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2013-2014第一学期微积分第三次月考试卷参考答案














2013-2014 学年第一学期《微积分 B》第三次月考试卷
学院_____________ 学号_______________
题号 得分 阅卷人 请注意:本卷共十道大题,如有不对,请与监考老师调换试卷!

一、单项选择题(每小题 2 分,满分 10 分) 一 二 三

专业___________________ 姓名_____________
四 五 六 七 八

班级____________





总分

1.若 ? ae ? x dx ? 1,则a ? ? C ?
0

??

  ( A)1     

( B)   2

1 1   (C )    ( D)   ? 2 2          
2 2.微分方程 y ?? ? y y ? 满足条件 y ? (0) ?

1 , y (0) ? 1 的解是(B) 3

(A)

1 2 ? x ?1 2 3 y 1 1 x ? 2 ?1 3 y

(B)

1 2 ? ? x ?1 2 3 y 1 1 x ? 1? 2 3 y

(C)

(D)

3.微分方程 y ?? ? y ? e ? 1的一个特解应具有形式(D)
x

(A) Ae ? B
x

(B) Axe ? Bx
x

第 1 页 共 7 页

(C) Ae ? Bx
x

(D) Axe ? B
x

4.使函数f ( x) ? 3 x 2 (1 ? x 2 )适合罗尔定理条件的区间是 ? A? . 3 4 ( A)[0,1]      ( B)[   ?1,1]    (C )[   ?2, 2]    ( D)[   ? , ] 5 5                    
5.设f ( x), g ( x)在x0的某去心邻域内可导, g ?( x) ? 0且 lim f ( x) ? lim g ( x) ? 0,
x ? x0 x ? x0

则( I ) lim

x ? x0

f ( x) f ?( x) ? A与(Ⅱ) lim ? A关系是 ? B ? . x ? x0 g ?( x) g ( x)

( A)(   Ⅰ )是(Ⅱ的充分但非必要条件 ) ( B)(   Ⅰ )是(Ⅱ的必要但非充分条件 ) (C )(   Ⅰ )是(Ⅱ的充要条件 ) ( D)(   Ⅰ )不是(Ⅱ的充分条件,也不是必要条件 )                    
二、填空题(每小题 2 分,满分 10 分)

dx 收敛,则必有p __ ? 1. ______________ 0 xp 2. 曲 线 上 点 ( x, y) 处 的 切 线 斜 率 为 该 点 纵 坐 标 的 平 方 , 则 此 曲 线 的 方 程 是 1 _y?? ______ 。 x?C
1. 若广义积分

?

1

?2 x 3. 微分方程 y ?? ? 4 y ? ? 4 y ? 8 的通解为??? y ? (C1 ? C2 x)e ? 2 ????? 。

4. lim

ln cos ax a2 的值等于 _    _________________ , (b ? 0). x ?0 ln cos bx b2

5.函数f ( x) ? 1 ? 3 x2 在[?1,1]上不具有罗尔定理的结论, 其原因是由于f ( x)不满足
罗尔定理的一个条件:___ f ( x)在(?1,1)内可导 ______________________ 。

第 2 页 共 7 页

三、 (满分 10 分)

求?

??

x2 ? 2 x3 x 2 ?1

1

dx.

令 x ? sec t
原式 ? ? 2 (1 ? 2 cos2 t )dt
?

?

?

0

5分 10 分

2

?

?
2

??

四、 (满分 10 分)

设函数f ( x)在[a, b]上有连续导数 , 在(a, b)内二阶可导 , 且f (a) ? f (b) ? f ?(a) ? 0, 证明在(a, b)内至少存在点 c, 使f ??(c) ? 0.

证明: 因f ( x) 在[a, b]上有连续导数, 且f (a) ? f (b) ? 0 即f ( x) 在[a, b]上满足罗尔定理的条件
则至少存在? ? (a , b) 使f ?(? ) ? 0 又f ?( x ) 在[a , ? ]连续在 (a , ? ) 可导且f ?(a ) ? f ?(? ) ? 0 即f ?( x ) 在[a , ? ]上满足罗尔定理的条件

3分

8分

则至少存在c ?(a, ?) ? (a, b) 使f ??(c) ? 0
五、 (满分 10 分)

10 分

? ln(1 ? x)    ,当x ? ?1, x ? 0 ? 设f ( x) ? ? 在(?1,??)上连续, x ? ,当x ? 0, ? A     求A值, 并判定f ?( x)在x ? 0处的连续性 .
A ? f (0) ? lim f ( x ) ? lim
x ?0

ln(1 ? x ) ?1 x ?0 x

2分

第 3 页 共 7 页

当x ? 0时 x ? ln(1 ? x ) x ? (1 ? x ) ln(1 ? x ) 1 ? x f ?( x ) ? ? 2 x x 2 (1 ? x )
当x ? 0时 f ?(0) ? lim
x ?0

4分

f ( x ) ? f (0) ln(1 ? x ) ? x ? lim x ?0 x x2

1 ?1 1 ? lim 1 ? x ?? x ?0 2x 2
因为 1 ? 1 ? 1 ? ln(1 ? x ) 1    lim f ?( x ) ? lim ? lim 1 ? x ? ? ? f ?(0) 2 x?0 x?0 x ?0 6 x ? 2 2 3x ? 2 x

6分

8分

所以f ' ( x)在x ? 0处连续
六、 (满分 10 分)

10 分

1 ? y?x ? xy ? ? 解方程 ? x ?1 ? ? y x ?1 ? 1
(1)可化为: y ? ?

(1) ( 2)

1 y ?1 x ( x ? 1)

1 ? dx ? ?? 1 d x ? ? ? ? ? y ? ?C ? ? ?e x ( x ?1) ? d x ?e x ( x ?1) ? ? ? ? ? ? ? ?

?C

x x2 x ? ? ln x x ?1 x ?1 x ?1

(5 分)

由初始条件(2)确定 C ? 1,故得

y?

x x2 x ? ? ln x x ?1 x ?1 x ?1

(10 分)

第 4 页 共 7 页

七、 (满分 10 分) 求微分方程 原方程化为

dy 1 的通解。 ? 2 3 d x x y ? xy

dx ? xy ? y 3 x 2 dy

(2 分)

d x ?1 ? yx ?1 ? ? y 3 dy
解得: x
?1

(5 分)
2

?e
?

?

y2 2

y ? ? 2 ?C ? (2 ? y )e 2 ? ?
2

? ? ? ? ?

(8 分)

即, x ? e

y2 2

y ? ? 2 ?C ? (2 ? y )e 2 ? ? 1 (10 分) ? ? ? ?

八、 (满分 10 分) 设 函 数 y ( x ) 有 二 阶 连 续 导 数 , 且 y ? (0) ? ?

3 。 试 由 方 程 2

y( x) ? 1 ?

1 x [ ? y ??(t ) ? 6te ? t ]d t 确定 y ( x ) 。 3 ?0 1 y ?( x ) ? ? y ??( x ) ? 6 xe ? x ,即 3

?

?

? y ?? ? 3 y ? ? 6 xe ? x ? 3 ? y ?(0) ? ? , y (0) ? 1 ? 2 ?
?x 令 y ? ? p( x), y ?? ? p ? ,得 p ? ? 3 p ? 6xe

(2 分)

3 ? ? p ? y ? ? e ?3 x ?3xe 2 x ? e 2 x ? C1 ? 2 ? ?
由 y ? (0) ? ?

3 ,得 C1 ? 0 2
第 5 页 共 7 页

3 y ? ? 3xe ? x ? e ? x 2 3 ?x e ? C2 2 5 由 y (0) ? 1 ,得 C2 ? 2 3 5 y ? ?3xe ? x ? e ? x ? 2 2 y ? ?3xe ? x ? 3e ? x ?

(6 分)

(10 分)

九、 (满分 10 分) 求微分方程 y ?? ? 4 y ? 3sin x 的一条积分曲线,使其与曲线 y ? tan 3x 相切于原点。 方程的通解为

y ? C1 cos 2 x ? C2 sin 2 x ? sin x
由已知得初始条件 y(0) ? 0, y ?(0) ? 3 ,代入上式得

(4 分)

C1 ? 0, C2 ? 1
故所求积分曲线的方程为

(8 分)

y ? sin 2 x ? sin x
十、 (满分 10 分)

(10 分)

设有一质量为 m 的物体,在距离地面为 h 的高度由静止开始下落。如果空气阻力与物 体运动的速度成正比,比例系数为 k ( k ? 0) ,求物体下落的距离与时间的关系。 设 t 时刻物体下落的距离为 S (t ) ,由牛顿第二定律

d2 S dS m 2 ? mg ? k dt dt


S (0) ? 0, S ?(0) ? 0
方程的通解为

(4 分)

第 6 页 共 7 页

S ? C1 ? C2 e

k ? t m

?

m gt k
m2 m2 g , C ? g 2 k2 k2

代入初始条件得 C1 ? ?

故物体下落的距离与时间的关系为

S?

k m2 g ? ? mt ? m e ? 1? ? gt ? k2 ? ? k

(10 分)

第 7 页 共 7 页


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