当前位置:首页 >> 数学 >>

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训3-2利用导数研究函数的性质试题


1.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f ′(x)存在,且导函数 f ′(x)在 D 上也可 导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f ″(x)=(f ′(x))′,若 f ″(x)>0 在 D 上恒 π 成立,则称 f(x)在 D 上为凹函数,以下四个函数在(0, )上是凹函数的是( 2 A.f(x)=sinx+cosx C.f(x)=-x +2x+

1 [答案] D [解析] (1)若 f(x)=sinx+cosx, f ′(x)=cosx-sinx, ″(x)=-sinx-cosx, 则 f π ∴f ″(x)>0 在(0, )上不成立; 2 1 1 π (2)若 f(x)=lnx-2x,则 f ′(x)= -2,f ″(x)=- 2,f ″(x)>0 在(0, )上不 x x 2 成立; (3)若 f(x)=-x +2x+1,则 f ′(x)=-3x +2,f ″(x)=-6x,f ″(x)>0 在(0, π )上不成立; 2 π -x -x -x (4)若 f(x)=-xe ,则 f ′(x)=(x-1)e ,f ″(x)=(2-x)e ,当 x∈(0, )时, 2
3 2 3

)

B.f(x)=lnx-2x D.f(x)=-xe
-x

f ″(x)>0 恒成立,故选 D.
2.(2013·济南外国语学校第一学期质检)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx -2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值为( A.2 [答案] D [解析] 函数的导数为 f ′(x)=12x -2ax-2b,函数在 x=1 处有极值,则有 f ′(1) =12-2a-2b=0,即 a+b=6,所以 6=a+b≥2 ab,即 ab≤9,当且仅当 a=b=3 时取等 号,选 D. 3.(文)(2011·宿州模拟)已知 y=f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(1)=1,f ′(x)>1, 则 f(x)>x 的解集是( A.(0,1) C.(1,+∞) [答案] C [解析] 令 F(x)=f(x)-x, F ′(x)=f ′(x)-1>0, 则 所以 F(x)是增函数, f(x)>x, ∵ ∴F(x)>0,∵F(1)=f(1)-1=0,∴F(x)>F(1),∵F(x)是增函数,∴x>1,即 f(x)>x 的解 ) B.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
2 3 2

) D.9

B.3

C.6

集是(1,+∞). (理)(2011·辽宁文)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f ′(x)>2, 则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) [答案] B [解析] 由题意,令 φ (x)=f(x)-2x-4,则 φ ′(x)=f ′(x)-2>0. ∴φ (x)在 R 上是增函数. 又 φ (-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0, ∴当 x>-1 时,φ (x)>φ (-1)=0, ∴f(x)-2x-4>0,∴f(x)>2x+4.故选 B. 4.(文)设函数 f(x)=ax +bx +cx 在 x=±1 处均有极值,且 f(-1)=-1,则 a、b、
3 2

) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)

c 的值为(

)

1 3 A.a=- ,b=0,c=- 2 2 1 3 B.a= ,b=0,c=- 2 2 1 3 C.a=- ,b=0,c= 2 2 1 3 D.a= ,b=0,c= 2 2 [答案] C [解析] f ′(x)=3ax +2bx+c,所以由题意得
2

?f ′? 1? =0, ? ?f ′? -1? =0, ?f? -1? =-1, ?

?3a+2b+c=0, ? 即?3a-2b+c=0, ?-a+b-c=-1, ?

1 3 解得 a=- ,b=0,c= . 2 2 1 3 2 (理)(2012·潍坊模拟)已知非零向量 a,b 满足|a|= 3|b|,若函数 f(x)= x +|a|x 3 +2a·bx+1 在 R 上有极值,则〈a,b〉的取值范围是( π A.[0, ] 6 π π C.( , ] 6 2 )

π B.(0, ] 3 π D.( ,π ] 6

[答案] [解析]

D 据题意知, f ′(x)=x +2|a|x+2a·b ,若函数存在极值,必有(2|a|) -
2 2 2

|a| 2 a·b 3 π 2 4×2a·b>0,整理可得|a| >2a·b,故 cos〈a,b〉= < = ,解得 < |a|·|b| |a| 2 6 |a|· 3 〈a,b〉≤π . 5.函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f ′(x)的图象可能是( )

[答案] D [解析] 由 f(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, ∴在(0,+∞)上 f ′(x)≤0,在(-∞,0)上 f ′(x)≥0,故选 D. 6.(2011·陕西咸阳模拟)已知函数 f(x)=ax -1 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 8x-y+2=0 平行,若数列? A. C. 2010 2011 4020 4021
?
2

1

?f? n? ?

? ?的前 n 项和为 Sn,则 S2010 的值为(

)

B. D.

1005 2011 2010 4021

[答案] D [解析] ∵f ′(x)=2ax,∴f(x)在点 A 处的切线斜率为 f ′(1)=2a,由条件知 2a =8,∴a=4, ∴f(x)=4x -1,
2



1

f? n?



1 1 1 = · 4n -1 2n-1 2n+1
2

1 ? 1? 1 - = ? ? 2?2n-1 2n+1? ∴数列?
?

1

?f? n? ?

? ?的前 n 项和 Sn=

1

f? 1?



1

f? 2?

+?+

1

f? n?

1? 1? 1?1 1? = ?1- ?+ ? - ?+? 3? 2?3 5? 2?

1 ? 1? 1 - + ? ? 2?2n-1 2n+1? 1 ? 1? n 2010 = ?1- ,∴S2010= . ?= 2n+1? 2n+1 2? 4021 1-x 7. (2011·惠州三模)已知函数 f(x)= +lnx, 若函数 f(x)在[1, +∞)上为增函数,

ax

则正实数 a 的取值范围为________. [答案] [1,+∞) 1-x [解析] ∵f(x)= +lnx,

ax

∴f ′(x)=

ax-1 (a>0), ax2

∵函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数, ∴f ′(x)=

ax-1 ≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立, ax2

∴ax-1≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立, 1 即 a≥ 对 x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1.

x

8. (文)函数 y=f(x)的定义域为(a, ), =f ′(x)在(a, )上的图象如图, y=f(x) b y b 则 在区间(a,b)上极大值的个数为________.

[答案] 2 [解析] 由 f ′(x)在(a,b)上的图象可知 f ′(x)的值在(a,b)上,依次为+-+- +,∴f(x)在(a,b)上的单调性依次为增、减、增、减、增,从而 f(x)在(a,b)上的极大 值点有两个. [点评] 应注意题设中给的是 f(x)的图象还是 f ′(x)的图象,在 f ′(x)的图象上, 位于 x 轴上方部分使 f ′(x)>0,f(x)单调增,位于 x 轴下方部分,使 f ′(x)<0,f(x)单 调减,f(x)的极值点是 f ′(x)的图象与 x 轴的交点,千万要注意,不要把 f ′(x)的单调 性误以为是 f(x)的单调性.请再练习下题:

(2011·绵阳模拟)如图是函数 y=f(x)的导函数的图象,给出下面四个判断. ①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是________. [答案] ②③ [解析] 由函数 y=f(x)的导函数的图象可知: (1)f(x)在区间[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上为增函数,在[2,4]上为减函数; (2)f(x)在 x=-1 处取得极小值,在 x=2 处取得极大值. 故②③正确. (理)已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 x+2y-1=0 平行, 则实数 a 的值为________. [答案] 1 1 [解析] ∵f ′(x)= -a, 1+x 1 ∴f ′(1)= -a. 2

1 1 由题知 -a=- , 2 2 解得 a=1. [点评] 函数 f(x)在点(x0,y0)处切线 l 的斜率为 f ′(x0),若 l 与 l1 平行(或垂直), 则 f ′(x0)=kl1(或 f ′(x0)·kl1=-1).请再练习下题: 已知曲线 y=x -1 在 x=x0 处的切线与曲线 y=1-x 在 x=x0 处的切线互相平行,则 x0 的值为________. 2 [答案] 0 或- 3 [解析] 由条件知,2x0=-3x0, 2 ∴x0=0 或- . 3 9.(2012·湖南长郡中学一模)已知函数 f(x)的导函数为 f ′(x)=5+cosx,x∈(- 1,1),且 f(0)=0,如果 f(1-x)+f(1-x )<0,则实数 x 的取值范围为________. [答案] (1, 2) [解析] ∵导函数是偶函数,∴原函数 f(x)是奇函数,且定义域为(-1,1),又由导数 值恒大于 0,∴原函数在定义域上单调递增,∴所求不等式变形为 f(1-x)<f(x -1),∴- 1<1-x<x -1<1,解得 1<x< 2,∴实数 x 的取值范围是(1, 2). [点评] 本题考查应用函数性质解不等式以及利用导数研究函数性质, 原函数与其导函 数的奇偶性相反,这一性质要注意掌握和应用. 2 3 2 10.(2011·北京东城一模)已知函数 f(x)=x +ax -x+c,且 a=f ′( ). 3 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)(理)设函数 g(x)=[f(x)-x ]·e ,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数
3 2 2 2 2 2 3

x

c 的取值范围.
[解析] (1)由 f(x)=x +ax -x+c 得,
3 2

f ′(x)=3x2+2ax-1.
2 2 2 2 2 4 1 当 x= 时,得 a=f ′( )=3×( ) +2a×( )-1= a+ ,解之得 a=-1. 3 3 3 3 3 3 (2)由(1)可知 f(x)=x -x -x+c. 1 2 则 f ′(x)=3x -2x-1=3(x+ )(x-1),列表如下: 3
3 2

x

1 (-∞,- ) 3



1 3

1 (- ,1) 3

1

(1,+∞)

f ′(x) f(x)

+ ↗

0 有极大值

- ↘

0 有极小值

+ ↗

1 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,- )和(1,+∞); 3

f(x)的单调递减区间是(- ,1).
(3)函数 g (x)=(f(x)-x )·e =(-x -x+c)·e , 有 g′(x)=(-2x-1)e +(-x -x+c)e =(-x -3x+c-1)e , 因为函数在区间 x∈[-3,2]上单调递增, 所以 h(x)=-x -3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立. 只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞). 能力拓展提升 1 3 2 11.若 a>2,则函数 f(x)= x -ax +1 在区间(0,2)上恰好有( 3 A.0 个零点 C.2 个零点 [答案] B [解析] f ′(x)=x -2ax=x(x-2a)=0? x1=0,x2=2a>4.易知 f(x)在(0,2)上为减 11 1 3 2 函数,且 f(0)=1>0,f(2)= -4a<0,由零点判定定理知,函数 f(x)= x -ax +1 在区 3 3 间(0,2)上恰好有一个零点. 12.(2011·南开区质检)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x-x 的极大 值点坐标为(b,c),则 ad 等于( A.2 C.-1 [答案] A [解析] ∵a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc, 又(b,c)为函数 y=3x-x 的极大值点, ∴c=3b-b ,且 0=3-3b , ∴?
?b=1, ? ? ?c=2,
3 2 3 3 2 2 3

1 3

x

2

x

x

2

x

2

x

)

B.1 个零点 D.3 个零点

) B.1 D.-2

或?

?b=-1, ? ? ?c=-2,

∴ad=2.

13.(文)已知函数 f(x)=sinx +cosx , f ′(x)是 f(x)的导函数,则函数 F(x)=

f(x)·f ′(x)+f 2(x)的最大值是(
A.1+ 2 C. 2

) B.1- 2 D.- 2

[答案] A [解析] 依题意,得 f ′(x)=cosx-sinx, π 2 所以 F(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)+(sinx+cosx) = 2sin(2x+ )+1, 4 所以 F(x)的最大值是 1+ 2. (理)(2013·陕西西工大附中第三次适应性训练 )已知可导函数 f(x)(x ∈R)满足

f ′(x)>f(x),则当 a>0 时,f(a)和 eaf(0)的大小关系为(
A.f(a)<e f(0) C.f(a)=e f(0) [答案] B [解析] 令 F(x)= 则 F′(x)=
a a a

)

B.f(a)>e f(0) D.f(a)≤e f(0)
a

f? x? , ex

f ′? x? -f? x? >0, ex

∴F(x)为增函数, ∵a>0,∴F(a)>F(0), 即

f? a? >f(0), ea
a

∴f(a)>e f(0),故选 B. 14.(2011·浙江五校联考)已知函数 f(x)的导函数 f ′(x)=2x-9,且 f(0)的值为整 数,当 x∈[n,n+1](n∈N )时,f(x)所有可能取的整数值有且只有 1 个,则 n=________. [答案] 4 [解析] 由题可设 f(x)=x -9x+c(c∈R),又 f(0)的值为整数即 c 为整数,∴f(n)=
2 *

n2-9n+c 为整数,f(n+1)=(n+1)2-9(n+1)+c=n2-7n+c-8 为整数,又 x∈[n,n+
1](n∈N )时,f(x)所有可能取的整数值有且只有 1 个,∴n -7n+c-8=n -9n+c,即 n =4. 15.(文)设函数 f(x)=x +ax +bx+c 的图象如图所示,且与 y=0 在原点相切,若函 数的极小值为-4.
3 2 * 2 2

(1)求 a、b、c 的值; (2)求函数的递减区间. [解析] (1)函数的图象经过(0,0)点,∴c=0. 又图象与 x 轴相切于(0,0)点,y′=3x +2ax+b, ∴b=0,∴y=x +ax ,y′=3x +2ax. 2 ∵当 x=- a 时,函数有极小值-4. 3
3 2 2 2

? 2a?3 ? 2a?2 ∴?- ? +a?- ? =-4,得 a=-3. ? 3? ? 3?
(2)y′=3x -6x<0,解得 0<x<2.∴递减区间是(0,2). (理)设函数 f(x)=x -3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. [解析] (1)f ′(x)=3x -3a. 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切, 所以?
?f ′? ? ? ?f?
2 3 2

2? =0,

2? =8.

?12-3a=0, ? 即? ? ?8-6a+b=8.

解得 a=4,b=24. (2)f ′(x)=3(x -a)(a≠0). 当 a<0 时,f ′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;此时函数 f(x)没有极值 点. 当 a>0 时,由 f ′(x)=0 得 x=± a. 当 x∈(-∞,- a)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增.
2

故 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点. 1 3 1 2 16.(文)设函数 g(x)= x + ax -bx(a,b∈R),在其图象上一点 P(x,y)处的切线的 3 2 斜率记为 f(x). (1)若方程 f(x)=0 有两个实根分别为-2 和 4,求 f(x)的表达式; (2)若 g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求 a +b 的最小值. [解析] (1)根据导数的几何意义知 f(x)=g′(x)=x +ax-b, 由已知-2,4 是方程 x
?-2+4=-a, ? +ax-b=0 的两个实根,由韦达定理? ? ?-2×4=-b,
2 2 2 2

∴?

? ?a=-2, ?b=8, ?

∴f(x)=x -2x-8.

2

(2)g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,所以在[-1,3]区间上恒有 f(x)=g′(x) =x +ax-b≤0, 即 f(x)=x +ax-b≤0 在[-1,3]上恒成立 这只需满足 ?
?a+b≥1, ? ? ? ?b-3a≥9,
2 2 2 2

? ?f? ?f? ?

-1?

≤0,

3? ≤0,

即可,也即 ?

? ?a+b≥1, ?b-3a≥9, ?

而 a + b 可视为平面区域
?a=-2 ? ? ?b=3

2

2

内的点到原点距离的平方, 其中点(-2,3)距离原点最近. 所以当?

时,a +b 有最小值 13. (理)(2011·天津文)已知函数 f(x)=4x +3tx -6t x+t-1,x∈R,其中 t∈R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当 t≠0,求 f(x)的单调区间; (3)证明:对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点. [解析] (1)当 t=1 时, (x)=4x +3x -6x, (0)=0, ′ (x)=12x +6x-6, ′(0) f f f f =-6,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=-6x. (2)f ′(x)=12x +6tx-6t ,令 f ′(x)=0,解得 x=-t 或 x= ,因为 t≠0,以下 2 分两种情况讨论: ①若 t<0,则 <-t,当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: 2
2 2 3 2 2 3 2 2

t

t

x f ′(x) f(x)

?-∞,t? ? 2? ? ?
+ ↗

?t,-t? ?2 ? ? ?
- ↘

(-t,+∞) + ↗

? ? (- +∞); (x)的单调递减区间是? ,-t?. 所以, (x)的单调递增区间是?-∞, ?, t, f f ?2 ? 2? ? ? ?
t t
②若 t>0,则-t< ,当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: 2

t

x f ′(x) f(x)

(-∞,-t) + ↗

?-t,t? ? 2? ? ?
- ↘

?t,+∞? ?2 ? ? ?
+ ↗

? ? f ? ? 所以, (x)的单调递增区间是(-∞, t), ,+∞?: (x)的单调递减区间是?-t, ?, f - ?2 2? ? ? ?
t t

? ? ? ? (3)证明:由(2)可知,当 t>0 时,f(x)在?0, ?内单调递减,在? ,+∞?内单调递增, ? 2? ?2 ?
t t
以下分两种情况讨论: ①当 ≥1,即 t≥2 时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 2

t

f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-6×4+4×2+3<0.所以对任意 t∈[2,+∞), f(x)在区间(0,1)内均存在零点.

? ? ? ? ②当 0< <1,即 0<t<2 时,f(x)在?0, ?内单调递减,在? ,1?内单调递增, 2 ? 2? ?2 ?
t t t
7 3 7 3 ?t? 若 t∈(0,1],f? ?=- t +t-1≤- t <0, 4 4 ?2?

f(1)=-6t2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3>0,

? ? 所以 f(x)在? ,1?内存在零点. ?2 ?
t
7 3 7 3 ?t? 若 t∈(1,2),f? ?=- t +(t-1)<- t +1<0, 4 4 ?2?

f(0)=t-1>0,
所以 f(x)在?0, ?内存在零点. ? 2? 所以,对任意 t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点, 综上,对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.

?

t?

1.(2012·河南省洛阳市高三年级统一考试)函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意

x∈R,f(x)+f ′(x)>1,则不等式 ex·f(x)>ex+1 的解集为(
A.{x|x>0} B.{x|x<0}

)

C.{x|x<-1,或 x>1} [答案] A [解析]

D.{x|x<-1,或 0<x<1}

构造函数 g(x)=e ·f(x)-e ,因为 g′(x)=e ·f(x)+e ·f ′(x)-e =

x

x

x

x

x

ex[f(x)+f ′(x)]-ex>ex-ex=0,所以 g(x)=ex·f(x)-ex 为 R 上的增函数.又 g(0)= e0·f(0)-e0=1,所以原不等式转化为 g(x)>g(0),解得 x>0.
2.设曲线 y=x +1 上任一点(x,y)处的切线的斜率为 g(x),则函数 y=g(x)cosx 的部 分图象可以为( )
2

[答案] A [解析] g(x)=(x +1)′=2x, y=g(x)·cosx=2xcosx, ∴ 显然 y=2xcosx 为奇函数, 排除 B、D,且在原点右侧附近,函数值大于零.排除 C. 3.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f ′(x)的图 象可能为图中的( )
2

[答案] D [解析] 当 y=f(x)为增函数时, =f ′(x)>0, y=f(x)为减函数时, =f ′(x)<0, y 当 y 可判断 D 成立. 4.(2012·深圳第一次调研)已知函数 f(x)的导函数 f ′(x)=ax +bx+c 的图象如图 所示,则 f(x)的图象可能是( )
2

[答案] D [解析] 当 x<0 时,由导函数 f ′(x)=ax +bx+c<0,知相应的函数 f(x)在该区间上 单调递减;当 x>0 时,由导函数 f ′(x)=ax +bx+c 的图象可知,导数在区间(0,x1)内的 值是大于 0 的,则在此区间内函数 f(x)单调递增.只有 D 选项符合题意. 5.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ′(x)+f(x)≤0.对任意正 数 a、b,若 a<b,则必有( A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤f(b) ) B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a)
2 2

[答案] A [解析] ∵xf ′(x)+f(x)≤0,又 f(x)≥0, ∴xf ′(x)≤-f(x)≤0. 设 y= 故 y=

f? x? x·f ′? x? -f? x? ,则 y′= ≤0, x x2 f? x? 为减函数或为常数函数. x f? a? f? b? ≥ , a b

又 a<b,∴

∵a、b>0,∴a·f(b)≤b·f(a). [点评] 观察条件式 xf ′(x)+f(x)≤0 的特点,可见不等式左边是函数 y=xf(x)的 导函数, 故可构造函数 y=xf(x)或 y= 得结论,请再练习下题: 已知 a, 是实数, e<a<b, b 且 其中 e 是自然对数的底数, a 与 b 的大小关系是( 则 A.a >b B.a <b
b b b a b a

f? x? 通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推 x

)

a

C.a =b
b

a

D.a 与 b 的大小关系不确定 [答案] A lnx 1-lnx [解析] 令 f(x)= ,则 f ′(x)= .当 x>e 时,f ′(x)<0,∴f(x)在(e,+ 2

a

x

x

∞)上单调递减. ∵e<a<b,∴f(a)>f(b),即
b a

lna lnb > ,

a

b

∴blna>alnb,∴lna >lnb ,∴a >b . 1 3 2 6. (2011·安徽池州一中期末)已知函数 y=- x +bx -(2b+3)x+2-b 在 R 上不是单 3 调减函数,则 b 的取值范围是________. [答案] b<-1 或 b>3 [解析] y′=-x +2bx-(2b+3), 要使原函数在 R 上单调递减, 应有 y′≤0 恒成立, ∴Δ =4b -4(2b+3)=4(b -2b-3)≤0, ∴-1≤b≤3, 故使该函数在 R 上不是单调减 函数的 b 的取值范围是
2 2 2

b

a

b<-1 或 b>3.
7.已知 f(x)=lnx+x -bx. (1)若函数 f(x)在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围;
2

(2)当 b=-1 时,设 g(x)=f(x)-2x ,求证函数 g(x)只有一个零点. [解析] (1)∵f(x)在(0,+∞)上递增, 1 ∴f ′(x)= +2x-b≥0,对 x∈(0,+∞)恒成立,

2

x

1 即 b≤ +2x 对 x∈(0,+∞)恒成立,

x

?1 ? ∴只需 b≤? +2x?min, ?x ?
1 2 ∵x>0,∴ +2x≥2 2,当且仅当 x= 时取“=”, x 2 ∴b≤2 2,∴b 的取值范围为(-∞,2 2]. (2)当 b=-1 时,g(x)=f(x)-2x =lnx-x +x,其定义域是(0,+∞), 1 ∴g′(x)= -2x+1
2 2

x

2x -x-1 ? x-1? =- =-

2

? 2x+1?

x

x x-1? x

, =0,

? 2x+1? ? 令 g′(x)=0,即- ∵x>0,∴x=1,

当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, ∴函数 g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴当 x≠1 时,g(x)<g(1),而 g(1)=0,∴g(x)<0, ∴函数 g(x)只有一个零点.


相关文章:
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《3-2利用导数研究函数的性质》试题 新人教A版 2
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训3-2利用导数研究函数的性质》试题 新人教A版 2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。河南省洛阳市第二...
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《3-3导数的实际应用》试题 新人教A版 2
河南省洛阳市第二外国语学校 2013 届高考数学 闯关密练特训3-3 导数的...2 (t>0), 现研究函数 g(t)=t+ t的单调性, 2 2 -t·2 ln2 2 -...
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训3-1导数的概念及运算试题
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训3-1导数的概念及运算...1 又函数 f(x)在 x=1 处有极值 , 2 2 3 2 b x ?f ′? 1? =0...
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-1函数及其表示试题
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-1函数及其表示试题...设函数 f(x)=-x+3,g(x) =log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}...
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训11-3推理与证明试题
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训11-3推理与证明试题...故求 f2014(x)的值, 只需研究函数前 2 项和的变化规律即可, 于是,2014...
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-3函数的奇偶性与周期性试题
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-3函数的奇偶性与周期性试题_数学_高中教育_教育专区。2-3 函数的奇偶性与周期性 1.(2012·洛阳示...
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-4指数与指数函数试题
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-4指数与指数函数试题 隐藏>> 2-4 指数与指数函数 1.函数 f(x)=(a -1) 在 R 上是减函数,...
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-8函数与方程、函数模型及其应用试题
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-8函数与方程、函数模型及其应用试题 隐藏>> 函数与方程、函数模型及其应用 1 x 1.(2011·北京东城...
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《2-3函数的奇偶性与周期性》试题 新人教A版
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训2-3函数的奇偶性与周期性》试题 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。河南省洛阳市第二外国语学校 201...
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-6幂函数与函数的图象变换试题
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-6幂函数函数的图象变换试题_数学_高中教育_教育专区。2-6 幂函数函数的图象变换 1 1 1.(201...
更多相关标签:
河南省外国语中学 | 河南省思达外国语小学 | 河南省郑州外国语学校 | 河南省外国语学校 | 河南省实验外国语小学 | 绿知了小店店特训营 | 黑客入门新手特训 | 火影忍者纲手的特训 |