a,b)上的函数 f(x),若存在 x1、x2∈(a,b),使得 x1<x2 时有 f(x1)<f(x2),那 么 f(x)在(a,b)上为增函数 B.若奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,则 f(x)在(-∞,0)上为减函数 C.若 f(x)是 R 上的增函数,则 F(x)=f(x)-f(-x)为 R 上的增函数 D.存在实数 m,使 f(x)=x2+mx+1 为奇函数 5.(2012· 安徽合肥)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,则满足 f( x+2)<f(x)的 x 的取值范围为________________. 6.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是__________. -x +2x (x>0) ? ? 7.已知函数 f(x)=?0 (x=0) 是奇函数. 2 ? ?x +mx (x<0) (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.
2

1.(2012· 永州模拟)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常 数),则 f(b+0.5)恒为( ) A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定 2.(2013· 衡阳市第一次月考)函数 f(x)=
2 ? ?2x -8ax+3 (x<1) ? 在 x∈R 内单调递减,则 a 的取值范围是( ?logax (x≥1) ?

)

1 1 A.(0, ] B.[ ,1) 2 2 1 5 5 C.[ , ] D.[ ,1) 2 8 8

3.已知函数 f(x)=

? ? x -x+4 ?- x
2

x2+x+4 (x>0) x (x<0)

.

(1)求证:函数 f(x)为偶函数; (2)判断 f(x)分别在区间(0,2],[2,+∞)上的单调性并加以证明. 第5讲 巩固练习 1.A 解析:F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),排除 B、D. 因为 f(x)为增函数,所以 f(-x)为减函数. 所以 F(x)=f(x)-f(-x)为增函数. 2.C 解析:因为 a2+a-a=a2≥0,即 a2+a≥a, 所以 f(a2+a)≤f(a),故排除 A、B. 1 3 而 a2+1-a=(a- )2+ >0,即 a2+1>a, 2 4 所以 f(a2+1)<f(a),故选 C.

3.C 解析:由增函数定义,应对任意实数 x1、x2,A 错;由奇函数在对称区间上单调 性相同,则 f(x)在(-∞,0)上也为增函数,B 错;由 f(x)为 R 上的增函数,f(-x)为 R 上的 减函数,又增-减=增, 故 F(x)=f(x)-f(-x)为 R 上的增函数, C 正确; D 中不存在实数 m, 使 f(-x)=-f(x)成立,D 错误. a<3 a-3<0 ? ? ? ? 4.D 解析:依题意,?2a>0 ??a>0 ?0<a≤2,故选 D. ? ? ?a≤2 ??a-3?×1+5≥2a 5.-2≤x<-1 或 x>2
? ?x+2≥0 解析:由题意得 x+2<|x|,即? 2 , ?x+2<x ?

解之得-2≤x<-1 或 x>2. 3 6.[0, ] 2
?-x2+3x ?x>0? ? 解析:y=-(x-3)|x|=? 2 ,作出该函数的图象,观察图象知递增区间为 ?x -3x ?x≤0? ?

3 [0, ]. 2

7.解析:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
? ?a-2>-1 结合 f(x)的图象(图略)知? , ?a-2≤1 ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 提升能力 1.B 解析:由 f(x)为 R 上的奇函数,则 f(0)=0, 即 20+2×0+b=0?b=-1, 1 1 所以 f(x)=2x+2x-1,此时 f(b+0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-[2 +2× -1]=- 2<0, 2 2 故选 B. 2.[2,+∞) [-1,1] 解析:f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示,要使得 f(-1+m)≥f(-1)=1,有 m≥2;x≥ -1 时,恒有 f(x+2)≥f(x),故 m≥2 即可;由 f(x)为奇函数及 x≥0 时的解析式知 f(x)的图象 如(2)图所示,

因为 f(3a2)=a2=f(-a2), f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2), 故-a2+4≥3a2,从而 a2≤1, 又 a2≤1 时,恒有 f(x+4)≥f(x),故 a2≤1 即可. 3.解析:(1)证明:函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.

? ? 又 f(-x)=? ?-x? -?-x?+4 ? ?- -x
2

?-x?2-x+4 -x

?-x>0? ?-x<0?

?-x -xx+4 ?x<0? =? x +x+4 ?x>0? ? x
2

2

=f(x),

所以函数 f(x)为偶函数. x2+x+4 4 (2)当 x>0 时,f(x)= =x+ +1, x x 当 x1,x2∈(0,2],且 0<x1<x2≤2 时, 4 4 f(x1)-f(x2)=(x1+ +1)-(x2+ +1) x1 x2 4 4 =(x1-x2)+( - ) x1 x2 4?x2-x1? =(x1-x2)+ x1x2 x1x2-4 =(x1-x2)[ ] x1x2 又 0<x1<x2≤2?x1-x2<0,0<x1x2<4. 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在(0,2]上单调递减, 同理 f(x)在[2,+∞)上单调递增, (也可用导数方法或由特征函数法求解)


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