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第五讲 利用导数证明不等式
1

2
3

证明不等式 证明方程根的个数 导数的应用

(1)利用导数证明不等式
利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有:

1 利用微分中值定理; 2 利用函数的单调性; 3 利用极值(或最值);

10 利

用微分中值定理 若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有 f(x) 的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有 f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.

a a ?a 例1 证明不等式 ? 2 (n ? 1) ln a

1 n ?1

1 n

1 n ?1

a ? 2 , (a ? 1, n ? 1). n

1 n

证明:把lna乘以各式,得到

a a n n ?1 ln a ? a ? a ? ln a 2 , (a ? 1) 2 (n ? 1) n

1 n ?1

1

1

1 n

因为 a

1 n

?a

1 n ?1

是函数f(x)=ax 在

区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉格
朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f ’(ξ)(b-a)
1 n 1 n ?1

a ?a

1 1 1 1 ? a ln a( ? ), 其中? ? ( , ) n n ?1 n ?1 n
?
1 n 1 n ?1

1 1 n ?1? n 1 a ?a ? ? ? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n(n ? 1) ln a

a? 1 1 ? ,? ? ( , ) n(n ? 1) n ?1 n

a ?a

1 n

1 n ?1

1 1 ? a ln a( ? ), n n ?1
?

1 1 其中? ? ( , ) n ?1 n

1 1 n ?1? n 1 ? ? ? ? n n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1)

a ?a ? ln a

1 n

1 n ?1

a? 1 1 ? ,? ? ( , ) n(n ? 1) n ?1 n

1 1 ? a ? 1, ? ? ? n n ?1
1 n 1 n ?1

? a ? a? ? a

1 n

1 n ?1

a a? a ? ? ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
1 n ?1 1 n 1 n 1 n ?1 1 n ?1

a a? a a a ?a ? 2 ? ? ? 2 ? 2 n n(n ? 1) (n ? 1) n ln a

1 n

a ? (n ? 1) 2

20 利用函数的单调性

当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端
或两端含f(x),且知道f ’(x)>0(或f”(x)>0)则常需要用单调性证.

x 2 x3 ? ? ln(1 ? x) 例2 当x>0时,证明不等式 x ? 2 3
解::为证不等式,只要证

x 2 x3 x ? ? ? ln(1 ? x) ? 0 ? f ( x) ? 0 2 3

其辅助函数为

x2 x3 f ( x) ? x ? ? ? ln(1 ? x) 2 3
1 ? f ?( x) ? 1 ? x ? x ? 1? x
2

f ( x) ? 0 ? f (0)

f ?(0) ? 0

f ??( x) ? ?1 ? 2 x ? f ???( x) ? 2 ?

1 , 2 (1 ? x)

f ??(0) ? 0 ( x ? 0)

2 1 ? 2[1 ? ]?0 3 3 (1 ? x) (1 ? x)

x2 x3 f ( x) ? x ? ? ? ln(1 ? x) f ( x) ? 0 ? f (0) 2 3 1 ?( x) ? 1 ? x ? x 2 ? ?f f ?(0) ? 0 1? x 1 f ??( x) ? ?1 ? 2 x ? , f ??(0) ? 0 2 (1 ? x)

2 1 f ???( x) ? 2 ? ? 2[1 ? ]?0 3 3 (1 ? x) (1 ? x)

( x ? 0)

所以当x>0时,f(2)(x)严格单调增加,即f”(x)>f”(0) (x>0) 从而 f ’(x)严格单调增加,于是当x>0时f ’(x)>f ’(0)=0

30 利用函数的极值与最值 例3 对任意实数x,证明不等式

1 ? x ln(x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2
证明: 设f ( x) ? 1 ? x ln( x ? 1 ? x2 ) ? 1 ? x2 , 则f (0) ? 0
x(1 ? ? f ?( x) ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ?
令f ?(0) ? 0得到唯一的驻点

x
2

1? x ? x ? ln( x ? 1 ? x2 ) ( x ? 1 ? x2 ) 1 ? x2
x ? 0,? f ??(0) ? 1 1 ? x2 |x ?0 ? 1 ? 0

)

x ? 0是极小值,? f ( x) ? f (0) ? 0, ? 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2 ? 0

(2)证明某些等式 利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或 一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理. 若函数 f(x)有一二阶导数,而要证 的等式的两端含有f(x)的函数值,

特别是f(x)的表达式不知道时,或等式中含有f(x)的导数时,
常用拉格朗日中值定理证.

关键是建立辅助函数:

通常用移项(把等式一端的项全移 到另一端) 或把等式变形,或变形后再移项
或变形后用逆推的方法.

(3).证明方程的根的存在性与个数 方程的根可以看成函数的零点,为了利用函数的连续性质 及导数理论,通常把方程的根的讨论转化为函数的零点讨

论.关于方程根的证明,主要有两种情况
(1)证明方程在某区间内至少有一个或几个根 1.利用介值定理证明方程根的存在性

例4

x 证明方程 ? ln x ? 2 ? 0在区间(0, ??)内至少有两个实根 e

x 证明 : 令f ( x) ? ? ln x ? 2,问题变成证明f ( x)在区间(0, ??)内至少有两个 e x 零点,因为 lim? f ( x) ? lim( ? ln x ? 2) ? ?? x ?0 x ? 0? e
y

f (e) ? 1?1? 2 ? ? 2 ? 0
x lim f ( x) ? lim ( ? ln x ? 2) ? ?? x ??? x ??? e

Y=lnx

1

x

由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)内各有 一个根.

2.利用罗尔定理证明方程根的存在性
这个方法是作一个在指定区间上满足罗尔定理条件的辅

助函数, 把根的存在性转化为该辅助函数的导函数的零点
的存在性. 例12 设实数a0 , a1 ,a2,a3,…an,满足关系式

an a1 a2 a0 ? ? ? .. ? ?0 2 3 n ?1
证明 方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0 在(0,1)内 至少有一个根.

证明: 令? ( x) ? a0 ? a1x ? .. ? an xn , 作辅助函数f ( x),
使f ?( x) ? ? ( x). 于是方程? ( x) ? 0的存在性变成f ?( x)的零点的存在性, 由f ?( x) ? ? ( x)
易知 an n ?1 a1 2 a2 3 f ( x) ? a0 x ? x ? x ? .. ? x 2 3 n ?1

f (0) ? f (1) ? 0, f ( x)在[0,1]上满足罗尔定理中 的三个条件, 故在(0,1)内至少存在一点? ,.

使f ?(? ) ? 0,即方程a0 ? a1x ? .. ? an xn ? 0在(0,1)内
至少有一根.

(2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根
证明的步骤和方法如下: 1.先证存在性 方法有:㈠利用连续性函数的介值定理;㈡利用罗 尔定理. 2.再证唯一性或最多有几个根. 方法有:㈠利用函数的单调增减性;㈡用反证法,通常可利

用罗尔定理,拉格朗日定理导出矛盾.

【解题回顾】
1.求最大(小)值应用问题的一般方法:

实际问题
回答问题

分析、联系、抽象、转化

建立数学模型 (列数学关系式)
数学方法

实际结果

数学结果

解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。

2.在实际问题中,有时会遇到在区间内只有一个点
使导数为0的情形,如果函数在这点有极大(小)值, 那么不与端点的值比较,也可以知道这就是最大 (小)值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。

? 1、把长60cm的铁丝围成矩形,长宽各为多

少时矩形面积最大?
解:设宽为Xcm,则长为(60-2X)/2=(30-X) cm 所以面积

x

S=(30-x)x=30x-x 2
(60-2x)/2

令S' =30-2x=0,得x= 15
此时S’在x>15时S’<0,x<15时,S’>0

所以,S最大值  ( )=225 =S 15
答:长为15cm,宽为15cm时面积 最大。 结论:周长为定值的矩形中,正方形 的面积最大。

? 2、把长为100cm的铁丝分为两段,各围成

正方形,怎样分法才能使两个正方形面积 之和最小?
解:设分成一段长为xcm,则第一个正方形 面积为 x 2 另一个面积为 所以面积之和为

x

100-4x 2 ( ) =(25-x) 2 4
2
100-4x 4

s=x +(25-x) =2x -50x+625

2

2

s =4x-50
所以4x-50=0得x=12.5 ,当x<12.5时, s’<0,当x>12.5时,s’>0,故当x=12.5 答:当一段为4x=50cm时,面积之和 最小,此时另一段也为50cm 时s最大值为312.5平方厘米

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