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高中数学希望杯典型例题100道(61-70)


高中数学希望杯典型例题 100 道(61-70) x2 y2 题 61 设直线 m, n 都是平面直角坐标系中椭圆 7 + 3 = 1 的切线,且 m?n , m 、 n 交于 点 P,则点 P 的轨迹方程是 题) . (第十二届高二培训题第 47 x2 y2 x 2 ?kx ? b ? ?1 3 解 设直线 y = kx ? b 与椭圆 7 + 3 = 1 相切,则二次方程

7 + ,即 2 ?3 ? 7k ?x 2 2 ? 14kbx ? 7b 2 ? 21 ? 0 有 两 个 相 等 实 根 , 其 判 别 式 ,解得 b ? 3 ? 7k , b ? ? 3 ? 7k 2 2 2 2 ? ? ?14kb ? ? 4 ? 3 ? 7k 2 ?? 7b 2 ? 21? ? 0 2 .因此斜率 为 k 的椭圆的切线有两条: y ? kx ? 3 ? 7k ①,与其中每条垂直的切线也各有两条: x 7 y ? ? ? 3? 2 k k ②;另有与 x 轴垂直的切线两条: x ? ? 7 ,与其中每条垂直的切线又 各有两条: y ? ? 3 . 由 ① 、 ② 得 ? y ? kx? ⑤ . 2 = 3 ? 7k ③+⑤ 2 x? 7 ? ? y ? ? ? 3? 2 k? k ④ , ④ 式 即 ③ , ? 2 ?ky ? x?2 ? 3k 2 ? 7 x 2 ? y 2 ? 10 ⑥.又点 2 2 得 ?k 2 ? 1 x 2 ? k 2 ? 1 y 2 ? 10 k 2 ? 1 , ? ? ? ? ? 即 ? 7 , 3 , 7 ,? 3 , ? 7 , 3 , ? 7 ,? 3 都适合方程⑥.故点 P ?? ?? ?? ? 的轨迹方程为 x ? y ? 10 . 评析 这是一道典型的用交轨法求轨迹方程的问题.解题的关键有两个:如何设两条动 切线方程与如何消去参数.当切线的斜率存在时,我们可设其方程为 y ? kx ? b ,此时出现 两个参数 k 与 b ,由于此切线方程与椭圆的方程组成的方程组有且只有一解,故由二次方程 有等根的条件得 b ? ? 3 ? 7k (这与事实一致:斜率为 k 的椭圆的切线应当有两条) ,从 2 而切线方程为 y ? kx ? 3 ? 7k ,那么与其垂直的椭圆的切线方程就是将此切线方程中的 2 k 换成 ? x 7 1 y ? ? ? 3? 2 k k .此时突破了第一关.下面是否通过解方程组 k 所得方程,即 得交点轨迹的参数方程, 然后再消参得所求轨迹方程呢?想象中就是非常繁琐的. 上面题解 1 中的方法充分体现了消参的灵活性,大大简化了解题过程.然而,事情到此并未结束,以上 所设切线方程是以切线有斜率为前提的, 是否有不存在斜率的椭圆的切线呢?于是引来了分 类讨论,当然,此时只要将几个点的坐标代入所求的方程 x ? y ? 10 ,看是否适合即可. 2 2 拓展 如果留心,我们会发现所求轨迹方程 x ? y ? 10 中的 10 正好是已知椭圆方程 2 2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 7 + 3 = 1 中的 7 与 3 的和.那么,是否将椭圆方程改为 a 2 b 2 ,则所求轨迹方程 就是 x ? y ? a ? b 了呢?经研究,果真如此.于是我们得到 2 2 2 2 x2 y2 ? 2 ?1 2 b 定理 1 设直线 m 、 n 都是椭圆 a 的切线,且 m?n , m 、 n 交于点 P,则点 P 的轨

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