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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 弧度制学案 新人教A版必修4


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 弧度制学案 新人教 A 版必修 4
【学习目标】理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算; 【重点难点】理解弧度制定义,弧度制的运用. 【学习内容】 问题情境导学 实例: ( 1)测量人的身高用米、厘米为单位进行度量,家庭购买水果常用千克、斤为单位 进行度量。 (2)在初中平面几何中,我们曾用角度量过角的大小,并规定周角



1 为 1 度。 360

一、弧度制的定义 ?想一想 1. 从度量长度和重量上,我们可以看出不同的单位制,能给我们解决问题带来方 便,那么角的度量是否也能用不同单位制呢? 填一填 (1) 1 弧度的角: 长度等于_______的弧所对的_______叫做 1 弧度的 角, 用符号_____ 来表示,读作_____ (2)弧度制:以_____为单位来度量角的制度 思考 1: (1)一弧度的角与所选取的圆的半径大小有无关系? (2)任意角的弧度数与实数有怎样的对应关系? 二、角的弧度制的计算 填一填 2:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,那么角 ? 的弧度数的绝 对值 是_______ 三、角度与弧度的换算 ?想一想 3:既然角度制和弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算? 填一填 3:角度化弧度: 360 =_______, 180 ? _______
o o

1o ? _______≈_______。弧度 化角度: 2?rad ? _____ __

?rad ? _______, 1rad ? _______≈_______
思考 2: (1)角度制和弧度制有什么区别和联系?

(2)在弧度制下,与角 ? 终边相同的角 ? 如何表示?角的集合与实数集 R 之间有怎样的对 应关系?

四、弧度制下的扇形的弧长和 面积公式 填一填 4: 设扇形的半径为 R , 圆心角为 ? , 则弧长为 l =_______面积 S ? _______=_______ 课堂互动探究 类型一、弧度制的概念 例 1 有关角的度量给出以下说法: ① 1 的角是周角的
o

1 1 , 1rad 的角是周角的 ; 360 2?
1

② 1rad 的角等于 1 的角;③ 180 的角一定等于 ?rad 的角;
o

o

④度和弧度是度量角的两种不同的度量单位。其中正确的说法是_______ 变式训练 1-1:下列命题中,真命题是( ) A. 一弧度是一度的圆心角所对的弧 B. 一弧度是长度为半径的弧 C. 一弧度是一度的弧与一度的角之和 D. 1 弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位。 类型二、角度制与弧度制的换算 例 2、将下列角转化为另一种形式表示: (1) 67 30
o '

(2) ? 300

o

(3)

8? 5

(4) ?

2? 9

变式训练 2-1: 角 度 弧 度 2-2:把 ? 570 写成 2k? ? ? (k ? z, ? ? ?0,2? ? )的形式是_______
o

0o

30o

45o

60o

90o

120o

135o

150o

180o

270o

360o

__

你能用此形式表示象限角及坐标轴上的角吗?

类型三、与扇形的弧长、面积有关的计算 例 3、已知一扇形的周长为 8cm ,当 它的半径和圆心角取什么值时,扇形的面积最大?并 求出最大值。

变式训练 3-1:一扇形的面积为 1,周长为 4,求圆心角的弧度数。

【课堂小结与反思】通过这节课的学 习有哪些收获?

2

【课后作业与练习】 基础达标 1.一条弧长等于半径的

? ? B. 3 6 3? 2. 对应的角度为( 4
A.
A. 75o
o

1 ,则此弧所对的圆心角是( 2 1 C. D. 以上均不对 2




B. 125o

C. 135o


D. 155o

3. ? 120 化成弧度为(

A. ?

9? 的终边相同的角的表达式中,正 确的是( ) 4 9? A. 2k? ? 45o ( k ? Z ) B. k ? 360 o ? (k ? Z ) 4 5? C. k ? 360o ? 315o (k ? Z ) D. k? ? (k ? Z ) 4 5.若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm ,则这个圆心角所夹的扇形的面积是(
4.下列与

5? 6

B. ?

?
2

C. ?

2? 3

D. ?

3? 4



A. 4cm 2
6.把角

B. 2cm 2

C. 4?cm 2

D. 2?cm 2

25? 化成 2k? ? ? (k ? z, ? ? ?0,2? ? )的形式是 6
__
2

_______

7.扇形 的周长是 6cm ,面积是 2cm ,则扇形的圆心角的弧度是_______ 能力提升 8.若 ? 是第三象限的角,则 ? ?

?
2

是(

)

A. 第一或第二象限的角
C. 第二或第三象限的角
9.集合 M ? ?? ? ?

B. 第一或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角

? ?

? k? ? ? ,k ? Z? N ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 5 ?


则 M ? N 等于(

? ? 3? ? A. ?? , ? ? 5 10 ?

? 7? 4? ? B. ?? , ? ? 10 5 ?

3

? ? 3? 7? 4? ? C. ?? , ,? , ? ? 5 10 10 5 ?
10.下列转化结果错误的是(

? 3? 7? ? D. ? ,? ? ? 10 10 ?
).

A. 60o 化成弧度是

? 3
7? 6

B. ?

10? o 化成度是 ? 600 3

? o 化成度是 15 12 11.若角 ? , ? 的终边关于 y 轴对称,则 ? 与 ? 的关系一定是(其中 k∈Z)(
C. ? 150o 化成弧度是 ? D.

).

A. ? ? ? ? ?
C. ? ? ? ?

B. ? ? ? ?

?
2

?
2

? 2k?

D.

? ? ? ? (2k ? 1)?

12.用弧度制表示终边在 x 轴上方的角的集合_______ 13. 若角 ? 的终边与角 ________. 14.若角 ? 的终边与角

8? ? 的终边相同,则在 ?0,2? ? 上,终边与角 的终边相同的角是 5 4

? 的终边关于 y ? x 对称,且 ? ? (?4? ,4? ) 则 ? =________ 6

15.一条弦的长度等于半径 r,求: (1)这条弦所对的劣弧长; (2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.

16.扇形周长为 a ,当扇形的圆心角 ? 和半径 r 各取何值时,扇形的面积最大。

17.如果弓形 的弧所对的圆心角为

? ,弓形的弦长为 4 cm,则弓形的面积是? ?

4


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