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2011年浙江省高中数学竞赛试题及参考答案


2011 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里, 多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 已知 ? ? [

5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( 4 2 A. 2 sin ? B. ?2sin ?

C. ?2 cos ? D. 2 cos ?



2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( ) A. 2 B. 2 2 C.

?2

D. ?2 2 )

3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的( A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 D. 非充分且非必要条件 )

x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 4. 过椭圆 2
A.

2 6 3

B.

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3


?1 ? 5? x 5. 函数 f ( x) ? ? x ? 5 ?1

x?0 x?0

,则该函数为(

A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 2 2 2 2 3 正视图 1 侧视图 1

俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?

5? A. 4+ 2

3? B. 4+ 2

? C. 4+ 2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依次记为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?; 若程序运行 中输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( )
1

A.64

B.32

C.16

D.8

8. 在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点 P (a, b) 所形 成平面区域的面积为( A. 4 B.8 C. 16 ) D. 32

?

?

9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 为( ) A. ? , 1?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点, m 的取值范围 则 6 ? 2?

?1 ?2

? ?

B ? , 1? ?2 ?

?1

?

C. ? , 1? ?2 ?

?1

?

D. ? , 1?

?1 ?2

? ?
) D. 1 ? x ? 3

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分, 共 49 分) 11. 函数 f ( x) ? 2sin

x ? 3 cos x 的最小正周期为__________。 2

12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =__________. 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 。 14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端点),D 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为__。 15.设 x, y 为实数,则

?

?

? ?

5 x ? 4 y ?10 x
2

max ( x 2 ? y 2 ) ? ____________。 2

16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,但不 能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有_________种。 (用组合数符 号表示) 17. 设 x, y , z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? __。 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。

2

2 xn ?1 y n?1 19. 给定两个数列 ?xn ? , ?y n ?满足 x0 ? y0 ? 1 , x n ? (n ? 1) , y n ? (n ? 1) 。 2 ? xn?1 1 ? 2 y n?1

证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得 yn ? x jn 。

20. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F1 右侧一点,连 52 42

AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F ,求 a 的值。 1

3

2011 年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准
1.解答:因为 ? ? [

5? 3? , ] ,所以 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? = cos? ? sin ? ? cos? ? sin ? 4 2

? 2 c o? 。正确答案为 D。 s
2.解答:由题意得 2 ? a2 ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。 3.解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。 4. 解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得

3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ?

4 4 2 。正确答案为 C。 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 3 3

5. 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 为 2 ? 2 ?1 ? 3? ?

?

2 7. 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。

? 4?

5? 。正确答案为 A。 2

? ) ,所以该几何体的体积 2

8. 解答:平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 的四个边界点(—1,—1)(—1,1)(1,—1)(1,1) , , , 满足 ax ? 2by ? 2 ,即有 a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2 ,由此计算动点 P (a, b) 所形成 平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 解答:问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

?

?

? ?? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点,所以 m 的取值范 6 ? 2?

围为 ? , 1? 。正确答案为 C。 10. 解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4)
2

?1 ?2

? ?

由 f (?1) ? x ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。正确答案为 C。
2 2

11. 解答:最小正周期为 4 ? 。 12.解答:由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ,而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。 13. 解答: a ? b ? (1 ? cos ? ) ? (sin ? ? 3) ? 5 ? 2(cos ? ? 3 sin ? ) = 5 ? 4sin(
2 2

? ?

?
6

?? )



其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。
4

14. 解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD, PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。 15. 解答: 5x2 ? 4 y 2 ? 10x ? 4 y 2 ? 10x ? 5x2 ? 0 ? 0 ? x ? 2
?

4( x2 ? y 2 ) ? 10x ? x2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x2 ? y 2 ? 4
300 16. 解答:问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯,所以共有 C1710 种关灯方法。

17. 解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 得到 xy ? 3( x ? y ) ? 9 ?

8 ,因为 x, y 都是整数, x? y

所以 ?

4 2 ? ? x ? y ?1 ? x ? y ? ? x ? y ? ? x ? y8 前两个方程组无解;后两个方程组解得 ,? ,? ,? , ? y y ? x y? 2 ? xy 5 ? x ?1 ? x? 1 6

x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5 。所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 或 57。
18. 解答:当 x ? 0, y ? ?( x ?1)2 ? 1, 由此可知 ymax ? 0 。 当 1 ? a ? 2, ymin ? a2 ? 2a ;当 1 ? 2 ? a ? 1, ymin ? ?1 ; 当 a ? 1 ? 2, ymin ? ?a2 ? 2a 。 19. 解答:由已知得到: 当 x ? 0, y ? ( x ? 1)2 ? 1,

1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列,首项为 2,公比 xn xn ?1 xn xn ?1 xn

为 2, 所以

1 1 。 ? 1 ? 2n?1 ? xn ? n?1 xn 2 ?1

( yn?1 ? 1)2 y ? 1 yn?1 ? 1 2 1 1 2 又由已知, yn ? 1 ? ? n ?( ) ? 1 ? ? (1 ? ) 1 ? 2 y n?1 yn y n?1 yn yn?1
n 1 1 1 n , 所以取 jn ? 2 ? 1 即可。 ? 2 ? 1 ? ? 22 ? yn ? n y0 yn 22 ? 1 25 20. 解答: F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ? ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3
由1 ?
5

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y2 ? ?1 ? ? 25 16
设 M (?

? ( 1 6? 2 5 x2 ? 1k 2 0 ? k2 ) 5 x

2 22 ? k 5

得 400 ?

0

25 25 (3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 。 ,同理y4 ? 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 )

又 F1M ? (?

?????

???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 , 3 3
256 256k 2 (3a ? 25)2 y1 y2 256 (3a ? 25)2 , 整理得 ? =? , 而y 3 y 4 ? ,即 ? 2 9 16 ? 25k 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9(a ? x1 )(a ? x2 )

得 y3 y 4? ?

(1 ? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。

6


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