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福建省厦门一中2012-2013年高一下学期期中考试(数学)


福建省厦门第一中学 2012-2013 学年度 第二学期期中考试

高一年数学试卷
2013.4
试卷分 A 卷和 B 卷两部分,满分为 150 分,考试时间 120 分钟

V ? Sh , V ? 参考公式: 柱体体积公式: 其中 S 为底面面积, h 为高; 锥体体积公式:
其中 S 为底面面积,h 为高

;球体体积公式: V ?

1 Sh , 3

4 ? R 3 ,R 为球半径. 3

A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。 1. cos 4200 的值为 B. ? 3 2 3 2.设函数 f(x)=sin (2 x ? ? ) ,x∈R,则 f(x)是 2 A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 A. 3 2 C. 1 2 D. ? 1 2

π B.最小正周期为 的偶函数 2 D.最小正周期为 π 的偶函数

3.若直线 a, b 是异面直线, b 与 c 也是异面直线,则 a 与 c 的位置关系是 A.平行或异面 B.相交,平行或异面 C.异面或相交 D.异面

4.点 P 是函数 f(x)=cos ωx(其中 ω>0)的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴 的距离最小值是 π,则 ω 为 A.

1 2

B. 4

C.2

D. 1 4

5.已知正三角形 ABC 的边长为 2a,那么△ ABC 的直观图△ A′B′C′的面积为 A.

3 2 a 4

B.

3 2 a 2

C.

6 2 a 2

D.

6 2 a 4

6.由单位正方体(棱长为1的正方体)叠成的积木堆的正视图与侧视图均为下图所示,则该 积木堆中单位正方体的最少个数为 A.5 个 B.4 个 C.6 个 D.7 个 1 ? cos 2? ? sin 2? 2 7.已知 tan ? = ,则 的值为 1 ? cos 2? ? sin 2? 3 第6题 A.

3 2

B. ?

2 3

C.

2 3

D. ?

3 2

8.已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形,若该圆锥的侧面积为 4? ,则该圆 锥的体积为
第1页 共7页

A. 15?

B 4? 3

C. 3?

D.

15? 3

2 9.已知 y ? cos ? x ? 3 sin? x cos? x ?

移 ? 个单位而得到,则 24 A. ? ? 1, A ? 1 B. ? ? 1, A ? 1 C. ? ? 2, A ? 1 D. ? ? 2, A ? 1 2 2 10.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) ,其部分图象如下图所示,且直 线 y ? A 与 曲 线 y ? f ( x )( ?

1 的图象可由 y ? A sin 4 x , ( A ? 0) 的图象向左平 2

?
24

?x?

2? 3? f ( )? f ( )? f ( ) 8 8 8

?

11? ) 所围成的封闭图形的面积为 ? ,则 24
y

A
2013 i ?1

?

f(

2013? ) (即 8

? f(
D.2

i ?? ) )的值为 8

?

?
24

5? 24

o

x

-A
第 10 题

A.1 C.0

B.-1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。在答题卷上的相应题目的答题区域 内作答。
2 11. sin

5? 5? ? cos 2 的值为 12 12

Δ

. gkstk

D A F D1 A1 E B1 B

C

12.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 a,E是棱 C1D1 的 中点,F是棱 DD1 的中点,则异面直线EF与AC所成的角的 大小是 Δ .

C1

第 12 题

13.已知函数 f(x)=Asin 2x,g(x)= 3 A sin(2 x ? ),( A ? 0) ,直线 x=m 与 f(x),g(x)的图象分 2 别交 M、 N 两点, 且|MN( | M、 N 两点间的距离) 的最大值为 10, 则常数 A 的值为 Δ .

?

14.关于函数 f ( x) ? sin 2x ? 3 cos 2 x 有下列命题: ① y ? f (x) 的最大值为 2;② x = 是 y ? f (x) 的一条对称轴;③( 向右平移

? 个单位,可得到 y ? 2sin 2 x 的图象,其中正确的命题序号是 6

? ,0)是 y ? f(x) 的一个对称中心;④ 将 y ? f (x) 的图象 8
Δ .(把你

13? 12

认为正确命题的序号都写上) . 三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在 答题卷上的相应题目的答题区域内作答。 15.(本小题满分 10 分)已知 2 ? tan( (I)

?
4

? ? ) ? 0 ,求下列代数式的值.

3? ? 2? ) 2 16.(本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为棱 A1B1 , A1 A 的
4 sin ? ? 2 cos ? ; 5 cos ? ? 3sin ?
2 (II) cos (? ? ? ) ? cos(

中点
第2页 共7页

(I)判定 D, C1 , E, F 四点是否在同一平面上?若在同一平面上, 请加以证明,若不在同一平面上,请说明理由。 (II)已知正 方体的棱长为 2,沿平面 EFD1 截去三棱锥 A1 ? EFD1 , (i)求 余下几何体的体积; (ii)求余下几何体的表面积. A F A1

D B D1 E
第 17 题

C

C1 B1

[sin x ? cos(? ? x)] ? cos( ? 2 x) 2 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? .(I)求 f ( x) sin x
的定义域及最小正周期; (II)求 f ( x) 的单调递减区间.

?

gkstk

B 卷(共 50 分)
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,在答题卷上的相应题目的答题区域 内作答。 18. 已知一正方体的内切球体积为

4 ? ,则该正方体的表面积为 3

Δ

.

P
y

3m

O

19.如图为一半径为 3 米的水轮,水轮圆心 O 距水面 5 米,已知水轮每 分钟逆时针转 6 圈,水轮上的固定点 P 到水面距离 y(米)与时间 x(秒) 满足关系式 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的函数形式,当水轮开始转动时 P

5m A

第 19 题

点位于距离水面最近的 A 点处,则 A= Δ ?? Δ .

;b= Δ

;ω= Δ



1 ? ? 20.曲线 y ? 2sin(2 x ? ) cos(2 x ? ) 与直线 y ? 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次 2 4 4
记为 P1,P2,P3,…,则 | P 21P 22 | ?| P 24 P 25 | ? 距离). 21. 在半径为 4 的半圆形铁皮内剪取一个内接矩形 ABCD,如图(B,C 两 点在直径上,A,D 两点在半圆周上) ,以边 AB 为母线,矩形 ABCD 为 侧面围成一个圆柱,当圆柱侧面积最大时,该圆柱的体积为 Δ .
A D

Δ

.( | PP 表示 Pi 与 Pj 两点间的 i j | (i, j ? N*)

B

O
第 21 题

C

五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,
第3页 共7页

在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。 22.(本小题满分 10 分) 已知 ? , ? ? ( ? , ? ),sin(? ? ? ) ? ? , (I)求 sin2( ? ? ? ) 的值, (II)若 sin( ? ?

3 4

3 5

?
4

)?

? 3 10 , (i)求 cos(? ? ) 的值(ii)求 sin 2? 的值. 4 10

23.(本小题满分 12 分)如图 1 所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图(尺 寸如图所示, 单位 cm) ; (I) 求异面直线 CE 与 PD 所成角的正切值; (II) 求三棱锥 A ? EPC 的体积; (Ⅲ)如图 2 所示 F 是线段 PD 上的上的一个动点,过 F 分别作直线 AD、PA 的垂线, 垂足为 H、G,设 AH 长为 x,三棱锥 F-PEG 与三棱锥 F-HCD 的体积之和为 y,问当 x 取何值 时,y 的值最小? 并求出该最小值.

P E B
G

P E
F
6

3
3

A
H

B

A

4
正视图

4
侧视图

C
(图 2)

D

C
(图 1)

D
俯视图

24.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x cos 2 图象的一条对称轴为 x ?

?
2

? cos 2 x sin ? ? sin 2 x(0 ? ? ? ? )
? ?
1 , ] 使得 | f ( x0 ) ? m |? 2 3 6

?
3

。 (?)求 ? 的值; (Ⅱ)若存在 x0 ? [?

成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)已知函数 g ( x) ?| f ( 恰有 50 次取到最大值,求正数 ? 的取值范围.

? x 5?
2 ? 12

) | ? | cos ? x | 在区间[0,1]上

gkstk

(A 卷)
第4页 共7页

一、选择题:1.C,2.D,3.B,4.A,5.D,6.B,7.A,8.D,9.C,10.B 二、填空题:11. 三、解答题 15.解: 由 2 ? tan(

3 0 ; 12. 60 2

(或填

? ); 13. 3

5

; 14.①,②,④;

?

4 4 tan ? ? 2 5 (I)原式= ? ...(5 分);(II)解:原式= cos2 ? ? sin 2? ? cos2 ? ? 2sin ? cos ? ..(7 3 tan ? ? 5 7
分)

??) ? 0 ? 2 ?

1 ? tan ? ? 0 解得:tan ? ? 3 .................................(2 分) 1 ? tan ?

?

cos 2 ? ? 2sin ? cos ? 1 ? 2 tan ? ?5 1 ? ? ? ? .............................................................(10 分) 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 10 2

16.解: (I)答:D, C1 ,E,F四点在同一个平面上....................................................(1 分) 证明:连结 AB1 ,由 E , F 分别为棱 A1B1 , A1 A 的中点,所以 EF / / AB1 ,又由正方体知 AB1ⅡDC1,由平行公理得 EFⅡDC1,因此,D, C1 ,E,F四点在同一个平面上.........(4 分)

1 1 1 ( ?1?1) ? 2 ? .................................... .(6 分) 3 2 3 1 23 3 所以,余下几何体的体积 V ? V.正方体- V1 = 2 ? ? ............... ....................................(8 分) 3 3 (ii)依题意可得 D1F ? D1E ? 5, 在Δ D1 EF 中,过 D1 作 D1 H 垂直于 EF,垂足为 H,则
(II) (i)由三棱锥 A1 ? EFD1 的体积 V1 ?

D1 H ? 5 ?

1 3 2 3 1 3 2 ,所以Δ D1 EF 的面积 S?D EF ? ? 2 ? ? .........................(10 分) ? 1 2 2 2 2 2

2 2 余下几何体的表面积 S=. 3 ? 2 ? (3 ? 2 ? 1 ? 1 ? ) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x ........................................... gkstk..............................(4 分) ; sin x (sin x ? cos x)2sin x cos x f ( x) ? ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ..........(5 分) sin x ? 2? ? 2 s i n x (?2 ? ) 1 ? ? .....(8 分) .......................(7 分) ,? f ( x) 的最小正周期 T ? 4 2 ? ? 3? ? (II).解:由 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ,? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ....................(9 分) , 2 4 2 4 3? 7? ? x ? k? ? 解得: k? ? ........................................................................................(10 分) 8 8 3? 7? ? 函数 f ( x) 的单调递减区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z .......(12 分)(未指出 k∈Z,扣1分) 8 8 f ( x) ?
(B 卷) 四、填空题 18. 24 ;19.A= 3 ;b= 5 ;ω=

? 17.(I)解:由 sinx ? 0,得 x ? k? ? ? , k ? Z ,? f ( x) 的定义域为 {x | x ? k? ? , k ? Z } ........(3 分) 2 2

1 2

3 ? 23 ........................................(12 分) 2

? ? ? ; ? ? ? .(每个 1 分,共 4 分) ;20. ;21. 16 2 ? 2 2 5

第5页 共7页

22.(I) 解: 分)

4 3 3? . ? , ? ? ( ? , ? ),? (? ? ? ) ? ( , 2? ) ,由 sin(? ? ? ) ? ? 3 , ? cos(? ? ? ) ? ...(2 5 4 2 5

3 4 24 ................................................(4 ? sin 2(? ? ? ) ? 2sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 5 5 25
分)

? 10 ..........................(5 分) (II).解: 由 ( ? ? ? ) ? ( ? , 3? ) ,sin( ? ? ? ) ? 3 10 , ? cos( ? ? ) ? ? 4 2 4 4 10 4 10
(i) ? cos(? ? 分) (ii) sin 2? ? ? cos(

?

? 4 10 3 3 10 13 10 .............(7 ) ? cos[(? ? ? ) ? ( ? ? )] ? ? (? ) ? (? ) ? ?? 4 4 5 10 5 10 50
? ? 13 10 2 44 ..........................(10 ? 2? ) ? 1 ? 2cos 2 ( ? ? ) ? 1 ? 2(? ) ?? 2 4 50 125

分). 23.解:(I)取 PA 中点 E1 ,由 BE / / AB, AB ? BE ? 3 ,所以四边形 ABEE1 是平行四边形,?

E1E / / AB 且 E1E ? AB ,? E1E / /CD 且 E1E ? CD ,? 四边形 E1 ECD 是平行四边形,
所以,

CE / / DE1 ,??PDE1 是异面直线 CE 与 PD 所成的角.....................................................(2 分)
设 ?PDA ? ? , ?E1DA ? ? ,则 tan ? ?
? 3 3 , tan ? ? ,? tan ?PDE ? tan(? ? ? ) ? 2 4 ? 6 , 1 2 4 9 17 1? 8 3 3

所以, 异面直线 CE 与 PD 所成的角的正切值为 6 ................................................................(4 分) 17 (II)由于三棱锥 A ? EPC 与三棱锥 C ? PAE 是同一几何体, 所以, V 三棱锥 A-EPC.=V.三棱锥 C-PAE= ? S ?PAE ? BC = ? 12 ? 4 ? 16 (cm3)....,. gkstk...................(8 分) (III)依题意得 HD ? 4 ? x, 由

1 3

1 3

FH 6 3 3 ? ,? FH ? (4 ? x), PG ? x(0 ? x ? 4) ,由三视图知: HD 4 2 2

1 1 3 1 1 3 VF ? PFG ? ( ? x ? 4) x ? x 2 , VF ? HCD ? [ ? (4 ? x) ? 4] (4 ? x) ? (4 ? x) 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 ? y ? x ? (4 ? x) ? 2x ? 8x ? 16, x ? (0, 4) ......................................................................(10
分)

y ? 2x2 ? 8x ? 16 ? 2( x ? 2)2 ? 8 ,当 x=2 时, ymin ? 8 (cm3)...........................................(12
分) 24.解:(I) f ( x) ? sin 2 x(1 ? cos ? ) ? cos 2 x sin ? ? sin 2 x ? sin 2 x cos ? ? cos 2 x sin ? ? s i nx ( ?? 2 ....................................................................................................(2 ) 分) ? 5? ? ? ? 又 0 ?? ?? , 所以 ? ? ....(4 分) x ? 是其对称轴, ? 2( ) ? ? ? k? ? ,?? ? k? ? (k ? z ) , 3 6 3 2 6 (II)由 | f ( x0 ) ? m |? 1 ? ? 1 ? m ? f ( x0 ) ? 1 ? f ( x0 ) ? 1 ? m ? f ( x0 ) ? 1 ,又
?

?
6

? 2 x0 ?

5? 7? , 1 5? 3 由存在 x0 ? [? ? , ? ] , ? ?? ? sin(2 x0 ? ) ? 1 , ??1 ? m ? ...............(8 分) 3 6 6 6 2 6 2

2

2

2

2

2

x0 ? [?

? ?

, ], 3 6

(III) g( x) ?| sin ?x | ? | cos ?x |? 1? | sin 2?x | , g ( x) 取最大值时, | sin 2? x |? 1 ,等价于

y ?| sin 2? x | 在[0,1]上恰有 50 次取到最大值 1,由 y ?| sin 2? x | 的最小正周期为 T ?
第6页 共7页

? , 2?

由 此 可 得 49 ?

? ? ? ? 99? 101? .........................................(12 ? ? 1 ? 50 ? ? ? ?? ? 2? 4? 2? 4? 4 4

分) (说明:各题均有多种解法,限于篇幅,本参考解答都只给出一种解法,另外不同解法, 按照评分标准,酌情处理)。gkstk

第7页 共7页


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