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浙江省金丽衢十二校2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题


保密★考试结束前

金丽衢十二校 2015 学年高三第一次联考

数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生将所有试 题的答案涂、写在 答题纸上.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选

项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ▲ ) A.y=0 C.y=x+lgx A.充分而不必要条件 C.充要条件 3. 要得到函 数 y ? cos ? 4 x ? A.向左平移 C.向左平移 B.y=sin2x D.y=2x+2-x B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2. 设两直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m 与 l2:2x+(5+m)y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的( ▲ )

? ?

??

?? ? ? 的图象,只需要将函数 y ? sin ? ? 4 x ? 的图象( ▲ ) 3? ?2 ?
B.向右平移 D.向右平移

?
12

个单位

?
12

个单位 个单位

?
3

个单位

?
3

4. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是( ▲ )cm3 2 A. B.2 3 1 2 3 1 3 C. 2 3 D. 3 5. 设 a,b∈R,定义: M( a, b) ?
m( a, b) ? a?b? a?b 2 a?b? a?b 2
正视图

3
侧视图

,

2

.下列式子错误的是( ▲ )
俯视图 第 4 题图

A.M(a,b)+ m(a,b)= a+b

B.m(|a+b|,|a-b|)=| a|-|b| C.M(|a+b|,|a-b|)=| a|+|b| D.m(M(a,b), m(a,b))= m(a,b)

?x ≥ m ? 6. 设 m∈R, 实数 x, y 满足 ?2 x ? 3 y ? 6 ≥ 0 , 若| x+2y|≤18, 则实数 m 的取值范围是( ▲ ) ? ?3 x ? 2 y ? 6 ≤ 0
3 D.-3≤m≤ 2 2 1 7. 若函数 f(x)是 R 上的单调函数, 且对任意实数 x, 都有 f ?f(x)+ x ?= , 则 f(log23) =( ▲ ) 2 +1? 3 ? 4 1 A.1 B. C. D.0 5 2 A.-3≤m≤6 B.m≥-3 C.8.如图,AB 是平面 α 外固定的斜线段,B 为斜足. 若点 C 在平面 α 内运动,且∠CAB 等于 直线 AB 与平面 α 所成的角,则动点 C 的轨迹为( ▲ ) A.圆 C.双曲线 B.椭圆 D.抛物线 α C
第 8 题图

68 ≤m≤6 7

A

B

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. 已知全集 U=R, 集合 A ? x x ≥ 2 , 则 A? B ? B ? x 0≤x ? 5 , ▲ . ▲ ,最大值为 ▲ ▲ . .
2

?

?

?

?



, (CUA) ? B=

10.函数 f(x)=4sinxcosx+2cos2x-1 的最小正周期为

y 11.若抛物线 x2=8y 的焦点与双曲线 -x2=1 的一个焦点重合,则 m= m 12.设函数 f(x)= ? 的取值范围是

? ? log3 ( x?1) ,?1? x≤0
tan(? x ), ? ? 2 0? x?1

,则 f [f (

3 -1)]= 3



1 ,若 f (a)< f ( ),则实数 a 2



.

13.已知过点 P(t,0)(t>0)的直线 l 被圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0 截得弦 AB 长为 4. 若直线 l 唯一, 则该直线的方程为 ▲ . ▲ ▲ ,数列{an}满足 an+1= f (an), D . C A B
第 15 题图 ?f(n)? 14. 已知? ?是等差数列,f (1)=2, f (2)=6,则 f (n)= ? n ? 1 ? 1 ? ?的前 n 项和为 Sn,则 S2015+ a1=1,数列? = 1+ a a ? n? 2016

15.如图,在三棱锥中 D-ABC 中,已知 AB=2, AC ? BD = -3. 设 AD=a,BC=b,CD=c,则 c2 的最小值为 ab+1 ▲ .

??? ? ??? ?

[来源:Z#xx#k.Com]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题 15 分) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, AD 为边 BC 上的高. 已 知 AD= 3 a,b=1. 6 2 (Ⅰ) 若 A= π,求 c; 3

(Ⅱ) 求 c ?

1 c

的最大值.

17.(本小题 15 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 AB CD 为直角梯形, ,AB=AD=2DC=2 2,且 E、F 分别为 PD、PB 的中点. ? CDA= ? BAD=90° (Ⅰ) 求证:CF//平面 PAD;
[来源:Z,xx,k.Com]

(Ⅱ) 若直线 PA 与平面 CEF 的交点为 G,且 PG=1,求截面 CEF 与底面 ABCD 所成锐二 P 面角的大小.

F E A B

D 18.(本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? loga (a

C
第 17 题图

2x

? t ) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 .

(Ⅰ) 当 a=2 时,若 f ( x) ? x 无解,求 t 的范围; 求 t 的范围.

(Ⅱ) 若存在实数 m,n( m ? n ) ,使得 x ? ?m, n? 时,函数 f ?x ? 的值域都也为 ?m, n ? ,
[来源:Z,xx,k.Com]

x2 y2 19.(本小题 15 分) 已知点 M (0, 3)是椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶 点,椭圆 C 的 a b 1 离心率为 . 2 (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 P(x0,y0)是定点,直线 l: y ?
1 2 x ? m ( m ? R ) 交椭圆 C 于不同的两点 A,B,

记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1, k2. 求点 P 的坐标 ,使得 k1+k2 恒为 0.

20.(本小题 15 分) 已知 fn(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,且 fn(-1)= (-1)n·n,n=1,2,3,…. (Ⅰ) 求 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ) 求数列{ an }的通项公式; (Ⅲ) 当 k ? 7 且 k ? N * 时,证明:对任意 n∈N*都有

2 2 2 2 3 ? ? ?? ? 成立. an ? 1 a n?1 ? 1 an? 2 ? 1 a nk ?1 ? 1 2

金丽衢十二校 2015 学年高三第一次联考
数学试卷(理科)参考答案
一、选择题.每小题 5 分,共 40 分. 1 C 2 A 3 B
[来源:学科网]

4 D

5 B

6 A

7 C

8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. x x ≥ 0 , x 0 ≤ x ? 2 . 13. x ? 2 y ? 2 ? 0 .

?

??

?

10. ? , 5 .

11.3 .

14. f ? n? ? n2 ? n , 1.
1 2 1 2

? 2 1? 12.1, ? ? , ? . ? 3 2?
15.2.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)? S ?ABC ?
2 2 2

bc sin A ?

a ? AD ,即 1 ? c ?
2

3 2

定 理 a ? b ? c 2?

c b o c s, A 有 3c ? 1 ? c

6 1 2 ? 2c ? ( ? , ) 即 (c ? 1 ? ) 2

? a?

3

a ,即 3c ? a ,根据余弦

2

, 0 即

c ? 1 ;………………8 分
1 1 1 1 3 2 ? a ,又 S?ABC ? AC ? AB ? sin A ? c sin A , (Ⅱ) ∵ S?ABC ? BC ? AD ? ? 2 2 2 2 6



3 6

a ? c sin A ,则 a ? 2 3c sin A ,………………10 分 c ?1? a 2c
2 2

2

2

z
P

又 cos A ? ∴ c? 当A?
1 c

?

c ? 1 ? 2 3c sin A 2c

2


),
E

? 2 3 sin A ? 2 cos A ? 4 sin(A ?

?
6

G Q F N M A B

?

1 时,有 (c ? ) max ? 4 .………………15 分 3 c 1 2

17. 解: (Ⅰ)取 PA 的中点 Q,连接 QF、QD, ∵ F 是 PB 的中点,∴ QF∥AB 且 QF =
AB ,
D

y

∵ 底面 ABCD 为直角梯形, ? CDA= ? BDA=90° , AB=AD=2DC=2 2,即 CD / / AB , CD ?
1 2 AB ,

C

x

∴ QF ∥ CD 且 QF =CD ,∴ 四边形 QFCD 是平行四边形,

∴ FC ∥ QD ,又 FC ? 平面 PAD,QD ? 平面 PAD ∴ FC//平面 PAD …………………………………………………………6 分 (Ⅱ) 取 PC 的中点 M,连接 AC 、EM、FM、QM,QM∩EF=N,连接 CN 并延长交 PA 于 G, 已知 PG=1. ∵ CF∥平面 APD,且平面 CDEF∩平面 APD=直线 EG, ∴ CF∥EG,又 CF∥DQ,∴ EG∥DQ, 又∵ E 为中点,∴ G 为 PQ 中点,∴ PA=4. …………………………………10 分 建立直角坐标系如图所示,A(0,0,0) ,B(0, 2 2 ,0) ,C( 2 2 , 2 ,0),D( 2 2 ,0,0), E( 2 ,0,2) , F(0 ,
2 ,0) ,则平面 ABCD 的法向量为 n1 ? (0, 0,1), CE ? (? 2, ? 2, 2) ,

??

???

?

??? ?? ? ? ?CE ? n2 ? 0 ? ,即 CF ? (?2 2, 0, 2) , 设 平 面 CEF 的 法 向 量 为 n2 ? ( x, y, z) , 则 有 ? ??? ?? ? ?CF ? n2 ? 0 ?? ? ? 2 x? 2 y ? 2? z 0

???

?? ?

?2

2 x? z 2? 0

,取 z ? 2 ,则 x=1,y=1,,即 n2 ? (1,1, 2) .

2 2 ∴ cos ? n1 , n2 ≥ ?? ?? ,即两个法向量的夹角为 45°. ? ? ? 2 n1 ? n2 1 ? 2

??

?? ?

n1 ? n2

?? ?? ?

∴截面 ECF 与底面 ABCD 所成锐二面角的大小为 45°.……………………15 分 18. 解:(Ⅰ) ? log2 (22 x ? t ) ? x ? log2 2x ,? 2
2x

? t ? 2 无解,等价于 2

x

2x

? t ≥ 2 恒成立,
?2

x

即 t ≥ ?22 x ? 2x ? g ( x) 恒成立,即 t ≥ g ( x)max ,求得 g ( x ) max ? g ( ?1) ? ?2
?t ≥ 1 4

?2

?1

?

1 4



……………………6 分

(Ⅱ) ? f ( x) ? log a (a2 x ? t ) 是单调增函数.
??

? f ? (m) ? m ? f (n) ? n

,即 ?
k

2m m ? ?a ? t ? a

? ?a ? t ? a

2n

n

,问题等价于关于 k 的方程 a
2

2k

? a ? t ? 0 有两个不相

k

等的解,令 a ? u ? 0 ,则问题等价于关于 u 的二次方程 u ? u ? t ? 0 在 u ? (0, ??) 上

?u1 ? u 2 ? 0 ?t ? 0 1 ? ? 有两个不相等的实根,即 ?u1 ? u 2 ? 0 ,即 ? 1 ,得 0 ? t ? ………………14 分 4 t? ?? ? 0 ? ? 4 ?
19. 解:(Ⅰ) 由题意, b ? 3 ,
2

c a

?

1 2

, 又? a2 ? c2 ? b2 , ? c ? 1, a ? 2 ,

所以所求的椭圆方程为:

x y2 ? ? 1 ……………………5 分 4 3
1 2 x ? m 代入椭圆方程化简得: x + mx + m - 3 = 0
2 2

(Ⅱ) 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,把 y ?

∴ △=m2-4(m2-3)=-3m2+12>0, ∴ m2<4………………………………7 分 又?

? x1 ? x2 ? ?m ? x1 x2 ? m ? 3
y1 ? y0 x1 ? x0 ?
2

? y1 ? y 2 ?
y2 ? y0 x2 ? x0 ?0

1 2

? x1 ? x2 ? ? 2m ?

3 2

m ……………………9 分

而 k1 ? k2 ?

∵(y1-y0)(x2-x0)+(y2-y0)(x1-x0)=0 ∴ ?

∴ y1 x2+ y2 x1+2 x0 y0- y0 (x1+ x2)- x0(y2+ y1)=0

? x1 x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 y0 ? y0 ? x1 ? x2 ? ? x0 ? y2 ? y1 ? ? 0 3 ? 3 ? ? y0 ? x0 ? 0 ? ? m ? y0 ? x0 ? ? 2 x0 y0 ? 3 ? 0 ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 x0 y0 ? 3 ? 0

?1 ? ?1 ? x1 ? m ? x2 ? ? x2 ? m ? x1 ? 2 x0 y0 ? y0 ? x1 ? x2 ? ? x0 ? y2 ? y1 ? ? 0 ?2 ? ?2 ?

[来源:学。科。网]

? x0 ? 1 ? x0 ? ?1 ? ? ?? 3, ? 3 y0 ? y0 ? ? ? ? ? 2 ? 2 3? ? 3? ? ? p ?1, ? 或 p ? ?1, ? ? …………………………15 分 2? ? 2? ?
20. 解:(Ⅰ) 由 f1 (?1) ? ?a1 ? ?1 得 a1 ? 1 ,由 f2 (?1) ? ?a1 ? a2 ? 2 得 a2 ? 3 , 又 f3 (?1) ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ?3 ,所以 a3 ? 5 ;……………………4 分 (Ⅱ) 由题得: fn (?1) ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ? ? (?1)n an ? (?1)n ? n

fn?1 (?1) ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ? ? (?1)
两式相减得: (?1) an ? (?1) ? n ? (?1)
an ? 1 2
n n n?1

n?1

an?1 ? (?1)
n

n?1

? (n ? 1) , n ≥ 2

(n ? 1) ? (?1) (2n ? 1)

得当 n ≥ 2 时, an ? 2n ? 1 ,又 a1 ? 1 符合,所以 an ? 2n ? 1 (n∈N*) .…………9 分

(Ⅲ) 令 bn ? 则S ?

?n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ??? bn bn ?1 bn ? 2 bnk ?1 n n ? 1 n ? 2 nk ? 1

……11 分

1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) …………(*) nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n 1 1 1 1 1 当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ≥ 2 xy , ? ≥ 2 , ∴ ( x ? y )( ? ) ≥ 4 x y x y xy

∴ 2S ? ( ?

1 n

∴ ? ≥

1 x

1 y

4 , x? y

当且仅当 x ? y 时等号成立.

上述(*)式中, k ? 7 , n ? 0 , n ? 1, n ? 2,?, nk ? 1 全为正,所以

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 nk ? 1 ? n n ? nk ? 1 2(k ? 1) 2(k ? 1) 2 2 3 ∴S ? ………… 15 分 ? ? 2(1 ? ) ? 2(1 ? ) ? ,得证. 1 k ?1 k ?1 7 ?1 2 1? k ? n 2S ?


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