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用数学归纳法证明一类不等式的技巧


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数 学 通 讯 

2 0 0 3年 第 1期 

用 数 学 归 纳 法 证 明 一 类 不 等 式 的 技 巧 
赵忠彦  
( 民 勤 县 第 一 中学 , 甘肃 7 3 3 3 0 0 )  
<

br />中图分 类号 : 01 2 7 . 7 —4 2  

文 献标 识码 : A  

文章 编号 : 0 4 8 8—7 3 9 5 ( 2 0 0 3 ) 0 1—0 0 1 4—0 2  

对 于一边 是 常数 的数 列 不 等 式 , 在用 数 学 归纳 

l< 口  < 

,  

法 直接 证 明时 , 归纳 过 渡往 往 有 一定 的困 难 , 若 利用 
不等式 的传 递 性 、 可 加性 等 性 质 , 通过强化命题, 放  缩 常数 等 技 巧 , 就可顺利完 成归纳过 渡, 下 面 举 例 
说明.   从 而有 a  >1 ( , l ∈ N) .   2 放 缩 常 数 a为 口±f( , 1 ) 的 式 子 

1 通 过 分 析 归 纳 过 渡 需 要 的 条 件 强 化 命 题  由于 更 强 的 命 题 提 供 更 强 的 归 纳 假 设 , 因 而 一  个更 强 的命题 , 用数 学归 纳 法反 而容 易证 明 .  
例 1 ( 1 9 7 7年 加 拿 大 奥 林 匹 克 试 题 ) 设 o <a  

例 2求 证 { } +   1 + … +  < 2 (   E N ) .   分 析 :   假 设   =   时 , 不 等 式 { } +   1 + … + 古  
< 2成 立 , 则 有 
1 1 : + 1 + . -


‘  
+ 

1+  

< 2+  
,  

< 1 , 定 义n l   1 + a , a n + l   去+ n , 求 证 : 对 一 切 自  
然数 , l , 有 a  >1 .   分析:   假设 7 I =  时, 。 I >1 , 则 。 ★ + 1 =_ i +口  
i t/ ,  

无法 推 出小于 2 . 这是 由 于 不等 式 右 边 是 常 数 , 整 个  不等 式不 具有 递 推性 .   若 把 2缩 小 为 2一f ( , 1 ) . 即证 

<1 +a, 推不 出 a I + l >1 .  

古 +   1 + … +  < 2 一 , (   ) ,  
则 , l =I 时, 1 <2 一,( 1 ) .  

怎么 办呢 ?可 寻 求 a I + l > 1成 立 的 充 分 条 件 .   欲证  + l >1 , 只要 证  a t

+ 4 > 1 , 即 证  <   _ l . 只  

假设 , l =  时,  

要 命 题 加 强 为 1 < a n < r _即 I 可 完 成 归 纳 过 渡 ?  
证 明  1 ’   当 , l =1时 , a l =1 + a> 1 , 又由 1 一  
口   < 1可 得 l +a<   , . ? . 1 <a l <  1 一   l 一  a
a 
.  

古 +   I + . . ? + - k l  ̄ < 2 一 , (  
当 , l =   +1时 , 就 有 

{ +   1 + . . ‘   1 +  
,  
^   {  

< 2 一  ) +  

.  

2 。 假设 , l   k ( k E N)  ̄, 1 <a k < 
* 

, (   ) 的 确 定 只 要 使一 , (   ) + 南


< 0 且1  

那 么 当, l  +   时 ,  + l   玄+ n ,  
由假设 得 1 ~n<上 <1
ak  
?
. .

< 2 一 , ( 1 ) 即 可 . 而   {  < ÷ ,   {  <   ,  


等等.  

, 

当, (  ) =T 1时
,  
, 

1< 1

+ n<1 +4<  L
■  

ak  

a 



?

?

1< a t+l<  

?   < 一 

南 一象等 
一   < 0,  

由 I ’ , 2   可 知 对 任 意 自 然 数 n, 都 有 
收 稿 日期 : 2 0 0 2—0 3 —2 1  

作者 简介 : 赵 忠 彦( 1 9 6 6 一) , 男, 甘肃 民勤 人 , 甘肃 民勤 县第 一 中学 一 级教 师 

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2 0 0 3年 第 1 期 

数 学 通 讯 

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又 1 =2 一,( 1 ) , 故 可选 择 , ( , z ) =1
, z .  

但 若 注 意 到   _ 1 ≤  = ÷ = ( 丢 ) ¨ l ,  
且 (  1 )   + (  1 )  + … + (  1 )   + l=  

t i e先 证 { +   1 + … +  ≤ 2 一  ( , z   E N ) .  
1 。 当, z =1时 , 1 ≤ 2—1 , 不等 式成立 .  
2 ‘ 假设 , z =  ( 志∈N) 时,  
1 + 1 + . .


卜   善 2     、 2  、 丢 2 , ’  




去 ≤ 2 一 T 1 ,  

那么当 , z = 志+1时 ,  
1 + 1 + . .


故 只 要 证 得   _ 1 ≤ ( 丢 ) ¨ l , 再 累 加 就 可 证 得  
原 不等 式成 立 .  

+ 

1 + 

≤2一T 1+  

2 )先 证 对 任 意 自然 数 , z , 不等 式亡 l 十a ≤ 
t 

等等 < 2 一 等等 
= 2 一 南.  

( 丢 )  成 立 .  
1 ‘ 当 , z =1时 ,  
≤  =   1   1)   + 1
.  

由 1 ’ , 2 ’ 可 知 吉 +   1 + … +  ≤ 2 一  对 任 意  
自然 数 , z 成立.  

从 而对 任意 自然 数 n, 都 有 

2 ‘ 假 设 , z = 志 ( 志 ∈ N ) 时 ,   _ l ≤ ( ÷ ) ” 1 .  
当, z =志+1时 ,  
— — —

古 +   1 + … +  < 2 .  
3 把 常 数 转 化 为 与 另 一 边 具 有 相 同 结 构 的 式 子 



:— — — — — — — ! — — 一
1  

 

1 +a k + 1   1 +口 : 一k a I +1   = 万 
≤  ; 

例 3 ( 2 0 0 2年 全 国高 考 理科 第 ( 2 2 ) 题 第 (Ⅱ)  
小题 ) 设数 列 { a   I 满足 a   + l =口 2   一n a  + 1 ( , z ∈ N) ,   a l 1 3, > 证 明 对 所 有 的 自然 数 , z , 有 
1 )口 一 ≥, z +2 ;  
2   1 +  + . .


≤ 丢 × ( 丢 ) ¨ k( { ) “ + l   1 .  
+   ≤ ÷ .  
由1   , 2 ’ 可知 , 对 任意 , z ∈N, 都 有 
1   1) 川
.  

分析

对于 1 ) 用数 学 归 纳法 易 证 , 对于2 ) 是 否 

也能 用数 学归纳 法 证 明呢 ?  

由不等 式 的可加 性 , 得 
1   +  +. .
?

若 假 设 南 + 南 …  1≤ 丢 , 则  
1 +  + . .


+ 

1  

+ 



+ 

≤ 丢+  
: 2 + 。—— — . _——一  

a I ( a I 一是) +2  

≤ 丢+  了   =   1 +  1  ,   推 不 出 结 论 . 若 把 丢 缩 小 为   1 一 , ( , z ) , , ( , z ) 的 解 析  
式 也不 易确 定 .  

≤ ( 丢 )   + ( 丢 )   + … + ( 丢 )   ÷  ( 丢 )   ]   - 一 丢   丢一 ( 丢 )  < 丢 .  
一  



从 而 有 
1 +  + . .


+ 

1  

1( n∈ N)
.  


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