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2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-天津卷


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答

饪ㄉ, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本 试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮 擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式: · 如果事件 A, B 互斥, 那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) · 棱柱的体积公式 V = Sh, 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱 柱的高. · 如果事件 A, B 相互独立, 那么 P( AB) ? P( A) P( B)

4 · 球的体积公式 V ? ? R 3 . 3
其中 R 表示球的半径.

1

一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, B= {x∈R| x≤1}, 则 A ? B ? (A) (??, 2] (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 【解析】因为 A ? {x ?2 ? x ? 2} ,所以 A

B ? {x ?2 ? x ? 1} ,选 D.

?3x ? y ? 6 ? 0, ? (2) 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? y ? 2 x 的最小值为 ? y ? 3 ? 0, ?

(A) -7 (C) 1 【答案】A

(B) -4 (D) 2

【 解 析 】 由 z ? y ? 2x 得 y ? 2x ? z 。 作 出 可 行 域 如 图

,平移直线

y ? 2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 D 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最小,此时 z
?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 5 最小,由 ? ,得 ? ,即 D (5,3) 代入 z ? y ? 2 x 得 z ? 3 ? 2 ? 5 ? ?7 ,选 A. ?y ? 3 ? 0 ?y ? 3

(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输 出 n 的值为

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(A) 7 (C) 5 【答案】D

(B) 6 (D) 4

【解析】第一次循环, S ? ?1, n ? 2 ;第二次循环, S ? ?1 ? (?1) 2 ? 2 ? 1, n ? 3 ;第三次循 环,S ? 1 ? (?1)3 ? 3 ? ?2, n ? 4 ; 第四次循环,S ? ?2 ? (?1) 4 ? 4 ? 2 , 满足条件输出 n ? 4 , 选 D. (4) 设 a, b ? R , 则 “ (a ? b)a 2 ? 0 ”是“ a ? b ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若 ( a ? b) a 2 ? 0 , 则a ?b ? 0, 即a ?b。 若 0 ? a ? b 时 ( a ? b) a 2 ? 0 , 所以 (a ? b)a 2 ? 0 是 a ? b 的充分而不必要条件,选 A. (5) 已知过点 P(2,2) 的直线与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 相切, 且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则 a ? (A) ? (C) 2 【答案】C 【解析】 设直线斜率为 k , 则直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) , 即 kx ? y ? 2 ? 2k ? 0 , 圆心 (1, 0)

1 2

(B) 1 (D)

1 2

到直线的距离

k ? 2 ? 2k k ?1
2

? 5 ,即

2?k k ?1
2

? 5 ,解得 k ? ?

1 。因为直线与直线 2

ax ? y ? 1 ? 0 垂直,所以 k ? ?

1 1 ? ? , 即 a ? 2 ,选 C. a 2

?? ? ? ?? (6) 函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是 4? ? ? 2?
(A) ?1
2 2 【答案】B

(B) ? (D) 0

2 2

(C)

? ? 3? ? ? ? ?? 【解析】当 x ? ?0, ? 时, 0 ? 2 x ? ? , ? ? 2 x ? ? ,所以当 2 x ? ? ? 时,函数 4 4 4 4 4 ? 2?
? 2 ?? ? f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 的最小值为 y ? sin( ? ) ? ? ,选 B. 4? ? 4 2
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(7) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 , 且在区间 [0, ??) 单调递增 . 若实数 a 满足
f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是
2

(A) [1, 2]
?1 ? (C) ? , 2 ? ?2 ? 【答案】C

? 1? (B) ? 0, ? ? 2?

(D) (0, 2]

【 解 析 】 因 为 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 log 1 a ? ? log2 a , 所 以
2

f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? f (log 2 a ) ? f (? log 2 a ) ? 2 f (log 2 a ) ? 2 f (1) ,即 f (log 2 a ) ? f (1) ,因为函
2

数在区间 [0, ??) 单调递增,所以 f ( log 2 a ) ? f (1) ,即 log 2 a ? 1 ,所以 ?1 ? log 2 a ? 1 ,解得

1 ?1 ? ? a ? 2 ,即 a 的取值范围是 ? , 2 ? ,选 C. 2 ?2 ?
(8) 设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则 (A) g (a) ? 0 ? f (b) (B) f (b) ? 0 ? g (a) (C) 0 ? g (a) ? f (b) (D) f (b) ? g (a) ? 0 【答案】A 【 解 析 】 由 f ( x) ? e x ? x ? 2 ? 0, g ( x ) ? ln x ? x 2 ? 3 ? 0 得 e x ? ? x ? 2,ln x ? ? x 2 ? 3 , 分 别 令

f1 ( x) ? e x , f 2 ( x) ? ? x ? 2 , g1 ( x) ? ln x, g 2 ( x) ? ? x 2 ? 3 。 在 坐 标 系 中 分 别 作 出 函 数 f1 ( x) ? e x , f 2 ( x) ? ? x ? 2 , g1 ( x) ? ln x, g 2 ( x) ? ? x 2 ? 3 的图象,由图象知 0 ? a ? 1,1 ? b ? 2 。
此时 g1 (a) ? g 2 (a ) ,所以 g (a) ? 0 又。 f1 (b) ? f 2 (b) ,所以 f (b) ? 0 ,即 g (a) ? 0 ? f (b) ,选 A.

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分. 二.填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i)(1-2i) = . 【答案】 5 ? 5i 【解析】(3 + i)(1-2i) ? 3 ? 2i ? i ? 6i ? 5 ? 5i 。
2

(10) 已 知 一 个 正 方 体 的 所 有 顶 点 在 一 个 球 面 上 . 若 球 的 体 积 为 为 .

9? , 则正方体的棱长 2

【答案】 3 【解析】 设正方体的棱长为 a , 则正方体的体对角线为直径, 即 3a ? 2r , 即球半径 r ? 若球的体积为

3 a。 2

9? 4 3 3 9? ,即 ? ( ,解得 a ? 3 。 a) ? 2 3 2 2 x2 y 2 (11) 已知抛物线 y 2 ? 8 x 的准线过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 , 且双曲线的离 a b 心率为 2, 则该双曲线的方程为 .
【答案】 x ?
2

y2 ?1 3

【解析】 抛物线的准线方程为 x ? ?2 , 因为双曲线的一个焦点在准线 x ? ?2 上, 所以 ?c ? ?2 , 即 c ? 2 ,且双曲线的焦点在 x 轴上。又双曲线的离心率为 2,即 e ? 所以 b ? c ? a ? 4 ? 1 ? 3 ,所以双曲线的方程为 x ?
2 2 2
2

c 2 ? ? 2 ,解得 a ? 1 , a a

y2 ? 1。 3

BE ? 1 , 则 AB 的长 (12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC·
为 .

【答案】

1 2

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1 1 【解析】 因为 E 为 CD 的中点, 所以 BE ? BC ? CE ? AD ? DC ? AD ? AB . AC ? AD ? AB 因 2 2
为 AC· BE ? 1 , 所 以 AC · BE ? ( AD ?
2 2 1 1 1 AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? AB ? AD ? 1 , 即 2 2 2

1?

2 2 1 1 1 1 1 AB ? AB cos 60 ? 1 ,所以 ? AB ? AB ? 0 ,解得 AB ? 。 2 2 2 4 2

(13) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB//DC, 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E. 若 AB

= AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 【答案】

.

【解析】连结 AC,则 ?EAB ? ?ACB ? ?ADB ? ?ABD ? ?DCA ,所以梯形 ABCD 为等腰梯 形 , 所 以 BC ? AD ? 5 , 所 以 AE ? BE ? CE ? 4 ? 9 ? 36 , 所 以 AE ? 6 , 所 以
2

15 2

cos EAB ?
2 2

AE 2 ? AB 2 BE 2 6 2 ? 5 2 ? 4 2 3 ? ? . 又 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 2 AD ? BD cos ADB , 2 AE ? AB 2? 6? 5 4
2

即 5 ? 5 ? BD ? 2 ? 5 ? BD ?

3 15 15 2 BD ? 0 , 解 得 BD ? , 整 理 得 BD ? 。 4 2 2

(14) 设 a + b = 2, b>0, 则 【答案】

1 |a| ? 的最小值为 2|a| b

.

3 4

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【解析】因为 a ? b ? 2 ,所以

1 |a| a?b |a| a b |a| a 。显然当 ? ? ? ? ? ? ?1? 2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b 4|a|

a ? 0 时,且 b ? 2 a 时,上式取等号,此时 b ? ?2a ,联立 a ? b ? 2 ,解得 a ? ?2 ,此时
1?

3 a 2 3 1 |a| ?1? ? 。所以当 a ? ?2 时, ? 的最小值为 。 4|a| 4?2 4 2|a| b 4

三.解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S≤4, 则该 产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 质量指标(x, y, z) 产品编号 质量指标(x, y, z) A1 (1,1,2) A6 (1,2,2) A2 (2,1,1) A7 (2,1,1) A3 (2,2,2) A8 (2,2,1) A4 (1,1,1) A9 (1,1,1) A5 (1,2,1) A10 (2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生 的概率. (16) (本小题满分 13 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B , a = 3, cos B ? (Ⅰ) 求 b 的值;

2 . 3

?? ? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?

(17) (本小题满分 13 分) 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1;
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(Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. (18) (本小题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截 2 a b 3

4 3 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若

得的线段长为

AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

(19) (本小题满分 14 分)
3 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 ?2S2 , S3 , 4S4 成等差数列. 2 (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; 1 13 (Ⅱ) 证明 Sn ? ? (n ? N *) . Sn 6

已知首项为

(20) (本小题满分 14 分)

? x3 ? (a ? 5) x, x ? 0, ? 设 a ? [?2, 0] , 已知函数 f ( x) ? ? 3 a ? 3 2 x ? ax, x ? 0. ?x ? ? 2
(Ⅰ) 证明 f ( x) 在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; ( Ⅱ ) 设 曲 线 y ? f ( x) 在 点 Pi ( xi , f ( xi ))(i ? 1, 2,3) 处 的 切 线 相 互 平 行 , 且 x1 x2 x3 ? 0, 证 明

1 x1 ? x2 ? x3 ? . 3

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