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吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷(文科)


吉林省长春市东北师大附中 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题,共 60 分 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1) (x﹣3)>0},则 A∩B=() A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,
2



C. ﹙

,3﹚

D.(

3,+∞)

2. (5 分)命题“?x∈R,x ≠x”的否定是() 2 2 2 A.?x?R,x ≠x B.?x∈R,x =x C.?x?R,x ≠x 3. (5 分)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是() A.y=e
﹣x

D.?x∈R,x =x

2

B.y=x

C.y=lnx

D.y=|x|

4. (5 分)函数 A.关于 y 轴对称 C. 关于原点对称

的图象() B. 关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

5. (5 分)已知条件 p:x>1 或 x<﹣3,条件 q:x>a,且 q 是 p 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围是() A.a≥1 B.a≤1 C.a≥﹣3 D.a≤﹣3 6. (5 分)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 7. (5 分) 已知 a, b, c 分别是△ ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, 若 则 sinC=() A.0 B. 2 C. 1 D.﹣1 8. (5 分)若 b<a<0,则下列不等式中正确的是() A. > B.|a|>|b| C. + >2 D.a+b>ab ,

9. (5 分)函数 y=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< 的表达式为()

)的部分图象如图所示,则该函数

A. C.

B. D.
2

10. (5 分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1,a3 是方程 x ﹣ 5x+4=0 的两个根,则 S5 等于() A.15 B.31 C.32 D.51 11. (5 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且?x∈∈R,f(x)=f(x+4) .当 x∈∈(﹣2, 0)时,f(x)=2 ,则 f﹣f 的值为() A.﹣ B. 0 C. D.1
x

12. (5 分)已知直线 y=k(x+1) (k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有四个公共点 A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) ,D(x4,y4)其中 x1<x2<x3<x4,则有() A.sinx4=1 B. sinx4=(x4+1)cosx4 C. sinx4=kcosx4 D.sinx4=(x4+1)tanx4

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)sin15°+cos15°=. 14. (5 分)已知数列{an}中,a1=2,当 n≥2 时,an﹣an﹣1=n+1,则 a99=. 15. (5 分)已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 +
x y

的最小值是.

16. (5 分)在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫格点,若某函数 f(x)图象恰 2 好经过 n 个格点,则称此函数为 n 阶格点函数,给出以下函数:①f(x)=x ,②f(x)=In|x|; ③ ; ④ .

其中所有满足二阶格点函数的序号是.

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (10 分)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,且 Sn=n , (1)求{an}的通项公式 (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

2

18. (12 分)若函数 f(x)=

cosxsin(x+

) .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及最大值; (Ⅱ)写出函数 f(x)在[0,π]上的单调区间. 19. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=2B, (Ⅰ)求 cosA 及 sinC 的值; (Ⅱ)若 b=2,求△ ABC 的面积. 20. (12 分)某单位用 2560 万元购得一块空地,计划在这块地上建造一栋至少 12 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为 520+50x(单位:元) .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每 平方米的平均综合费用的最小值为多少元? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) .

21. (12 分)已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e=

,虚轴长为 2.

(Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左、右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 22. (12 分)设函数 f(x)=lnx﹣ ax ﹣bx(a≤0) . (Ⅰ)若 x=1 是 f(x)的极大值点,求 a 的取值范围; 2 (Ⅱ)当 a=0,b=﹣1 时,函数 g(x)=mx ﹣f(x)有唯一零点,求实数 m 的取值范围.
2

吉林省长春市东北师大附中 2015 届高考数学三模试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题,共 60 分 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1) (x﹣3)>0},则 A∩B=()

A.(﹣∞,﹣1)

B.(﹣1,



C. ﹙

,3﹚

D.(3,+∞)

考点: 专题: 分析: 解答:

一元二次不等式的解法;交集及其运算. 集合. 求出集合 B,然后直接求解 A∩B. 解:因为 B={x∈R|(x+1) (x﹣3)>0﹜={x|x<﹣1 或 x>3}, },

又集合 A={x∈R|3x+2>0﹜={x|x 所以 A∩B={x|x

}∩{x|x<﹣1 或 x>3}={x|x>3},

故选:D. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,交集及其运算,考查计算能力. 2. (5 分)命题“?x∈R,x ≠x”的否定是() 2 2 2 A.?x?R,x ≠x B.?x∈R,x =x C.?x?R,x ≠x 考点: 专题: 分析: 解答:
2

D.?x∈R,x =x

2

命题的否定. 简易逻辑. 根据全称命题的否定是特称命题,利用特称命题写出命题的否定命题. 解:根据全称命题的否定是特称命题, =x0.

∴命题的否定是:?x0∈R,

故选:D. 点评: 本题考查了全称命题的否定,要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的 命题,全称命题的否定是特称命题. 3. (5 分)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是() A.y=e
﹣x

B.y=x

C.y=lnx

D.y=|x|

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数单调性的性质和函数成立的条件,即可得到结论. 解答: 解:A.函数的定义域为 R,但函数为减函数,不满足条件. B.函数的定义域为 R,函数增函数,满足条件. C.函数的定义域为(0,+∞) ,函数为增函数,不满足条件. D.函数的定义域为 R,在(0,+∞)上函数是增函数,在(﹣∞,0)上是减函数,不满足条 件. 故选:B. 点评: 本题主要考查函数定义域和单调性的判断,比较基础.

4. (5 分)函数

的图象()

A.关于 y 轴对称 C. 关于原点对称

B. 关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将函数进行化简,利用函数的奇偶性的定义进行判断. 解答: 解: 因为 ═ , 所以 f (﹣x) =2 +2 =2 +2 =f (x) ,
﹣x

x

x

﹣x

所以函数 f(x)是偶函数,即函数图象关于 y 轴对称. 故选 A. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系,利用函数奇偶性的定义判断函数的奇 偶性是解决本题的关键. 5. (5 分)已知条件 p:x>1 或 x<﹣3,条件 q:x>a,且 q 是 p 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围是() A.a≥1 B.a≤1 C.a≥﹣3 D.a≤﹣3 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 综合题;简易逻辑. 分析: 把充分性问题,转化为集合的关系求解. 解答: 解:∵条件 p:x>1 或 x<﹣3,条件 q:x>a,且 q 是 p 的充分而不必要条件 ∴集合 q 是集合 p 的真子集,q?P 即 a≥1 故选:A 点评: 本题考察了简易逻辑,知识融合较好. 6. (5 分)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 设数列{an}的公差为 d,则由题意可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得 d 的值. 解答: 解:设数列{an}的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2, 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题. 7. (5 分) 已知 a, b, c 分别是△ ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, 若 则 sinC=() A.0 B. 2 C. 1 D.﹣1 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. ,

分析: 根据已知三内角的关系,利用内角和定理可求出 B 的度数,进而求出 sinB 和 cosB 的值,由 a,b 及 cosB 的值,利用余弦定理列出关于 c 的方程,求出方程的解得到 c 的值,然 后再由 b,c 及 sinB 的值,利用正弦定理求出 sinC 的值即可. 解答: 解:由 A+C=2B,且 A+B+C=π,得到 B= 所以 cosB= ,又 a=1,b=
2 2 2




2

根据余弦定理得:b =a +c ﹣2ac?cosB,即 c ﹣c﹣2=0, 因式分解得: (c﹣2) (c+1)=0,解得 c=2,c=﹣1(舍去) , 又 sinB= ,b= , = 得:

根据正弦定理

sinC=

=

=1.

故选 C 点评: 此题考查了正弦定理,余弦定理以及特殊角的三角函数值,根据已知角度的关系, 利用三角形内角和定理求出 B 的度数是本题的突破点,熟练掌握定理是解本题的关键. 8. (5 分)若 b<a<0,则下列不等式中正确的是() A. > B.|a|>|b| C. + >2 D.a+b>ab

考点: 不等关系与不等式. 专题: 常规题型. 分析: 利用不等式的基本性质,两个负数取倒数或去绝对值不等式方向应该改变,得到 AB 不正确,在根据均值不等式得到 C 是正确的,对于显然知道 a+b<0 而 ab>0 故 D 也不正确. 解答: 解:∵b<a<0 ∴取倒数后不等式方向应该改变 即 < ,故 A 不正确 ∵b<a<0 ∴两边同时乘以﹣1 后不等式方向应该改变 ﹣b>﹣a>0 即|a|<|b|,故 B 不正确 ∵b<a<0 根据均值不等式知: + >2 故 C 正确 ∵b<a<0 ∴a+b<0,ab>0 ∴a+b<ab 故 D 不正确

故选 C 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.

9. (5 分)函数 y=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< 的表达式为()

)的部分图象如图所示,则该函数

A. C.

B. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知,A、T 利用 T 求出 ω,利用( 解答: 解:由图象可知,A=2, 函数 y=Asin(ωx+φ)=2sin(2x+φ) ,当 x= 因为 2sin( 故选 C. +φ)=2,|φ|< ,所以 φ= )再求 φ 即可. ,T=π,所以 ω=2 时,y=2,

点评: 本题考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式,考查学生分析问题和解决 问题的能力,是基础题. 10. (5 分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1,a3 是方程 x ﹣ 5x+4=0 的两个根,则 S5 等于() A.15 B.31 C.32 D.51 考点: 等比数列的前 n 项和.
2

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 解一元二次方程由题意可得 a1=1,a3=4,公比 q=2,由等比数列的求和公式可得. 2 解答: 解:解方程 x ﹣5x+4=0 可得两个根为 1 和 4, 由题意得 a1=1,a3=4,公比 q=2, ∴ ,

故选:B 点评: 本题考查等比数列的求和公式,涉及一元二次方程的解法,属基础题. 11. (5 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且?x∈∈R,f(x)=f(x+4) .当 x∈∈(﹣2, 0)时,f(x)=2 ,则 f﹣f 的值为() A.﹣ B. 0 C. D.1
x

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意得周期 T=4,可得 f﹣f=f(﹣1)﹣f(1)=2f(﹣1) ,运用已知区间上的解析 式即可求解. 解答: 解:?x∈∈R,f(x)=f(x+4)可得周期 T=4, f﹣f=f(﹣1+4×504)﹣f(1+4×503)=f(﹣1)﹣f(1) , 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 则 f(﹣1)﹣f(1)=2f(﹣1) , 由于 x∈(﹣2,0)时,f(x)=2 ,则 f(﹣1)=2 = , 即有 f﹣f=2× =1. 故选 D. 点评: 本题考查函数的奇偶性和周期性的运用:求函数值,考查运算能力,属于基础题. 12. (5 分)已知直线 y=k(x+1) (k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有四个公共点 A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) ,D(x4,y4)其中 x1<x2<x3<x4,则有() A.sinx4=1 B. sinx4=(x4+1)cosx4 C. sinx4=kcosx4 D.sinx4=(x4+1)tanx4 考点: 正弦函数的图象. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: 依题意,在同一坐标系中作出直线 y=k(x+1) (k>0)与函数 y=|sinx|的图象,利用 导数的几何意义可求得切线的斜率,从而将切点坐标代入直线方程(即切线方程)即可求得答 案. 解答: 解:∵直线 y=k(x+1) (k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有四个公共点,如图:
x
﹣1

当 x∈(π,2π)时,函数 y=|sinx|=﹣sinx,y′=﹣cosx, 依题意,切点坐标为(x4,y4) , 又切点处的导数值就是直线 y=k(x+1) (k>0)的斜率 k,即 k=﹣cosx4, ∴y4=k(x4+1)=﹣cosx4(x4+1)=|sinx4|=﹣sinx4, ∴sinx4=(x4+1)cosx4, 故选:B. 点评: 本题考查正弦函数的图象,着重考查导数的几何意义的应用,考查等价转化思想与 数形结合思想的综合应用,考查作图能力与分析、运算能力,属于难题. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)sin15°+cos15°= .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式提取 到结果. 解答: 解:sin15°+cos15°= 故答案为: 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式 是解本题的关键. 14. (5 分)已知数列{an}中,a1=2,当 n≥2 时,an﹣an﹣1=n+1,则 a99=5049. 考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 根据递推公式 a1=2,当 n≥2 时,an﹣an﹣1=n+1,利用累加法和等差数列的前 n 项和公 式求出 a99 的值. 解答: 解:由题意知,当 n≥2 时,an﹣an﹣1=n+1, 所以 a2﹣a1=3,a3﹣a2=4,a4﹣a3=5,…,a99﹣a98=100, ( sin15°+ cos15°)= sin(15°+45°)= sin60°= . ,利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简,即可得

上述各式相加得:a99﹣a1=3+4+5+…+100, 又 a1=2,则 a99=2+3+4+5+…+100= =5049,

故答案为:5049. 思路点拨由递推公式相加易得 a99=2+3+4+5+…+100=5049. 点评: 本题考查数列的递推公式的应用,等差数列的前 n 项和公式,以及累加法求数列的 项,难度不大.
x y

15. (5 分)已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 +

的最小值是 4.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;对数的运算性质. 专题: 计算题. x y x 3y 分析: 由对数的运算性质,lg2 +lg8 =lg2 +lg2 =(x+3y)lg2,结合题意可得,x+3y=1;再 利用 1 的代换结合基本不等式求解即可. x y x 3y 解答: 解:lg2 +lg8 =lg2 +lg2 =(x+3y)lg2, x y 又由 lg2 +lg8 =lg2, 则 x+3y=1, 进而由基本不等式的性质可得, =(x+3y) ( )=2+ ≥2+2=4,

当且仅当 x=3y 时取等号, 故答案为:4. 点评: 本题考查基本不等式的性质与对数的运算,注意基本不等式常见的变形形式与运用, 如本题中,1 的代换. 16. (5 分)在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫格点,若某函数 f(x)图象恰 好经过 n 个格点,则称此函数为 n 阶格点函数,给出以下函数:①f(x)=x ,②f(x)=In|x|; ③ ; ④ .
2

其中所有满足二阶格点函数的序号是 2,4. 考点: 函数的图象. 专题: 新定义. 2 分析: ①当 x=﹣2,0,2,…,f(x)=x ,有无数个格点; ②只有 x=±1 时,f(x)=In|x|=0,满足横、纵坐标均为整数; ③当 x=0,﹣1,﹣2…, ④ =2+ 均为整数,及该函数有无数个格点; ,只有 x=1 与 x=3 时,满足题意.
2

解答: 解:①当 x=﹣2,0,2,…,f(x)=x ,有无数个格点,可排除 A; 对于 f(x)=In|x|,只有 x=±1 时,f(x)=In|x|=0,满足横、纵坐标均为整数,故②为二阶格 点函数;

③当 x=0,﹣1,﹣2…, 除 C; 对于④, =2+

均为整数,及该函数有无数个格点,故可排

,显然只有 x=1 与 x=3 时,满足横、纵坐标均为整数,故

④为二阶格点函数. 故答案为:②④. 点评: 本题考查函数的图象,着重考查基本初等函数的性质,注重排除法与转化法的考查, 属于中档题. 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,且 Sn=n , (1)求{an}的通项公式 (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
2

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 2 分析: (1)将 Sn=n 中的 n 用 n﹣1 代替仿写出一个新的等式,两个式子相减,即得到函数 的通项公式. (2)将 an 的值代入 bn,将其裂成两项的差,利用裂项求和的方法求出数列{bn}的前 n 项 和 Tn. 2 解答: 解: (1)∵Sn=n 2 ∴Sn﹣1=(n﹣1) 两个式子相减得 an=2n﹣1; (2) 故 Tn= = 点评: 求数列的前 n 项和问题,应该先求出数列的通项,根据通项的特点选择合适的求和 方法,常见的求和方法有:公式法、倒序相加的方法、错位相减法、裂项相消法、分组法. + + +…+ = = (

18. (12 分)若函数 f(x)=

cosxsin(x+

) .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及最大值; (Ⅱ)写出函数 f(x)在[0,π]上的单调区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: (Ⅰ)先化简 f(x)=

cosxsin(x+

)=

sin(2x+

)+ ,由正弦函数的性质

即可求函数 f(x)的最小正周期及最大值; (Ⅱ)由 2k 2k ≤2x+ ≤2x+ ≤2k ≤2k ,可解得函数单调递增区间,由

,可解得函数单调递减区间,从而可求函数 f(x)在[0,π]上的

单调区间. 解答: 解:f(x)= cosxsin(x+ )=cosx(sinx+cosx)= sin(2x+ )+ . . , k ],

(Ⅰ)由正弦函数的性质:f(x)的最小正周期为 T= (Ⅱ) ∵由 2k k∈Z, 由 2k ≤2x+ ≤2k ≤2x+ ≤2k

=π;最大值为

, 可解得函数单调递增区间为: [k

,可解得函数单调递减区间为:[k ]和[

,k

],k∈Z, ,

∴函数 f(x)在[0,π]上的单调区间:函数 f(x)在[0, ]上单调递减.

,π]上单调递增,在[

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,属于基础题.

19. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,A=2B, (Ⅰ)求 cosA 及 sinC 的值; (Ⅱ)若 b=2,求△ ABC 的面积. 考点: 解三角形;三角形中的几何计算. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据 cosA=cos2B=1﹣2sin B,及
2



,可求 cosA 及 sinC 的值;

(Ⅱ)先计算 sinA 的值,再利用正弦定理,确定 a 的值,过点 C 作 CD⊥AB 于 D,利用 c=acosB+bcosA,即可求得三角形的面积. 2 解答: 解: (Ⅰ)因为 A=2B,所以 cosA=cos2B=1﹣2sin B.…(2 分) 因为 ,所以 cosA=1﹣ = .…(3 分) ,所以 cosB= .…(5 分) .…(8 分)

由题意可知,B

所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= (Ⅱ)sinA=sin2B=2sinBcosB=

因为

,b=2,所以

,所以 a=

.…(10 分)

由 cosA= 可知,A

. .…(12 分)

过点 C 作 CD⊥AB 于 D,所以 c=acosB+bcosA= 所以 .…(13 分)

点评: 本题考查二倍角公式,考查正弦定理的运用,解题的关键是搞清三角形中边角之间 的关系. 20. (12 分)某单位用 2560 万元购得一块空地,计划在这块地上建造一栋至少 12 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为 520+50x(单位:元) .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每 平方米的平均综合费用的最小值为多少元? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= )

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可得平均综合费 y=520+50x+ , 利用导数求出函数的最小值以及

对应的 x 的值. 解答: 解:设楼房每平方米的平均综合费为 y 元,依题意得; y=520+50x+ 当 x≥12 时,y′=50﹣ 令 y′=0,即 50﹣ =520+50x+ , =0,解得 x=16; (x≥12,且 x∈N ) ,
*

∴当 x>16 时,y′>0; 当 0<x<16 时,y′<0; ∴当 x=16 时,y 取得极小值也是最小值,此时最小值为 2120. 答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 16 层, 此时每平方米的平均综合费用的最小值为 2120 元. 点评: 本题考查了函数模型的应用问题,也考查了利用导数求函数最值的应用问题,是综 合性题目.

21. (12 分)已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e=

,虚轴长为 2.

(Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左、右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知得: ,2b=2,易得双曲线标准方程;

(Ⅱ) )设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立

,得(1﹣4k )x ﹣8mkx﹣4(m +1)

2

2

2

=0, 以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D (﹣2, 0) , ∴kADkBD=﹣1, 即 代入即可求解. 解答: 解: (Ⅰ)由题设双曲线的标准方程为
2 2 2





由已知得:

,2b=2,又 a +b =c ,解得 a=2,b=1, .

∴双曲线的标准方程为

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立

,得(1﹣4k )x ﹣8mkx﹣4(m +1)

2

2

2

=0,





, 以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(﹣2,0) , ∴kADkBD=﹣1,即 ∴y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0, ∴ , ,

∴3m ﹣16mk+20k =0. 解得 m=2k 或 m= .

2

2

当 m=2k 时,l 的方程为 y=k(x+2) ,直线过定点(﹣2,0) ,与已知矛盾; 当 m= 时,l 的方程为 y=k(x+ ) ,直线过定点(﹣ ,0) . ,0) ,经检验符合已知条件.

故直线 l 过定点,定点坐标为(﹣

点评: 本题主要考查双曲线方程的求解,以及直线和圆锥曲线的相交问题,联立方程,转 化为一元二次方程,利用根与系数之间的关系是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.
2

22. (12 分)设函数 f(x)=lnx﹣ ax ﹣bx(a≤0) . (Ⅰ)若 x=1 是 f(x)的极大值点,求 a 的取值范围; 2 (Ⅱ)当 a=0,b=﹣1 时,函数 g(x)=mx ﹣f(x)有唯一零点,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)f′(x)= ﹣ax+a﹣1= 况讨论; (Ⅱ)当 a=0,b=﹣1 时,函数 g(x)=mx ﹣f(x)=mx ﹣x﹣lnx,可得 g′(x)= (x>0) .通过对 m 分情况讨论,利用导数研究函数的单调性极值,即可得到结果. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) , f′(x)= ﹣ax﹣b, 由 f′(1)=0,得 b=1﹣a. ∴f′(x)= ﹣ax+a﹣1= 当 a=0 时,f′(x)= . ,可得 x=1 是 f(x)的极大值点,符合题意.
2 2

.此题需分 a=0 和 a<0 两种情

当 a<0 时,由 f′(x)=0,得 x=1 或 x=﹣ . ∵x=1 是 f(x)的极大值点, ∴﹣ 1,解得﹣1<a<0.

综上:a 的取值范围是﹣1<a≤0. (Ⅱ)当 a=0,b=﹣1 时,函数 g(x)=mx ﹣f(x)=mx ﹣x﹣lnx, 则 g′(x)= (x>0) .
2 2

令 h(x)=2mx ﹣x﹣1. (1)当 m=0 时,g′(x)= <0,则 g(x)在(0,+∞)上为减函数.又 =﹣ +1

2

>0,g(1)=﹣1<0,∴函数 g(x)有唯一零点. (2)当 m<0 时,令 h(x)=2mx ﹣x﹣1 的图象对称轴为 x= 当 x>0 时,h(x)<0. ∴函数 g(x)在(0,+∞)上为减函数.当 x→0 时,g(x)→+∞,即?x0>0,使 g(x0)>0, 而 g(1)=m﹣1<0,∴函数 g(x)存在唯一零点. 2 (3)当 m>0 时,方程 2mx ﹣x﹣1=0 有两个不相等的实数根 x1、x2, 又 x1x2=﹣ <0,不妨设 x1<0,x2>0.
2

<0,且 h(0)=﹣1<0,∴

当 0<x<x2 时,h(x)<0;当 x>x2 时,h(x)>0. ∴函数 g(x)在(0,x2)上为减函数,在(x2,+∞)上为增函数, ∴函数 g(x)有最小值 g(x)min=g(x2) . 要使 g (x) =mx ﹣x﹣lnx 存在唯一零点, 应满足 消去 m 得 2lnx2+x2﹣1=0. 令 u(x)=2lnx+x﹣1(x>0) ,则 +1>0,
2

, 即



∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,又 h(1)=0,所以 h(x)=0 有唯一的实根 x=1,因此 x2=1, 代入方程组得 m=1. 综上可知,m≤0 或 m=1. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、函数零点 与函数单调性的关系,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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