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【金版学案】2014-2015学年高中数学(必修五,苏教版)课时训练 3.4.1 基本不等式的证明


数学· 必修 5(苏教版)

3.4

基本不等式 ab≤ 3.4.1

a+ b (a≥0,b≥0) 2

基本不等式的证明

情景导入: 如下图所示,以线段 a+b 的长为直径作圆,在直径 AB 上取点 C,使 AC=a,CB=b,过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′,连

接 AD、DB,则 DC 能否用 a,b 表示,DD′与 AB 的关系如何?由此 你得到怎样的不等式?

? 基础巩固 一、选择题 a b 1. 如果 a、 b 为绝对值不相等的非零实数, 那么 + 的值是( b a )

A.大于 2 C.小于等于 2

B.小于-2 或大于 2 D.大于-2 或小于 2

解析:a、b 同号时大于 2,a、b 异号时小于-2. 答案:B

2.若 a>b>0,则下列不等式成立的是( a+b A.a>b> > ab 2 a+b B.a> > ab>b 2 a+b C.a> >b> ab 2 a+b D.a> ab> >b 2

)

a+b a-b = >0, ab-b= b( a- b)>0,再结 2 2 a+b 合基本不等式 > ab. 2 答案:B 解析:由 a-

3.给出下面四个推导过程: b a ba ①∵a,b∈R+,∴ + ≥2 · =2; a b ab ②∵x,y∈R+,∴lg x+lg y≥2 lg x· lg y; 4 4 ③∵a∈R,a≠0,∴ +a≥2 · a=4; a a ?? x? ? y?? x y ④∵x,y∈R,xy<0,∴ + =-??-y?+?-x??≤ y x ?? ? ? ?? ? x? ? y? ?- ?=-2. -2 ?-y?· ? ? ? x? 其中正确的推导为( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④

b a 解析:①由于 a,b∈R+,∴ , ∈R+,符合基本不等式的条件, a b 故①推导正确; ②虽然 x,y∈R+,但当 x∈(0,1)和 y∈(0,1)时,lg x 和 lg y 都是 负数,∴②的推导过程是错误的; ③由 a∈R,不符合基本不等式的条件, 4 4 ∴ +a≥2 · a=4 是错误的. a a x y x y ④由 xy<0,得 、 均为负数,但在推导过程中将整体 + 提出 y x y x ? x? ? y? 负号后,?-y?,?-x?均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正 ? ? ? ? 确. 答案:D 1 4 4.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是( a b 7 9 A. B.4 C. D.5 2 2

)

?1 4 ? 1 ?1 4? 1 ? b 4a? 1 1 4 1 解析: y= + = ×2?a+b? = (a+ b)?a+b? = ?5+a + b ? ≥ a b 2 ? ? 2 ? ? 2? ? 2 ? b 4a? 9 ?5+2 × ?= . a b? 2 ? 答案:C

5.下列结论正确的是(

) 1 ≥2 lg x

A.当 x>0 且 x≠1 时,lg x+ B.当 x>0 时, x+ 1 ≥2 x

1 C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2 x 1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值 x

1 <0,∴A 错误; lg x 1 x· 1 当 x>0 时, x+ ≥2 =2,∴B 正确; x x 1 5 当 x≥2 时,x+ 的最小值为 ,∴C 错误. x 2 1 当 0<x≤2 时,x- 是增函数,最大值在 x=2 时取得,∴D 错 x 误. 答案:B 解析:当 0<x<1 时,lg x+

二、填空题 6.某工厂第一年的产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的 a+b 增长率为 b,这两年的平均增长率为 x,则 x 与 的大小关系是 2 ________. 解析:因 A(1+x)2=A(1+a)(1+b)≤

? 1+a+1+b ? A? ? 2 ? ?
答案:x≤ a+b 2

2

? a+b ? =A ? 1+ ? 2 ? ?

2

,∴x≤

a+b . 2

?b a ? 7.给出下列不等式:①a2+1>2a;②a2+4≥4a;③?a+b?≥2;

2a b ④ 2 ≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________. a +b2

2 2

?

?

解析:当 a=1 时,①不成立;当 ab<0 时,④不成立. 答案:②③ 1 8. (2013· 天津卷)设 a+b=2, b>0, 则当 a=________时, + 2|a|

|a| 取得最小值. b 1 |a| a+b |a| a ? b |a|? a + = + = +?4|a|+ b ?≥ 2|a| b 4|a| b 4|a| ? ? 4|a| +1,显然当 a<0 且 b=2|a|时,上式等号成立,此时 b=-2a 与 a +b=2 联立即得 a=-2. 答案:-2 解析:∵a+b=2,∴

三、解答题 ad+bc bc+ad 9.已知 a>0,b>0,c>0,d>0,求证: + ≥4. bd ac

ad+bc bc+ad + bd ac a c b d = + + + b d a c ?a b? ? c d? =?b+a ?+?d+ c ?≥2+2=4, ? ? ? ? 当且仅当 a=b 且 c=d 时取“=”号, ad+bc bc+ad ∴ + ≥4. bd ac 解析:

10.设 x1,x2,?,xn 都是正整数,求证: x2 x2 x2 x2 n-1 1 2 n + +?+ + ≥x1+x2+?+xn. x2 x3 xn x1

解析:∵x1,x2,?,xn 都是正整数. x2 1 ∴由基本不等式得 +x2≥2x1, x2 x2 2 +x ≥2x2, x3 3 ? x2 n +x1≥2xn. x1 将以上 n 个式子相加命题即得证.

? 能力升级 一、选择题 1 1 11.设 a>b>0,则 a2+ + 的最小值是( ab a?a-b? A.1 B.2 C.3 D.4 )

解析: ∵a>b>0, a2+ ≥a2+
1

? b+a-b ? ? ? ? 2 ?

a-b+b 1 1 1 + =a2+ =a2+ ab a?a-b? ab?a-b? b?a-b? 4 2 = a + ≥4(当且仅当 a=2b= 2时取“=”), 故 2 a2

. 答案:D

12.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 28 A. B. C.5 D.6 5 5

)

?1 3? 1 3 1 解析: ∵x+3y=5xy, ∴ + =5, ∴3x+4y= (3x+4y)?y+x?= y x 5 ? ?

12y 3x? 1? 1? ?13+ + ?≥ ?13+2 x y ? 5? 5? 答案:C

12y 3x? 1 × ?= (13+12)=5. x y? 5

13.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中恒成立的是( A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 ab 1 1 2 C. + > a b ab b a D. + ≥2 a b

)

解析:令 a=b=1 可知 A,C 不成立; 令 a=b=-1 可知 B 不成立. 答案:D 二、填空题 14.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号). ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2; 1 1 ④a3+b3≥3;⑤ + ≥2. a b 解析:①项,∵a>0,b>0,2=a+b,a+b≥2 ab,∴ ab≤1, 即 ab≤1; a+b ? ②项,∵ -? 2 ∴

a+ b ? ? 2 ? ?

2

? a- b?2 = ≥0, 4

a+ b a+b ≤ , 2 2 ∴ a+ b≤ 2?a+b?,故 a+ b≤2; a2+b2 ? a+b ? ?a+b?2 2 2 ③项,∵ ≥? ? ,∴a +b ≥ 2 . 2 又∵a+b=2,∴a2+b2≥2; ④项,∵a3 + b3 = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 = 8 - 3ab(a + b) = 8 - 6ab≥8-6=2(由①ab≤1); 1 1 2 ⑤项, + ≥ ≥2. a b ab
2

? 2 ?

答案:①③⑤
? 1? 15.(2013· 云南玉溪检测题)若不等式|2a-1|≤?x+x?对一切非零 ? ?

实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

? 1? 1 解析:∵?x+x?=|x|+ ≥2,当且仅当 x=± 1 时取“=”号, |x| ? ? 1 ∴要使不等式恒成立,必须且只需|2a-1|≤2 即-2≤2a-1≤2? - 2 3 ≤a≤ . 2 ? 1 3? 答案:?-2,2? ? ?

三、解答题 16.(2013· 全国卷)设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (1)ab+bc+ca≤ . 3 2 2 2 a b c (2) + + ≥1. b c a 解析:(1)由 a+b+c=1? (a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1, 而 a2+b2+c2≥ab+bc+ca, 1 ∴3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 2 2 2 a b c a2 b2 (2)∵ +b≥2a, +c≥2c, +a≥2c, 三式相加得 +b+ + b c a b c 2 2 2 2 c a b c c+ +a≥2a+2b+2c,即 + + ≥(a+b+c)=1. a b c a


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