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山东省2013年高二暑假作业(六)文科数学


2013 高二文科数学暑假作业(六) 一、选择题
2 1 .集合 A ? ?0,2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为

?

?

A.0

B.1

C.2

D.4

>2. i 是虚数单位,若 A.-15

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ) ,则乘积 ab 的值是 2?i
C.3
x0

B.-3

D.15

3. 命题“存在 x0 ? R, 2 A. 不存在 x0 ? R, 2 0 >0
x

? 0”的否定是
B. 存在 x0 ? R, 2
x0

?0
x

C. 对任意的 x ?R, 2 ? 0
x

D. 对任意的 x ? R, 2 >0

4. 已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ | x ? 2 | ? | x |? a 恒成立”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 : x≥4, 则 f ( x ) = ( ) ; 当 x < 4 时 f ( x ) = f ( x ? 1) , 则
x

1 2

= f ( 2? log 3) 2 A.

1 24

B.

1 12

C.

1 8

D.

3 8

6.已知函数 f ( x ? 1) 是偶函数,当 1 ? x1 ? x2 时, [ f ( x2 ) ? f ( x1 )]( x2 ? x1 ) ? 0 恒成立,设

1 a ? f (? ), b ? f (2), c ? f (3) ,则 a , b, c 的大小关系为 2
A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. a ? b ? c

7.若双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? 0, m ? b ? 0 )的离心率之积大于 1, a2 b m b

则以 a, b , m 为边长的三角形一定是 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

8. 设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成三角 形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 A. 3 B.4 C. 5 D. 6

1

9. 若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? ex ?1 B. f ? x ? ? ( x ?1)2 D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

10. 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O, E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ?
1? 1? 1? 1? 2? 1? 1? 2? A. a ? b B. a ? b C. a ? b D. a ? b 4 2 2 4 3 3 3 3 11.符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,例如 [? ] ? 3 , [?1.08] ? ?2 ,定义函数 {x} ? x ? [ x] ,
???? ? ??? ? ?
????

给出下列四个命题(1)函数 { x} 的定义域为 R ,值域为 [0,1] ;(2)方程 {x} ? 函数 { x} 是周期函数;(4)函数 { x} 是增函数.其中正确命题的序号有 A.(2)(3) B.(1)(4) C.(3)(4) D.(2)(4)

1 有无数个解;(3) 2

2 12. 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax ?

A. ?1 或 -

25 64

B. ?1 或

21 4

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4 7 25 7 C. ? 或 D. ? 或 7 4 4 64

二、填空题 13. 中心在原点, 对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆

( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 都 相 切 , 则 双 曲 线 C 的 离 心 率 是
______________. 14. 函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a ? 1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 其中 mn>0,则
1 2 ? 的最小值为 m n

.

15. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 16. 在 R 上定义运算 x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 均成立,则 a 的取值范围是__________ 三、解答题 17.已知函数 f ?x ? ? x ln x .

2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 k 为正常数,设 g ? x ? ? f ? x ? ? f ? k ? x ? ,求函数 g ? x ? 的最小值; (Ⅲ)若 a ? 0 , b ? 0 ,证明: f ? a ? ? ? a ? b ? ln2 ≥ f ? a ? b ? ? f ?b ? .

18、 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池, 池的深度 一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价 为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米 ,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米, 试设计污水池的长和宽,使总造价最低.
2

19. 如图所示, 已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点, P 在 AM 上, 点
2 2

点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨迹为曲线 E . (I)求曲线 E 的方程; (2) 过点 S (0,? ) 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 E 于 A、 B 两点, y 轴上是否存在定点 G, 在 满足 GP ? GA ? GB 使四边形 GAPB 为矩形?若存在,求出 G 的坐标和四边 形 GAPB 面积的最大值;若不存在,说明理由。

1 3

??? ?

??? ??? ? ?

20.设函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

1 ? 2ax . x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 2 时,对任意的正整数 n ,在区间 [ , 6 ? n ? ] 上总有 m ? 4 个数使得

1 2

1 n

f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? f (am ) ? f (am?1 ) ? f (am?2 ) ? f (am?3 ) ? f (am?4 ) 成立,试问:
正整数 m 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.

3

2013 高二数学暑假作业(六) 一、选择题 1-5 DBDCA 6-10 ADBAB 11-12 AA 二、填空题 13.

2 3 或2 3

14. 8

15.

k ? 4 .16. ? ? a ?

1 2

3 2

三、解答题

1 1 ;解 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? . e e 1 1? ? ? ? ∴ f ? x ? 的单调递增区间是 ? , ?? ? ,单调递减区间是 ? 0, ? . e ? ? ? e? (Ⅱ)∵ g ? x ? ? f ? x ? ? f ? k ? x ? ? xlnx ? ? k ? x ? ln ? k ? x ? ,定义域是 ? 0, k ? .
17. 【解】 (Ⅰ)∵ f ? ? x ? ? lnx ? 1 ,解 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ∴ g ? ? x ? ? lnx ? 1 ? ?ln ? k ? x ? ? 1? ? ln ? ? 由 g ? ? x ? ? 0 ,得

x k?x

k k ? x ? k ,由 g ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 2 2 k? k ? ? ? ∴ 函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减;在 ? , k ? 上单调递增 2? ?2 ? ? k ?k? 故函数 g ? x ? 的最小值是: g ? ? ? k ? ln . 2 ?2? 2a (Ⅲ)∵ a ? 0 , b ? 0 ,∴ 在(Ⅱ)中取 x ? ,k ? 2 a?b 2a ? ? 2a ? ? ? 2a ? ? 2b ? 可得 f ? ? ? f ?2? ? ≥ 2ln1 ,即 f ? ?? f ? ?≥ 0 . a?b? a?b? a?b? ? ? ? ?a?b? 2a 2a 2b 2b ∴ ln ? ln ≥0 , a?b a?b a?b a?b ∴ alna ? blnb ? ? a ? b ? ln2 ? ? a ? b ? ln ? a ? b ? ≥ 0 .
即 f ? a ? ? ? a ? b ? ln2 ≥ f ? a ? b ? ? f ?b ? . 18.解:(1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 则总造价 f(x)=400×( 2 x ? 2 =1 296x+ (元), 当且仅当 x=

162 米. x

162 )+248×2x+80×162 x

129600 100 100 +12 960=1 296( x ? )+12 960≥1 296×2 x ? +12 960=38 880 x x x 100 (x>0),即 x=10 时取等号. x

∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38 880 元. (2)由限制条件知 ?

? 0 ? x ? 16 1 ? 162 ,∴ 10 ? x ? 16 0? ? 16 8 ? x ?

4

设 g(x)= x ?

100 1 ( 10 ? x ? 16 ). x 8

? 1 ? ? 8 ? 1 162 ∴当 x=10 时(此时 =16), g(x)有最小值,即 f(x)有最小值. 8 x 1 ∴当长为 16 米,宽为 10 米时,总造价最低. 8
g(x)在 ?10 ,16? 上是增函数, 19 解: (1)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴NP 为 AM 的垂直平分线,∴ |NA|=|NM| 又? CN | ? | NM |? 2 2,? CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. | | ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2.

? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 1.

∴曲线 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2
1 , 3

(2)动直线 l 的方程为: y ? kx ?

1 ? ? y ? kx ? 3 , 3 16 ? 2 2 ? 0. 由? 2 得 (2k ? 1) x ? kx ? 4 9 ? x ? y 2 ? 1, ?2 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则 x1 ? x2 ?

4k 16 , x1 x2 ? ? . 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1)

假设在 y 上存在定点 G(0,m) ,满足题设,则

GA ? ( x1 , y1 ? m), GB ? ( x 2 , y 2 ? m). GA ? GB ? x1 x 2 ? ( y1 ? m)( y 2 ? m) ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? m 2 1 1 1 1 ? x1 x 2 ? (kx2 ? )(kx2 ? ) ? m(kx1 ? ? kx2 ? ) ? m 2 3 3 3 3 1 2 1 ? (k 2 ? 1) x1 x 2 ? k ( ? m)(x1 ? x 2 ) ? m 2 ? m ? 3 3 9 2 16(k ? 1) 1 4k 2 1 ?? ? k ( ? m) ? m2 ? m ? 2 2 3 3 9 9(2k ? 1) 3(2k ? 1) 18(m 2 ? 1)k 2 ? (9m 2 ? 6m ? 15) ? 9(2k 2 ? 1)
由假设得对于任意的 k ? R ? GA ? GB ? 0 恒成立,
5

即?

? 2 ?m ? 1 ? 0, 解得 m=1。 ? 2 ?9m ? m ? 15 ? 0,

因此,在 y 轴上存在定点 G,使得以 AB 为直径的圆恒过这个点,点 G 的坐标为(0,1)

这时,点 G 到 AB 的距离 d ?

4 3 k ?1
2

? | AB |? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) 2 .

S GAPB ?| AB | d ?

4 4 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 3 3

4 16k 2 64 16 9k 2 ? 4 ? ? ? . 3 2(k 2 ? 1) 2 9(2k 2 ? 1) 9 (2k 2 ? 1) 2
2 设 2k ? 1 ? t , 则 k ?
2

t ?1 , 2

得 t ? ?1,?? ?, ? ?0,1?.

1 t

所以 S GAPB ?

16 9 1 1 1 2 16 1 81 1 9 2 32 ( )? ( ) ? [ ?( ? ) ] ? . 9 2 t 2 t 9 2 4 t 2 9

当且仅当 ? 1 时,上式等号成立。 因此, ?GAPB 面积的最大值是

1 t

32 . 9

20.解:(I)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . 当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? 由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 2 1 2x ?1 ,∴ f ?( x ) ? ? 2 ? . x x x x2

1 . 2

f ( x) , f ?( x ) 随 x 变化如下表:

x
f ( x)
f ?( x )

1 (0, ) 2
减 -

1 2
0 极小值

1 ( , ??) 2
增 +

由上表可知, f ( x)极小值 ? f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,没有极大值. (II)由题意, f ?( x) ?

1 2

2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 . x2

6

1 1 , x2 ? . 2 a 1 1 若 a ? 0 ,由 f ?( x)≤0 得 x ? (0, ] ;由 f ?( x)≥0 得 x ? [ , ??) . 2 2 若a ? 0, 1 1 1 1 1 1 ? ? ,x ? (0, ? ] 或 x ? [ , ??) ,f ?( x)≤0 ;x ? [? , ] ,f ?( x)≥0 . ①当 a ? ?2 时, a 2 a 2 a 2
令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ? ②当 a ? ?2 时, f ?( x)≤0 . ③当 ?2 ? a ? 0 时, ?

1 1 1 1 1 1 ? , x ? (0, ] 或 x ? [? , ??) , f ?( x)≤0 ; x ? [? , ? ] , a 2 2 a 2 a

f ?( x)≥0 .
综上,当 a ? 0 时,函数的单调递减区间为 (0, ] ,单调递增区间为 [ , ??) ; 当 a ? ?2 时,函数的单调递减区间为 (0, ? ] , [ , ??) ,单调递增区间为 [ ? 当 a ? ?2 时,函数的单调减区间是 (0, ??) , 当 ?2 ? a ? 0 时,函数的单调递减区间为 (0, ] , [ ? (Ⅲ) 当 a ? 2 时, f ( x ) ?

1 2

1 2

1 a

1 2

1 1 , ]; a 2

1 2

1 1 1 , ??) ,单调递增区间为 [? , ? ] . a 2 a

1 4 x2 ?1 ? 4 x , f ?( x) ? . x x2

∵ x ? [ , 6 ? n ? ] ,∴ f ?( x)≥0 . ∴ f ( x ) min ? f ( ) ? 4 , f ( x) max ? f (6 ? n ? ) .

1 2

1 n

1 2

1 n

1 1 2 n 1 1 令 k ? 6 ? n ? ≥8 ,且 f ( k ) 在 [6 ? n ? , ??) 上单调递增, n n 1 1 f min (k ) ? 32 ,因此 m ? 32 ,而 m 是正整数,故 m≤32 , 8 8 1 所以 m ? 32 时, 存在 a1 ? a2 ? ? ? a32 ? ,am?1 ? am?2 ? am?3 ? am?4 ? 8 时, 对所有 n 满 2
由题意, mf ( ) ? 4 f (6 ? n ? ) 恒成立. 足题意. ∴ mmax ? 32 .

7


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