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概率重修第三章复习


第三章 多维随机变量及其分布
主要内容
二维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e},设 X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它 们构成一个向量(X,Y),叫做二维随机向量或二 维随机变量.

1.二维随机向量的联合分布函数
定义:
y (x,y) y2 y1 0

F ( x, y) ? P{X ? x, Y ? y}
y

0

x

x1

x2

x

P{x1 ? X ? x2 , y1 ? Y ? y2 } ? F ( x2 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) ? F ( x1 , y1 ) ? F ( x1 , y2 )





1) F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数,即 对任意固定的y, 当x2 >x1时,有F(x2, y)? F(x1 ,y); 对任意固定的x ,当y2 > y1时,有F(x, y2)? F(x ,y1). 2) 0 ?F(x,y) ? 1,且

F(-?, y)=0, F(x, -?)=0, F(-?,-?)=0,F(+?,+?)=1 .
3) F(x,y)关于 x右连续, 关于 y右连续,

4) 对于任意x1 <x2 , y1 < y2 ,有
F(x2, y2)- F(x2, y1)+ F(x1,y1)- F(x1,y2)?0

离散型二维随机变量
? 分布律

P{X ? xi , Y ? y j } ? ? pij , ( i, j ? 1,2, ?)
1 0 ? pij ? 1,
?

? 满 足 ? 分 布 函 数

2?

?? p
j ?1 i ?1

?? ??

ij

? 1.

X

Y
x1 x2 ? xi

y1
p11 p 21 ? p i1 ?

y2 ? y j ?
p12 ? p 22 ? ? pi 2 ? ? p1 j ? p2 j ? ? p ij ? ?

F ( x, y ) ?

xi ? x yj?y

?p

ij

?

连续型二维随机变量
?

1 f ( x, y) ? 0,
?
?

?

2

? ?

?? ??

?? ??

f ( x, y)dxdy ?1,
x ?? ??
2

¤3



F ( x, y) ? ?

?

y

f (u, v)dudv

? F( x, y) ¤ 4 f ( x, y ) ? , 在f ( x, y)的连续点 . ?x?y
?

?5

?

P{(X,Y) ? G} ?

??
G

f ( x, y)dxdy, G是一平面区域。

2. 边缘分布

FX ( x) ? P{X ? x} ? P{X ? x, Y ? ?} ? F( x, ?)
(X,Y)关于X的边缘分布函数

FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{X ? ?, Y ? y} ? F(?, y)
(X,Y)关于Y的边缘分布函数

离散型二维随机变量(X,Y)的边缘分布
X的边缘分布律

P{X ? xi } ? ? P{X ? xi , Y ? y j } ? ? pij ? pi?
j ?1 j ?1

?

?

X的边缘分布函数

FX ( x) ? F ( x, ?) ? ?? pij
xi ? x j ?1

?

Y的边缘分布律

P{Y ? yi } ? ? P{X ? xi , Y ? y j } ? ? pij ? p? j
i ?1 i ?1

?

?

Y的边缘分布函数

FY ( y) ? F (?, y) ? ? ? pij
i ?1 y j ? y

?

连续型二维随机变量(X,Y)的边缘分布
X的边缘概率密度

f X ( x) ? ? f ( x, y)dy,
??
x

?

?? ? x ? ?

X的边缘分布函数

? x ? ? FX ( x) ? P{ X ? x} ? ? ? f ( x, y )dy dx ? ? f X ( x)dx ? ?? ? ?? ? ?? ?

Y的边缘概率密度

fY ( y) ? ? f ( x, y)dx,
??
y

?

?? ? y ? ?

Y的边缘分布函数

? y ? ? FY ( y ) ? P{Y ? y} ? ? ? f ( x, y )dx dy ? ? fY ( y )dy ? ?? ? ?? ? ?? ?

3. 条件分布
(1)离散型二维随机变量的条件分布率
P{X ? xi | Y ? y j } ? P{X ? xi , Y ? y j } P{Y ? y j } ? pij p? j , i ? 1,2,...

P{Y ? y j | X ? xi } ?

P{X ? xi , Y ? y j } P{X ? xi }

?

pij pi?

, j ? 1,2,...

(2) 连续型二维随机变量的条件概率密度
f ( x, y) f X |Y ( x | y) ? fY ( y ) f ( x, y) f Y | X ( y | x) ? f X ( x)

4. 相互独立的随机变量
(1) 随机变量独立性的定义

F ( x, y) ? FX ( x) FY ( y)
(2) 离散型二维随机变量的独立性

P{X ? xi ,Y ? y j } ? P{X ? xi }P{Y ? y j }, i ? 1,2,..., j ? 1,2,...
(3) 连续型二维随机变量的独立性

f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y)

5. 两个随机变量的函数的分布
(1) Z=X+Y 的分布 FZ (z ) ? P{Z ? z} ? # 分布函数
# 概率密度函数
?

x? y? z

?? f ( x, y)dxdy
? ??

f Z ( z) ? ? f ( z ? y, y)dy ? ? f ( x, z ? x)dx
??

当X和Y相互独立时

f Z ( z) ? ? f X ( x) fY ( z ? x)dx ? ? f X ( z ? y) fY ( y)dy
?? ?? ?

?

(2) M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
? X和Y相互独立?

M=max(X,Y)的分布函数

Fmax ( z) ? P{M ? z} ? FX ( z)FY ( z)
N=min(X,Y)的分布函数

Fmin ( z) ? P{N ? z} ? 1 ? [1 ? FX ( z)][1 ? FY ( z)]

练习
1. 将两封信投入3个编号为1,2,3的信箱,用X,Y分别表示投入 第1,2号信箱的信的数目,则 P{ X ? 1, Y ? 0} 为( C )
1 2 1 (A) ; (B) ; (C) ; (D)以上结论都不对. 6 9 9

2. 把一枚硬币连掷三次,以X 表示在三次中正面出现的次数,

Y 表示在三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的 绝对值,试求(1)( X , Y )的联合分布率。
(2) X和Y的边缘分布律.

3. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度

? Ae ? ( 2 x ? y ) , x ? 0, y ? 0 f ( x, y) ? ? A?2 , 其他 ? 0 1 P { Y ? X } ? 求(1) 系数A; (2) 求 P{Y ? X } . 3
4. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ?1 ? , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 f ( x) ? ? 2 ? 其它 ?0,

求X与Y中至少有一个小于

1 的概率. 2

5 8

5.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律 为

Y
1
2

X

1

2

3

1/16
1/12

3/8
1/6 13/24

1/16
1/4

9/13 则P{Y=1|X=2}=_____________

6. 连续型随机变量X和Y的联合密度函数为

?c( x 2 ? y 2 ), 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1, f ( x, y ) ? ? 0, 其它 . ? 3 求:(1)常数c的值; (2)X的边缘概率密度 f X ( x ) 2 1 1 1 (3) P{ X ? , Y ? } ? 2 2 4
(4)条件概率密度 fY | X ( y | 1 11 P { Y ? | X ? 0 } . . (5) 2 16 ?3 2 1 ? x ? , 0 ? x ? 1, ( 2) f X ( x ) ? ? 2 2 ? 其它. ? 0,

x)

? 3( x 2 ? y 2 ) f ( x, y) ? ,0 ? y ? 1; (4)0 ? x ? 1时,fY | X ( y | x ) ? ? ? 3x2 ? 1 f X ( x) ? 其它. ?0,

7.设二维随机变量(X,Y)的分布函数 y x F ( x , y ) ? A( B ? arctan )(C ? arctan ) 2 3 (1)求常数A,B,C;

(2)求(X,Y)的概率密度函数f (x,y); (3)求(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数; (4)求P{X ? 2,Y ? 0} , P{0? X?2,0? Y ?3}。
8.某射手对目标独立地进行两次射击,已知第一次射击 命中率为0.5,第二次射击命中率为 0.4,以随机变量 X i
?0, 第i 次 射 击 未 中 , i ? 1,2. 表示第 i 次射击结果,即 X i ? ? . ? 1, 第i 次 射 击 命 中

则 P?X 1 ? 1, X 2 ? 0? ?

0.3

9. 设(X,Y)的概率分布律为 X\Y 1 2 若X,Y相互独立,则 ? 1 1/6 1/3 2 3

1/9 1/18

?

?

?

2; 9

??

1 9 .

10. 设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从 均匀分布,Y的概率密度为 ?1 ?y/2

, y?0 ? e fY ( y ) ? ? 2 ? , y?0 ?0

(1)求X和Y的联合概率密度;(2)设含有a的二次方程为

a 2 ? 2aX ? Y ? 0 ,试求a有实根的概率。

?1 2 2 , x ? y ?1 ? 11.X,Y的联合概率密度是 f ( x, y) ? ? ? ? ?0 , 其它
则X,Y为( C )的随机变量.

(A)独立同分布 (C) 不独立同分布

(B) 独立不同分布 (D) 不独立也不同分布

12.设随机变量X与Y均服从正态分布N(-1,1),且相互独立, 则Z=X-2Y的概率密度为

1 f Z ( z) ? e 10 ?

( z ?1) 2 ? 10

, ? ? ? z ? ??

13. 设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律分别为 X 1 3 Y p 2 0.6 4 0.4

p

0.3

0.7

则 P{ X ? Y ? 5} ? (C ) (A) 0.12; (B)0.42; (C)0.54; (D)以上结论都不对. 14.设随机向量(X,Y)的概率密度为

?8 xy , y ? x ? 1,0 ? y ? 1; f ( x, y) ? ? ?0 , 其它.
求 (1)条件概率密度 f X ( x | y); (2) Z=X+Y的概率密度.;

15.设X和Y为两个随机变量,且 P?X ? 0, Y ? 0? ?

?X ,Y ? ? 0? = 5 P?X ? 0? ? P? Y ? 0?= 4 ,则P?max 7 7

3 , 7

.

提示:P{max(X,Y)?0}=1- P{max(X,Y)<0} =1- P{X<0,Y<0}= P{X? 0}+P{Y ?0}-P{X? 0,Y ?0} 16.设 ? 1 , ? 2 是相互独立的,均服从(0-1)分布,且

P{?1 ? 1} ? P{?2 ? 1} ? 0.6 .求 ? ? min{ ? 1 , ? 2 }的概率分布.
解: P{? ? 1} ? P{?1 ? 1, ? 2 ? 1} ? 0.6 ? 0.6 ? 0.36

P{? ? 0} ? 1 ? P{? ? 1} ? 1 ? 0.36 ? 0.64


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