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匀强磁场中的匀速圆周运动专题


匀强磁场中的匀速圆周运动专题

数学知识准备
1.已知两相交圆的有关边角关系

2.逆向思维的应用

一.沿半径方向飞入匀强磁场

沿半径方向飞入磁场,必沿半径方向飞出磁场

例1.(2002年全国) 、电视机的显像管中,电子束的偏 转是用磁偏转技术实现的。电子束经

过电压为U的加速 电场后,进入一圆形匀强磁场区,如图所示。磁场方向 垂直于圆面。磁场区的中心为O,半径为r。当不加磁场 时,电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让 电子束射到屏幕边缘P,需要加磁场,使电子束偏转一 已知角度θ ,此时的磁场的磁感应强度B应为多少?
P

解析:电子在磁场中沿圆弧ab运动。圆心为C,半 径为R,如图以v表示电子进入磁场时的速度。M、e分 别表示电子的质量和电量,则

eU=
evB=

1 2

mv
2

2




mv R

又有tan

?
2

?

r R


1 r 2 mU e

由以上各式解得

B ?

tan

?
2

本题是一道关于带电粒子在电场中加速和在磁场中受洛仑兹 力的综合题,关键要搞清电子束从加速电场出来后,进入磁场 前及从磁场出来后是作匀速运动的。本题考查了粒子加速和圆 周运动问题又结合了生活实际。

巩固练习. 如图所示,带负电的粒子垂直磁场 方向进入圆形匀强磁场区域,出磁场时速度方 向偏离原方向60°已知带电粒子质量m=3×10 -20kg,电荷量为q=10-13c,速度v =105m/s磁场 0 区域的半径为R=0.3m,不计重力,求磁场的磁 感强度。

巩固练习.在半径为r的圆筒内有匀强磁场,质量 为m、带电量为q的带电粒子在小孔S处以速度 v0向着圆心射入,问施加的磁感强度为多大, 此粒子才能在最短的时间内从原孔射出?(高 相碰时电量和动能均无损失)

例2 在xoy平面内有许多电子(质量为m,电量 为 e )从坐标原点O不断地以相同大小的速度v0 沿不同的方向射入第一象限,如图所示,现加上 一个垂直于xoy平面的磁感应强度为B的匀强磁场, 要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴正方向 运动,试求出符合条件的磁场的最小面积。

感悟· 渗透· 应用
【解题回顾】数学方法与物理知识相结合是解决 物理问题的一种有效途径.本题还可以用下述方 法求出下边界.设P(x,y)为磁场下边界上的一点, 经过该点的电子初速度与x轴夹角为,则由图3-8 可知:x=rsin?, y=r-rcos? 得: x2+(y-r)2=r2 所以磁场区域的下边界也是半径为r,圆心为 (0,r)的圆弧

图3-8

感悟· 渗透· 应用
应是磁场区域的下边界.;圆O2的y轴正方向的 半个圆应是磁场的上边界,两边界之间图形的面 积即为所求? 图3-7中的阴影区域面积,即为磁场区域面积 S= 2( ?r 2 ?
4 1 r
2

)?

(? ? 1) m v0
2

2

2

2e B

2

2

变题.试求轨迹圆圆心的方程

例2.1994年高考. 如图所示,一带电质点,质量为m,电量为q,以平行 于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象 y 限所示的区域.为了使该质点能从x 轴上的b 点 v a 以垂直于Ox 轴的速度v 射出,可在适当的地方 加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强 磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求 x O 这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计. b v 解:质点在磁场中作半径为R 的圆周运动, R=mv/Bq 根据题意,质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4 圆 周,这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切.分别过 a、b点作平行于x、y 轴的直线, 则与这两直线均相距R 的O′点 就是圆周的圆心. 质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R 为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧MN, M N ? 2 R ? 2 mv qB M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上. 在通过M、N 两点 的不同的圆周中, 最小的一个是以MN 连线为直径的圆周.所以 本题所求的圆形磁场区域的最小半径为 r ? 1 2 MN ? 2 mv qB 所求磁场区域如图中实线圆所示.

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二.非沿半径方向飞入磁场
找出两圆的关系: 两圆心的连线 共公弦等

例1. 在真空中半径为r=3cm的圆形区域内有一匀强磁 场,B=0.2T ,方向如图示,一带正电的粒子以速度 v=1.2×106m/s 的初速度从磁场边界上的直径ab一端 的a点射入磁场,已知该粒子的荷质比q/m=108 C/kg, 不计粒子重力,则粒子在磁场中运动的最长时间为 s。

分析: V以不同方向入射,以ab为 弦的圆弧θ最大,时间最长. a 圆周运动的半径 R=mv/qB = 10-8 × 1.2×106÷0.2 = 0.06m ∴ θ =30° T=2πR/v ∴ t=T/6=5.2×10-8 s

6cm

b

θ

在直径为d的圆形区域内存在匀强磁场,磁场方向 垂直于圆面指向纸外,一电荷量为+q,质量为m的 粒子,从磁场区域的一条直径AC上的A点射入磁 场,其速度大小为v0,方向与AC成α角,若粒子恰 好能打在磁场区域圆周上的D点,AD与AC的夹角 为β,如图所示,求: ? ①该匀强磁场的磁感应强度B的大小。 ? ②带电粒子以速度v0从A点射入磁场后,并 打在磁场区域圆周上某点所经历的时间最 长,求粒子从A点射入的方向与直径AC的 夹角?

如图所示,匀强磁场分布在半径为R的圆内, 磁感应强度为B,CD是圆的直径,质量为m, 电量为q的带电粒子,由静止开始经加速电场 加速后,沿着与直径CD平行且相距0.6R的直 线从A点进入磁场,若带电粒子在磁场中运动 时间是πm/2qB。求加速电场的加速电压
A 0.6R D C


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