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三角函数45分钟测试


三角函数 45 分钟测试
一、选择题 1.已知角 α 的终边与单位圆的交点 P(x, A. 3 C. 3 3 B.± 3 D.± 3 3 3 ),则 tan α 等于( 2 )

答案 B 解析 x2+( 32 1 ) =1,∴x=± , 2 2

3 2 ∴tan α= =± 3. 1 ± 2 π π 2.若 cos(3π-x)

-3cos(x+ )=0,则 tan(x+ )等于( 2 4 1 A.- 2 1 C. 2 答案 D π 解析 ∵cos(3π-x)-3cos(x+ )=0, 2 ∴-cos x+3sin x=0, 1 ∴tan x= , 3 1 1+ 3 π 1+tan x ∴tan(x+ )= = =2,故选 D. 4 1-tan x 1 1- 3 π π 3.函数 f(x)=sin(2x- )在区间[0, ]上的最小值为( 4 2 A.-1 C. 2 2 B.- D.0 2 2 ) B.-2 D.2 )

答案 B π π π 3π 解析 ∵x∈[0, ],∴- ≤2x- ≤ , 2 4 4 4

π π ∴当 2x- =- 时, 4 4 π 2 f(x)=sin(2x- )有最小值- . 4 2 π 4π 4.设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小 3 3 值是( )

2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2 答案 C 4π 解析 由函数向右平移 个单位后与原图象重合, 3 4π 得 是此函数周期的整数倍. 3 2π 4π 3 ∴ · k= ,∴ω= k(k∈Z), ω 3 2 3 又 ω>0,∴ωmin= . 2 π π 5.将函数 y=sin(2x+ )的图象经过怎样的平移后所得图象关于点(- ,0)中心对称( 3 12 π A.向右平移 个单位长度 12 π B.向右平移 个单位长度 6 π C.向左平移 个单位长度 12 π D.向左平移 个单位长度 6 答案 A 解析 π π 设函数 y= sin(2x+ ) 的图象经过平移后所得图象的解析式为 y = sin[2(x + φ) + ] = 3 3 )

π π π π sin(2x+2φ+ ), 由函数 y=sin(2x+2φ+ )的图象关于点(- , 0)中心对称得 sin[2(- )+2φ 3 3 12 12 π π k π π π + ]=0,即 2φ+ =kπ,k∈Z,得 φ= π- ,k∈Z.故 y=sin[2(x+φ)+ ]=sin[2(x- )+kπ 3 6 2 12 3 12 π π π π π + ]=± sin[2(x- )+ ], 即将函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度后所得的图象 3 12 3 3 12 π 关于点(- ,0)中心对称,故选 A. 12 二、填空题 6.已知 α 为第二象限角,则 cos α· 1+tan2α+sin α 1 1+ 2 =________. tan α

答案 0 解析 原式=cos α sin2α+cos2α +sin α cos2α sin2α+cos2α 1 1 =cos α +sin α , 因为 α 是 sin2α |cos α| |sin α|

1 1 第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以 cos α +sin α =-1+1=0,即原式等于 |cos α| |sin α| 0. π? ?π? ?π? ?π π? 7.已知 f(x)=sin? ?ωx+3? (ω>0),f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无最大值, 则 ω=________________________________________________________________________. 答案 14 3

π π + 6 3 π 解析 依题意,x= = 时,y 有最小值, 2 4 π π π π 3π ω+ ?=-1,∴ ω+ =2kπ+ (k∈Z). ∴sin? 3? ?4 · 4 3 2 π π? 14 π π π ∴ω=8k+ (k∈Z),因为 f(x)在区间? ?6,3?上有最小值,无最大值,所以3-4<ω,即 ω<12, 3 令 k=0, 14 得 ω= . 3 8.下列命题中正确的是________.(写出所有正确命题的序号) 3 ①存在 α 满足 sin α+cos α= ; 2 7π ②y=cos( -3x)是奇函数; 2 5π 9π ③y=4sin(2x+ )的一个对称中心是(- ,0); 4 8 π π ④y=sin(2x- )的图象可由 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位得到. 4 4 答案 ②③ π 3 解析 对于①, sin α+cos α= 2sin(α+ ), 其最大值为 2, 故不存在 α 满足 sin α+cos α= , 4 2 7π 9π ①错. 对于②, y=cos( -3x)=-sin 3x 是奇函数, ②正确. 对于③, 当 x=- 时, y=4sin[2 2 8 9 5π π ×(- π)+ ]=4sin(-π)=0,故③正确.对于④,y=sin(2x- )的图象可由 y=sin 2x 的图象 8 4 4 π 向右平移 个单位得到,故④错. 8 三、解答题

π 1- 2sin?2x- ? 4 9.已知函数 f(x)= . cos x (1)求函数 f(x)的定义域; 4 (2)设 α 是第四象限角,且 tan α=- ,求 f(α)的值. 3 解 (1)函数 f(x)要有意义,需满足 cos x≠0, π 解得 x≠ +kπ,k∈Z, 2 π 即 f(x)的定义域为{x|x≠ +kπ,k∈Z}. 2 π 1- 2sin?2x- ? 4 (2)∵f(x)= cos x 1- 2? = = = 2 2 sin 2x- cos 2x? 2 2 cos x

1+cos 2x-sin 2x cos x 2cos2x-2sin xcos x =2(cos x-sin x). cos x

4 4 由 tan α=- 得 sin α=- cos α, 3 3 又 sin2α+cos2α=1, 9 ∴cos2α= . 25 ∵α 是第四象限角, 3 4 ∴cos α= ,sin α=- , 5 5 14 ∴f(α)=2(cos α-sin α)= . 5 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,x∈R,ω>0,|φ|<π)的部分图 象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; π π π (2)若 g(x)=f(x+ )+f(x- ),求函数 g(x)在区间[0, ]上的值域. 6 6 2 解 (1)由图可知,函数的最大值为 A+B=3,最小值为-A+B=-1, 解得 A=2,B=1. 5π π 函数的最小正周期为 T=2×[ -(- )]=π, 12 12

2π 由 =π 解得 ω=2. ω π π 由 f(- )=2sin[2×(- )+φ]+1=-1, 12 12 π 得 sin(φ- )=-1, 6 π π 故 φ- =2kπ- (k∈Z), 6 2 π 解得 φ=2kπ- (k∈Z), 3 π 又因|φ|<π,所以 φ=- . 3 π 所以 f(x)=2sin(2x- )+1. 3 π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x- )+1, 3 π π 故 g(x)=f(x+ )+f(x- ) 6 6 π π π π =2sin[2(x+ )- ]+1+2sin[2(x- )- ]+1 6 3 6 3 2π =2sin 2x+2sin(2x- )+2 3 2π 2π =2sin 2x+2sin 2xcos -2cos 2xsin +2 3 3 =sin 2x- 3cos 2x+2 π =2sin(2x- )+2. 3 π π 设 t=2x- ,因为 x∈[0, ], 3 2 π 2π 所以 t∈[- , ], 3 3 故 sin t∈[- 3 ,1], 2

π 所以函数 g(x)在区间[0, ]上的值域是[2- 3,4]. 2


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