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2015-2016高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念课件 新人教A版选修1-2


3.1.1

数系的扩充和复数的相关概念

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1.了解引入复数的必要性,了解数系的 扩充过程. 2.理解复数的基本概念. 3.理解复数相等的充要条件. 4.了解“虚数不能比较大小”的确切含 义. 5.了解复数的代数表示法.

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题型一

复数的基本概念

例1

判断下列命题是否正确.
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(1)1-ai(a∈R)是一个复数. (2)若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.

(3)若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i.
(4)若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1.

分析:利用复数的概念进行判断. 解析:(1)满足 a+bi(a,b∈R)的数均为复数,所以此命题正确. (2)若 a=-1,则(a+1)i 不是纯虚数,所以此命题不正确. (3)两个虚数不能比较大小,所以此命题不正确. (4)x=-1 时,(x2-1)+(x2+3x+2)i 是实数 0,所以此命题不正 确. 点评:(1)两个复数不全是实数时,不能比较大小.(2)复数 a+ bi(a, b∈R)是纯虚数的充要条件是 a=0 且 b≠0, 两个条件缺一不可.
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?变式训练 1.有下列命题: ①若 a,b∈R,则 z=a+bi 为虚数;②若 b∈R,则 z=bi 必为 纯虚数;③若 a∈R,则 z=a 一定不是虚数;④两个虚数不能比较大 小. 其中,正确命题的序号是(D) A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 复数的分类 m2-m-6 m 取何实数时,复数 z= +(m2-2m-15)i, m+3 (1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数?
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解析:(1)z 为实数时,则有
2 ? ?m -2m-15=0, ? ?m= 5或m=-3, ? ?? ? ? ?m+ 3≠0 ?m≠-3.

∴m=5 时,z 为实数. (2)z 为虚数时,则有
2 ? ?m -2m-15≠0, ? ?m≠ 5且m≠-3, ? ?? ? ? ?m+ 3≠0 ?m≠-3.

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∴m≠5 且 m≠-3 时,z 为虚数. (3)z 为纯虚数时,则有
2 m ? -2m-15≠0,

? ?m+ 3≠0, ? ?m2- m-6=0

m≠ 5且m≠-3, ? ? ??m≠-3, ? ?m= 3或m=-2.

∴m=3 或 m=-2 时,z 为纯虚数.

点评:①研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数,首 先保证复数的实部和虚部有意义.本题分母不为零的条件容易忽 略.②纯虚数要求实部为零的条件也易考虑不周.③本题“或”和 “且”等逻辑用语的使用会模糊,应重点分析.
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?变式训练 a2-7a+6 2.实数 a 为何值时,复数 z= 2 +(a2-5a-6)i: a -1 (1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数?
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解析:(1)z 为实数时,则有
2 ? ?a -5a-6=0, ? ?a=-1或a=6, ? 2 ?? . ? ? ?a -1≠0 ?a≠±1.

∴a=6 时,z 为实数. (2)z 为虚数时,则有
? ?a -5a-6≠0, ? ?a≠-1且a≠6, ? 2 ?? ? ? ?a -1≠0 ?a≠±1.
2

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∴a≠6 且 a≠±1 时,z 为虚数. (3)z 为纯虚数时,则有
2 a ? -5a-6≠0,

?2 ?a -1≠0, ? ?a2-7a+6=0

a≠-1且a≠6, ? ? ??a≠±1, ? ?a=1或a=6.

则 a 不存在,∴z 不可能为纯虚数.

题型二
例2

复数相等的充要条件

已知 x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数 x,y 的值.

分析:可根据 a+bi=0?a=0 且 b=0 来解. 解析:由复数相等的概念,得方程组
2 2 ? ?x +y -6=0, ? ? ?x- y-2=0.

① ②

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由②得 x= y+2,代入①,得 y2+2y-1=0. 解得 y1=-1+ 2,y2=-1- 2. 所以 x1=1+ 2,x2=1- 2.
? ?x1=1+ 2, ? ?x2=1- 2, 即? 或? ? ?y1=-1+ 2 ? ?y2=-1- 2.

?变式训练 3.若实数 x,y 满足(1+i)x+(1-i)y=2,求 x,y 的值. 分析:因为 x, y∈R,先把复数(1+i)x+(1-i)y 化为代数形式, 利用复数相等,列出关于 x,y 的方程组求解. 解析:由(1+i)x+(1-i)y=2 得 (x+ y)+(x-y)i=2 由复数相等的充要条件,
? ? ?x+ y=2, ?x=1, 得? 解得? ? ? ?x- y=0, ?y= 1.
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∴x=1,y=1 为所求.

例 4 已知实数 a,x,y 满足 a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则 点(x,y)的轨迹方程是________. 解析:由复数相等的充要条件知,
? ?a +2a+2xy=0, ? 消去 a, ? ?a+x-y=0,
2

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得 x2+y2-2x+2y=0, 即(x-1)+(y+1)2=2. 答案:(x-1)2+(y+1)2=2

?变式训练 4.已知关于 x,y 的方程组
? ?(2x-1)+i=y-(3-y)i, ? 有实数解,求实数 a,b ? ?(2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i,

的值. 解析:由已知及复数相等的充要条件得
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? ?1=-(3-y), ② ?2x+ay=9, ③ ? ?-(4x-y+b)=-8.
2x-1= y,





5 ? ?x=2, 由①②解得? 代入③④得 ? ?y= 4, a=1,b=2.


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