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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定


思考题:已知M ( ?1,?5),N ( 3,?2), 若直线的倾斜角 l

是直线 的倾斜角的一半,求直l的斜率 MN 线 .
解: l的倾斜角为 ,则直线 的倾斜角为? . 设 ? MN 2

? 2? ? ?0, ? ? , ?? ? [0, ). 2 ? 2 ? ( ?5 ) 3 2 tan? 3 由已知tan2? ? k

MN ? ? . ? ,? 2 3 ? ( ?1) 4 1 ? tan ? 4
1 即3 tan ? ? 8 tan? ? 3 ? 0, 解 得tan? ? ?3或 tan? ? . 3 ? 1 ?? ? [0, ), ? tan ? ? 0 ? tan? ? . 2 3 1 即 直 线的 斜 率 为 . l 3
2

?

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

通过上节课的学习我们知道:一个点和一个方向(倾 斜角、斜率、方向向量)能确定平面直角坐标系内一条直 线的位置. 那么两条直线的位置关系又由哪些条件确定呢?

带着这些问题我们来学习本节课的内容.
阅读教材第86页~88页 回答问题: (1)直线 l1//l2 时,斜率k1与k2满足什么关系 ? (2)直线 l1⊥l2 时,斜率k1与k2满足什么关系 ?

1. 平 行
设两直线l1和l2的斜率分别为k1 , k2 .
但 如果 l1 // l 2 , l1 , l2 的倾斜角相等?1 ? ? 2 则
? tan?1 ? tan? 2 , 即

k1 ? k2 .

反之, 如果 k1 ? k2 , tan?1 ? tan? 2 , 即
?00 ? ?1 ? 1800 ,00 ? ? 2 ? 1800 ,

? ?1 ? ? 2 ,?

l1 // l2 .

综上:对于两条斜率分别为k1 , k2直线l1和l2,
l1 // l2 ? k1 ? k2

说明: (1)若直线l1和l2的斜率都不存在, 其倾斜角为900,则 l1 // l 2 . (2)若斜率分别为k1 , k2直线l1和l2 可能重合,则
0 l2 l1 x y

? l1 // l 2 k1 ? k2 ? ? ?或 l1与 l 2重合

2.垂 直 预备知识:直线的方向向量
y P1 P2

直线过两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)
x

0

向 量P1 P2的 坐 标 是( x 2 ? x1 , y ?
2

y)
1

直 线 上 的 向 量1 P2及 与 它 平 行 的 向 量 P 都称为直线的方向向量 1 当 直 线 1 P2与x轴 不 垂 直 时此 时 向 量 P , P1 P2也 是 直 线 1 P2的 P x2 ? x1 1 方 向 向 量 , 且 它 的 坐是 标 (x2 ? x1 , y2 ? y1 ),即(1, k ). x2 ? x1

设直线l1和l2的斜率分别是k1 和 k2 , 则直线l1 有方向向量 a =(1, k1), 直线 l2有方向向量 b =(1, k2),
l1⊥l2 b ? a⊥b ? a· = 0 ? 1? 1 ? k1 ? k2 ? 0 .
y

l2

l1

即 l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1
α1

α2
x

问:如果两条直线中,有一条 O

直线不存在斜率,那么两条直 线垂直的条件是什么?
答:另一条直线的斜率等于 0 .

例1.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论。 解:
y A

Q P B
x

例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明。

例3、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点, 试判断△ABC的形状。

例 4.( 《新概念》例 1) (1)已知直线 l1 的斜率为 3,直线 l 2 过点 A(1,2),B(2,a), 分别求当 l1 ∥ l 2 , l1 ⊥ l 2 时 a 的值. (2)已知直线 l1 过(-2,-1)(-2,5) 、 ,直线 l 2 过点(-4,3) 、 (0,3) ,请判断两直线的位置关系.
a?2 ?3? a ?5 解:(1)当 l1 ∥ l 2 时, k 2 ? 2 ?1

a?2 5 当 l1 ⊥ l 2 时, 3 ? k 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? ?1 ? a ? 3

(2)由直线 l1 斜率不存在, k 2 ? 得: l1 ⊥ l 2 .

3?3 ?0 0?4

变式 4. 已知经过点 A(-2,0)和点 B(1,3a)的直线

l1 与经过点 P(0,-1)和点 Q(a,-2a)的直线 l 2 互相

垂直,求 a 的值. 3a ? 0 ?a 解: l 1 的斜率 k1= 1 ? (?2) ? 2a ? (?1) 1 ? 2a ? (1)当 a≠0 时, l 2 的斜率 k2 = a?0 a 1 ? 2a 即 =-1 ,得 a=1 ∵ l1 ⊥ l 2 ∴k1·k2=-1, a×
a

(2)当 a=0 时,P(0,-1) ,Q(0,0) ,这时直线 l 2 为 y 轴,

A(-2,0) 、B(1,0) ,这时直线 l1 为 x 轴,显然 l1 ⊥ l 2

综上可知,实数 a 的值为 1 和 0.

课堂小结:
设直线l1和l2的斜率分别为k1 , k2 .

则 (1)若k1 , k2 均存在 ,

? l1 // l 2 ; k1k2 ? ?1 ? l1 ? l2 . k1 ? k2 ? ? ?或l1与l 2重合 则 (2)若k1存在 , k2 不存在 , k1 ? 0 ? l1 ? l2 . ? l1 // l 2 . 则 (3)若k1 , k2 均不存在 , ? ?或l1与l 2重合

课后作业
1. 教材第89页 习题3.1 A组 6~ 8B组 2. 《新概念》 3.1.2 3. 《新概念》第三章《直线方程》第一单元自

主检测题
4. 预习3.2.1


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