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1.3《弧度制》


目标:
?1、理解并掌握弧度制的定义,

?2、能进行角度与弧度之间的换算。
?3、能用弧度制解决简单的问题

温故而知新
1、角度制的定义 规定周角的1/360为1度的角这种用度做单位 来度量角的制度叫角度制。

1 °
2、弧长公式及扇形面积公式 n πR l= ——— S

= 180

l n ° R

——— 360

nπR2

讲授新课
1、弧度制
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。

B l=r
1弧度

设弧AB的长为l,

l = 1 弧度 若l=r,则∠AOB= r

O

r

A

若l=2r,
l 则 ?AOB ? ? 2 弧度 r

若l=2 π r,
l π 弧度 则 ?AOB ? ? 2 r

B
2弧度

l=2r O r
A

l=2 π r
2π弧度

O

r

A(B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它所对的弧的 l 长为3r,则∠AOB的弧度数的绝对值是 ? 3 r



l ?AOB ? ? ? ?3 r

弧度
r

O
B

A l=3r

-3弧度

一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,

零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝对值:

︱ α︱ =

其中l为以角α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。

l r

2、弧度与角度的换算 若 l=2 π r,

l 则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360°

l=2 π r
O r A(B)

360°= 2π 弧度

180°= π 弧度

由180°= π 弧度 还可得

1° =

π —— 弧度 ≈ 0.01745弧度
180

180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′

π

例1. 把下列各角化成弧度 (1) 67 °30'

(3) 75 °
(5) 300 °

8 5 π ( 3 ) (4) 135 ° 12 5π ( 5 ) (6) - 210 ° 3

(2) 120 ° (1)3 π

3 (4)3π 4 (6) ?7π 6

(2) 2π

例2: 把下列各弧度化成度.

3π (1) 5
(3) ? 4 π 5

(2)

12

π

(1)108o (3)-144o

(2)15o

π (4) ? 56

(4)-150o

注:
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换 算要熟记。 度
0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270° 360°

弧 度

0

π

6

π 4

π 3

π

2

π

3π 2



2、用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”二字 通常省略不写,但用“度”(°)为单位不能省。
3、用弧度为单位表示角时,通常写成“多少π”的形式。

例3、把下列各角化成 2k? ? ??0 ? ? ? 2?,k ? Ζ? 的形式:
16? 11? ? (1 ) (2) ? 315 (3) ? 3 7 16? 4? ? 4? ? (1):
3 3
7? ? (2): ? 315 ? ? 4 ? ?2? ? 4
0

(4) ? 8

11? 3? (3): ? ? ?2? ? 7 7 (4) ? 8 ? ?4? ? (4? ? 8)

例4:判断下列各角所在象限
(1)

?
5
?
5

( 2)

11? 5

( 3)

2000 ? ? 3

(4) 1
解:(1)

( 5)

4
?
5 ?

(6)
?
2

?8
?

?0 ?

?
5

是第一象限角 .

11? ? 11? 11? ? ? 2? ? ? 是第一象限角 ( 2) 5 5 5 5 2000 2000 4? ( 3) ? ? ?? ? ? ?668 ?? 3 3 3 4? 3? 2000 又 ?? ? ? ?? ?是 第 三 象 限 角 . 3 2 3

(4) ? 0 ? 1 ?

?
2

(?? ? 3.1 4 ?

?
2

? 1.57)

? 1是第一象限的角 . 3 (5)? ? ? 4 ? ? 2 ? 4是第三象限的角 . 分析 : 由于? ? 3.14, 得 ? 2? ? ?6.28 ,

? 4? ? ?12.56.而 ? 8介于两数之间. (6)? ?8 ? ?4? ? (4? ? 8) 3 又 ? ? ? 4? ? 8 ? ? 2 ? ? 8是第三象限的角 .

解题思路
判断一个用弧度制表示 的角所在象限 , ,然 2?? ? ? (? ? ? )的形式 一般是将其化成 后再根据 ?所在象限予以判断 .

(2? ? 1)? ? ? (? ? ? ) 注意: 不能写成 的形式 . 10 ? 例 ?不 能写 成 3? ? 的形式 , 3 3 4? 而 应写 成 2? ? 3

3、圆的弧长公式及扇形面积公式

由︱α︱=
l

l r


r
O
α

=︱α ︱r 1 S =— l r 2 1 =— ︱ α ︱ r2 2

l

例5 已知扇形的周长为 8cm, 面积为 4cm2 ,

求该扇形的圆心角的弧 度数.
R, 弧长为 L, 则由 解 : 设扇形半径为 L 2R ? L ? 8
1 LR ? 4 2

?

R

故该扇形的圆心角 ?的弧度数为
L 4 ?2 ?? ? R 2

练习、下列角的终边相同的是( B ).
? ? A. k? ? 与 2k? ? ,k ? Ζ 4 4 ? 2? B. 2k? ? 与 ? ? ,k ? Ζ 3 3

k? ? 与 k? ? ,k ? Ζ C. 2 2
D.

?2k ? 1??与 3k?,k ? Ζ

练习 如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y

0 (1) y

45

0

x?

?? | 2?? ? ?

?
4

? ? ? 2?? ?

?
2

? (? ? ?)? ?

0 (2)

45

0

x

? ? ? ?? | ?? ? ? ? ? ?? ? 4 2 ?

? (? ? ?)? ?

课堂小结:
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外, 为以后学习三角函数打下基础。 2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、弧长公式: l

? ? ?r

1 1 扇形面积公式: S ? lr ? r 2 ? 2 2

? (其中 l 为圆心角 ? 所对的弧长 为圆心角的弧度数 )


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