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2.2.4


必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

复习1:平面和平面的位置关系 1、平面和平面有哪几种位置关系?
1)两平面平行 2)两平面相交

没有公共点 有一条公共直线

?
?

?

l

>?

? // ?
必修2 第二章

? ?? ?l
点、直线、平面之间的位置关系

复习2:面面平行的判定定理 面面平行的判定定理 线面平行
a,b ? ? , a ? b ? p? ? ? ? // ? a // ? , b // ? ?
?1〉 两两 ? β 内有 ? 2 〉相交 ? ? 3〉 分 别和 α 平行

面面平行

条件要点:

结论: β // ?

线//线
必修2

线//面
第二章

面//面

点、直线、平面之间的位置关系

如果两个平行平面同时和第三个 平面相交,交线具有什么位置关系?

D1

C1 B1

A1
D

C

A
必修2 第二章

B
点、直线、平面之间的位置关系

一、平面与平面平行的性质定理:
两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
(面面平行 线线平行)
?

?

? // ?

? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? ? b?
必修2 第二章

a b

?

点、直线、平面之间的位置关系

例1

如 果 已 知 平 面 ? , ? , ? , 满 足 ? // ? , ? ? ? ? a ,

? ? ? ? b, 求 证 : a // b

证明: ? ? ? ? a
? ?? ? b
?a ? ? ? ?b ? ?

γ

? / /?
a, b没有公共点
a, b都在平面?内
必修2 第二章

a / /b

点、直线、平面之间的位置关系

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

例1 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 讨论:解决这个问题的基本步骤是什么?
第一步:结合图形,将原题改写成数学符号语言;

已知:如图,α∥β,AB∥CD,A∈α,
C∈α,B∈β,D∈β, 求证:AB=CD 第二步:分析,作出辅助线;
?

A

C

β B

γ

D

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

第三步:书写证明过程.

证明:
A B / / D C ? 过 A B, C D 可 作 平 面 ?

? ? ? ? AC

?
B D∥ A C
A B∥ C D

A

C

??

? ? ? BD

? / /?

ABC D为 平 行 四 边 形 ? AB ? C D

β B

γ

D

夹在两个平行 平面间的所有 平行线段相等.

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

G

H

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

1 .已知 : 三个平行平面
AB = BC EF DE .

? , ? , ? 与两条直线

l, m

分 别 相 并 于 点 A, B ,C 和 点 D , E , F .

求证 :

证明: 过A作直线AH//DF, G ? 连结AD,GE,HF(如图).
? α // β // γ ,

?,H ??.

∴ BG // CH , AD // GE // HF .



AB = BC

AG , GH
DE = . EF
必修2

AG = GH

DE . EF

G



AB BC

H

l
第二章

m

点、直线、平面之间的位置关系

反思~领悟:
面面平行判定定理 : 线面平行
面面平行

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线,那么这两个平面平行

面面平行性质定理 : 面面平行

线线平行

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的 交线平行。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

面面平行

线面平行

? // ? a ? ?

}

? a // ?

例1.在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,M、N 分别是AB、PC的中点.求证:MN∥平面PAD. 证明: 如图,取CD的中点E,连接NE、ME, ∵M、N分别是AB、PC的中点, ∴NE∥PD,ME∥AD ∴NE∥平面PAD,ME∥平面PAD 又NE∩ME=E, ∴平面MNE∥平面PAD, 又MN?平面MNE, ∴MN∥平面PAD.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

例2. 如图,设平面α∥平面β,AB、CD是两异面直线, M、N分别是AB、CD的中点,且A、C∈α,B、 D∈β. 求证:MN∥α.

证明:连接BC,取BC的中
点E,分别连接ME、NE, 则ME∥AC, ∴ ME∥平面α, 又 NE∥BD, ∴ NE∥β, 又ME∩NE=E, ∴平面MEN∥平面α, ∵ MN平面MEN, ∴MN∥α.
必修2 第二章

A ? M E C

N D

?

B

点、直线、平面之间的位置关系

反思~领悟:
面面平行判定定理 : 线面平行
面面平行

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线,那么这两个平面平行

面面平行性质定理 : 面面平行

线面平行

如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行. 。

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

作业 1.

2.

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点、直线、平面之间的位置关系

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点、直线、平面之间的位置关系

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点、直线、平面之间的位置关系

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点、直线、平面之间的位置关系

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点、直线、平面之间的位置关系

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点、直线、平面之间的位置关系

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点、直线、平面之间的位置关系

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点、直线、平面之间的位置关系

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

两个平面平行具有如下的结论

(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么 它们的交线平行.

(2)如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直
线都与另一个平面平行.

(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

各种平行之间的转化关系
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 线//线

线//面

面//面

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

小结
空间线面间平行关系转化示意图
判定

线线平行

判定 性质

线面平行

判定 性质

面面平行

性质

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点、直线、平面之间的位置关系

课堂小结

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系

三种平行关系的转化

线 线
线面平行判定

线
面 平
线面平行性质 面面平行判定


面 平 行






面面平行定义

面面平行性质

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点、直线、平面之间的位置关系


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