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【金榜同步】高中数学北师大版选修1-1课时提升卷(12)第2章 §2 2.2 第1课时 抛物线的简单性质]


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课时提升卷(十二)
(45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x2+y2-2x+6y+9=0 的圆心的抛物线的 方程是 ( A.y2=9x

C.y2=9x 或 x2=- y ) B.x2=- y D.y2=±9x 或 x2=± y )

2.抛物线 y2=3x 关于直线 y=x 对称的抛物线方程为 ( A.y2= x C.x2= y B.x2=3y D.y2=3x

3.(2013·济南高二检测)抛物线上一点(-5,y)到焦点 F(m,0)的距离是 6,则 抛物线的通径长是 ( A.1 B.2 ) C.4 D.8

4.将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形 个数记为 n,则 ( A.n=0 B.n=1 ) C.n=2 D.n≥3

5.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 |FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 ( A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) )

二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 6.(2013·德州高二检测)设抛物线 y2=16x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12,则点 P 与焦点 F 的距离|PF|= .

7.(2013·南昌高二检测)已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线 交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程 为 .

8.(2012·四川高考)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经 过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|= 三、解答题(9 题,10 题 14 分,11 题 18 分) 9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 y 轴的交点,A 为 抛物线上一点,且|AM|= ,|AF|=3,求此抛物线的标准方程. .

10.(2013·吉安高二检测)已知 A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线 y2=2px 上,△ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合. (1)写出该抛物线的标准方程和焦点 F 的坐标. (2)求线段 BC 的中点 M 的坐标. (3)求 BC 所在直线的方程. 11.(能力挑战题)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, 经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.试探究直线 AC 是否经过原点 O?

答案解析
1.【解析】选 C.已知圆的圆心为(1,-3),该点在第四象限,所以可设抛物线的 方程为 y2=2p1x(p1>0)或 x2=-2p2y(p2>0),∴(-3)2=2p1 或 1=6p2, ∴p1= 或 p2= , 故抛物线的方程为 y2=9x 或 x2=- y. 2.【解题指南】利用点(x,y)关于 y=x 的对称点为(y,x)进行求解. 【解析】选 B.∵点(x,y)关于 y=x 的对称点为(y,x), ∴y2=3x 关于 y=x 对称的抛物线方程为 x2=3y. 【变式备选】 抛物线 y2= x 关于直线 x-y=0 对称的抛物线的焦点坐标是 A.(1,0) C.(0,1) B.( ,0) D.(0, ) ( )

【解析】选 D.方程 y2= x 关于直线 x-y=0 对称的曲线方程为 x2= y,∴x2= y 的焦 点在 y 轴上且焦点为(0, ). 3.【解析】选 C.由抛物线定义得 6=5-m,∴m=-1,故标准方程为 y2=-4x,通径 长 2p=4. 【误区警示】抛物线 y2=2px(p>0)的通径长为 2p 而非 p,忽视这一点易错选 B. 4.【解析】选 C.根据抛物线的对称性,正三角形的两 个顶点一定关于 x 轴对称,且过焦点的两条直线倾斜 角分别为 30°和 150°,这时过焦点的直线与抛物线 有两个交点,如图,所以正三角形的个数 n=2,所以 选 C. 【变式备选】等腰直角三角形 ABO 内接于抛物线 y2=2px(p>0),O 为抛物线的顶

点,OA⊥OB,则△ABO 的面积是 ( A.8p2 B.4p2 C.2p2

) D.p2

【解析】选 B.由抛物线的对称性及 OA⊥OB 知,不妨设直线 OA 的方程为 y=x, 由 得 A(2p,2p),则 B(2p,-2p),∴|AB|=4p, ∴S△ABO= 〓4p〓2p=4p2,故选 B. 5.【解题指南】易知|MF|>4 时圆与准线相交,根据抛物线的定义,|MF|=y0+2, 只要 y0+2>4 即可. 【解析】选 C.设圆的半径为 r,因为 F(0,2)是圆心,抛物线 C 的准线方程为 y=-2,由圆与准线相交知 4<r,因为点 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,所 以 r=|FM|=y0+2>4, ∴y0>2.故选 C. 【拓展提升】抛物线定义的应用 (1)抛物线 y2=2px(p>0)上一点 A(x0,y0)到其焦点的距离等于 x0+ ,这正是抛物 线定义的应用体现. (2)“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线” ,在抛物线的解题中可获得简捷、 直观的求解思路, “由数想形,由形想数,数形结合”也是定义应用时灵活解题 的捷径. 6.【解析】由题知焦点坐标为(4,0), 设 P 点坐标为(x1,y1), ∵点 P 到 x 轴的距离为 12, ∴点 P 的纵坐标为 12(或-12).

∴点 P 的横坐标为 9,则 P 点到焦点的距离为 9+4=13. 答案:13 7.【解析】∵y2=2px(p>0)的焦点坐标为( ,0), ∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ,即 x=y+ ,将其代入 y2=2px 得 y2=2py+p2,即 y2-2py-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2p. ∴ =p=2,∴抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.

答案:x=-1 8.【解析】由题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0), 则 M 到焦点的距离为 xM+ =2+ =3,∴p=2, ∴y2=4x.∴ ∴|OM|= 答案:2 9.【解析】设所求抛物线的标准方程为 x2=2py(p>0),设 A(x0,y0),M(0,- ). ∵|AF|=3,∴y0+ =3, ∵|AM|= ,∴ +(y0+ )2=17, =4〓2,∴y0=〒2 = =2 . ,

∴ =8,代入方程 =2py0 得, 8=2p(3- ),解得 p=2 或 p=4. ∴所求抛物线的标准方程为 x2=4y 或 x2=8y. 10.【解析】(1)由点 A(2,8)在抛物线 y2=2px 上,有 82=2p〃2,解得 p=16,所 以抛物线方程为 y2=32x,焦点 F 的坐标为(8,0). (2)方法一:由于 F(8,0)是△ABC 的重心,

所以

=2,即有

=2

.

设点 M 的坐标为(x0,y0), 所以(6,-8)=2(x0-8,y0), 解得 x0=11,y0=-4,所以点 M 的坐标为(11,-4). 方法二: ?

? ∵M 是 BC 的中点,∴xM=11,yM=-4. ∴M 的坐标为(11,-4). (3)∵点 B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线上, ∴ ①-②得 = =32(x1-x2),

=-4,

∴kBC=-4,又点 M(11,-4)在直线 BC 上, ∴BC 所在直线的方程为 y=-4(x-11)-4, 即 4x+y-40=0. 11.【解题指南】借助 kOA 和 kOC 的关系去探究. 【解析】直线 AC 经过原点 O. 证明如下: 方法一:设 AB:x=my+ ,代入 y2=2px, 得 y2-2pmy-p2=0.

由根与系数的关系, 得 yAyB=-p2,即 yB=- . ∵BC∥x 轴,且 C 在准线 x=- 上, ∴C(- ,yB), 则 kOC= = = =kOA. 故直线 AC 经过原点 O. 方法二:如图所示,记准线 l 与 x 轴的交点为 E,过 A 作 AD⊥l,垂足为 D,则 AD∥EF∥BC,连接 AC 交 EF 于 N, 则 = = = . ,

∵|AF|=|AD|,|BF|=|BC|, ∴|EN|= = =|NF|,

即 N 是 EF 的中点,从而点 N 与点 O 重合,故直线 AC 经过原点 O.

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