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山西省吕梁市2014-2015(数学)期末联考题


山西省吕梁市 2014-2015(数学)期末联考题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1. 设 集 合 X ? {0,1, 2, 4,5,7}, Y ? {1,3,6,8,9}, Z ? {3,7,8} , 那 么 集 合 ( X ( ) B. {3, 7,8} C. {1,3, 7,

8} ) D. 5 D. {1,3,6,7,8} A. {0,1, 2,6,8}
2

Y) Z 是

2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集 N ,映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 n ? n ,则在映射 f 下,像 20 的原像是( A. 2 B. 3 C. 4 ) B. y ? 3. 与函数 y ? x 有相同的图像的函数是( A. y ? C.

x2

x2 x

D. y ? log a a x (a ? 0且a ? 1) y ? a loga x (a ? 0且a ? 1) 4. 方程 lg x ? 3 ? x 的解所在区间为( ) A. (0,1) B. (1, 2) C. (2,3) D. (3, 4) 5. 设 f ( x ) 是 (??, ??) 上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (7.5) 等于 开始 A. 0.5 B. ?0.5 C. 1.5 D. ?1.5 6. 某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调 S=0 查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为 36 样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是 i=3 A、6,12,18 B、7,11,19 C、6,13,17 D、7,12,17 7. 某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后 的价格与原来价格比较,变化的情况是( ) A、 不增不减 B、 增加 9.5% C、 减少 9.5% D、 减少 7.84% 8. 在如图所示的算法流程图中,输出 S 的值为( ) S=S+i i=i+1 否

A、11 B、12 C、13 D、15 9.用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序, 则最先沉到 最右边的数是 A、最大数 B、最小数 C、既不最大也不最小 ax 10.当 a?0时,函数 y?a x?b和 y ? b 的图象只可能是( )

i>5 是 输出 S 结束

1

二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分,满分20分. 11. 幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2,

2 ) ,则 f ( x) 的解析式为_______________ 2

12.管理人员从一池塘中捞出 30 条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完 全混合于鱼群中。10 天后,再捕上 50 条,发现其中带标记的鱼有 2 条。根据以上 数据可以估计该池塘有___ _____条鱼。 13.从 1,2,3,4 这 4 个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是偶数的概率是 ________
14. 函数 y ? log 1 ( x 2 ?1) 的定义域是_____________ 2 三、解答题: 15. (12 分)计算: (1) 1.10 ? 3 216 ? 0.5?2 ? lg 25 ? 2 lg 2 ;
4

(2) log3

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7 log7 2 。 3

16. 某班有 50 名学生, 在学校组织的 人数 一次数学质量抽测中,如果按照抽测 成绩的分数段[60, 65 ) , [65, 70 ) , … [95,100 ) 进行分组,得到的分布情 况如图所示.求: Ⅰ、该班抽测成绩在[70,85 ) 之间的 人数;
60 65 70 75 80 85 90 95 100

20 15 10 5 成绩
2

Ⅱ、该班抽测成绩不低于 85 分的人数占全班总人数的百分比。 (12 分)

17. (14 分)已知函数 f ( x) ? loga (a x ?1) (a ? 0, a ? 1) . (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性.

18、袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个,从中任取 1 只,有放回地抽 取 3 次.求: Ⅰ、3 只全是红球的概率; Ⅱ、3 只颜色全相同的概率; Ⅲ、3 只颜色不全相同的概率. (14 分)

3

19、 (14 分)求二次函数 f ( x) ? x2 ? 2(2a ?1) x ? 5a2 ? 4a ? 2 在 [0,1] 上的最小值 g (a ) 的解 析式.

20. (14 分)已知函数 f ( x) ? log a (1)求实数 m 的值;

1 ? mx (a ? 0, a ? 1, m ? 1) 是奇函数. x ?1

(2)判断函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上的单调性,并给出证明; (3)当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 n 的值

4

山西省吕梁市 2014-2015(数学)期末联考题答案
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 共 10 小题,每小题 5 分,满分 5 0 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 A 7 D 8 B 9 A 10 A

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 共 4 小题,每小题 5 分,满分 2 0 分. 11.

f ( x) ? x

?

1 2

12.

750

13.

1 6

14.

(0, 2 ? 2]

三、解答题: 15. 本小题主要考查分段函数的图象,考查函数奇偶性的判断. 满分 12 分. 解: f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 1, ( x ? 0)
2 ? x ? 2 x ? 1, ( x ? 0)

……2 分

函数 f ( x ) 的图象如右图 函数 f ( x ) 的定义域为 R

……6 分 ……8 分

f ( x) ? x2 ? 2 | x | ?1
2 f (? x) ? (? x) ? 2 | ? x | ?1

? x 2 ? 2 | x | ?1 ? f ( x)
所以 f ( x ) 为偶函数. ……12 分

16.解:从分布图可以看出,抽测成绩各分数段的人数依次为: [60,65 ) 1 人; [80,85 ) 12 人; [65,70 ) 2 人; [85,90 ) 6 人; [70,75 ) 10 人; [90,95 ) 2 人; [75,80 ) 16 人; [95,100 ) 1 人.

因此,Ⅰ、该班抽测成绩在[70,85 ) 之间的人数为 38 人; Ⅱ、该班抽测成绩不低于 85 分的占总人数的 18%。
17. 本小题主要考查指数函数和对数函数的性质,考查函数的单调性. 满分 14 分. 解: (1)函数 f ( x ) 有意义,则 a ? 1 ? 0
x

……2 分
5

x 当 a ? 1 时,由 a ? 1 ? 0 解得 x ? 0 ;

当 0 ? a ? 1 时,由 a ? 1 ? 0 解得 x ? 0 .
x

所以当 a ? 1 时,函数的定义域为 (0, ??) ; 当 0 ? a ? 1 时,函数的定义域为 ( ??, 0) .

……4 分 ……6 分

x x (2)当 a ? 1 时,任取 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,则 a 1 ? a 2

a x1 ? 1 a x1 ? a x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (a ? 1) ? log a (a ? 1) ? log a x2 ? log a (1 ? x2 ) a ?1 a ?1
x1 x2

a x1 ? a x2 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (1 ?

a x1 ? a x2 ) ? log a 1 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) a x2 ? 1
……10 分

由函数单调性定义知:当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是单调递增的. 当 0 ? a ? 1 时,任取 x1 , x2 ? (??,0) ,且 x1 ? x2 ,则 a 1 ? a
x x2

a x1 ? 1 a x1 ? a x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (a ? 1) ? log a (a ? 1) ? log a x2 ? log a (1 ? x2 ) a ?1 a ?1
x1 x2

a x1 ? a x2 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (1 ?

a x1 ? a x2 ) ? log a 1 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) a x2 ? 1
……14 分

由函数单调性定义知:当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是单调递增的.

18. 解法一:由于是有放回地取球,因此袋中每只球每次被取到的概率均为

1 . 2

1 1 1 1 Ⅰ、3 只全是红球的概率为 P1= · · = . 2 2 2 8 1 1 Ⅱ、3 只颜色全相同的概率为 P2=2·P1=2· = . 8 4 1 3 Ⅲ、3 只颜色不全相同的概率为 P3=1-P2=1- = . 4 4 解 法 二 :利用树状图我们可以列出有放回地抽取 3 次球的所有可能结果:

6

?红-红 ?红-红 ?红-黄 ?红-黄 ? ? ,黄? 红? ?黄-红 ?黄-红 ? ? ?黄-黄 ?黄-黄 由此可以看出,抽取的所有可能结果为 8 种.所以 1 Ⅰ、3 只全是红球的概率为 P1= . 8 2 1 Ⅱ、3 只颜色全相同的概率为 P2= = . 8 4 1 3 Ⅲ、3 只颜色不全相同的概率为 P3=1-P2=1- = . 4 4
19. 本小题以二次函数在闭区间上的最值为载体, 主要考查分类讨论的思想和数形结合的思想. 满分 14 分. 解: f ( x) ? x2 ? 2(2a ?1) x ? 5a2 ? 4a ? 2 = [ x ? (2a ?1)]2 ? a 2 ? 1 所以二次函数的对称轴 x ? 2a ? 1 当 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? ……3 分

1 时, f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增, 2
……6 分

? g (a) ? f (0) ? 5a2 ? 4a ? 2
当 2 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x ) 在 [0,1] 上单调递减,

? g (a) ? f (1) ? 5a2 ? 8a ? 5
当 0 ? 2a ? 1 ? 1 ,即

……9 分 ……12 分

1 ? a ? 1 时, g (a) ? f (2a ?1) ? a2 ? 1 2

1 ? 2 ? 5a ? 4a ? 2, (a ? 2 ) ? 1 ? 2 ( ? a ? 1) 综上所述 g ( a ) ? ? a ? 1, 2 ? 2 ? 5a ? 4a ? 2, ( a ? 1) ? ?
20.解: (1)由已知条件得

……14 分

f (? x) ? f ( x) ? 0 对定义域中的 x 均成立.…………………………………………1 分

? log a

mx ? 1 1 ? mx ? log a ?0 ?x ?1 x ?1
7



mx ? 1 1 ? mx ? ?1 ?x ?1 x ?1

…………………………………………2 分

? m2 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1对定义域中的 x 均成立. ? m2 ? 1
即 m ? 1 (舍去)或 m ? ?1 . …………………………………………4 分

1? x x ?1 x ?1 x ?1? 2 2 ? ? 1? 设t ? , x ?1 x ?1 x ?1
(2)由(1)得 f ( x) ? log a

? 当 x1 ? x2 ? 1时, t1 ? t2 ? ? t1 ? t2 .

2( x2 ? x1 ) 2 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
…………………………………………6 分

当 a ? 1 时, loga t1 ? loga t2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .……………………………………7 分

? 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 上是减函数. …………………………………………8 分
同理当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数. …………………………………9 分 ( 3) 函数 f ( x ) 的定义域为 (1, ??) ? (??, ?1) ,

? ① n ? a ? 2 ? ?1 ,? 0 ? a ? 1 .

? f ( x) 在 (n, a ? 2) 为增函数,要使值域为 (1, ??) ,
1? n ? ?1 ?log a 则? n ? 1 (无解) ? ?a ? 2 ? ?1
②1 ? n ? a ? 2 ,

…………………………………………11 分

? a ? 3.

?n ? 1 ? ? f ( x) 在 (n, a ? 2) 为减函数,要使 f ( x) 的值域为 (1, ??) , 则 ? a ?1 log a ?1 ? a ?3 ?

? a ? 2? 3 , n ?1.

…………………………………………14 分

8


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