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4.必修二 第一章《空间几何体》导学案修订稿


第一章 空间几何体 §1.1 空间几何体的结构 §1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【学习目标】 1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义,掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系; 2.能够运用几何体的特征判断几何体的名称. 【学习重点】 通过大量空间实物及模型,概括出棱柱、棱锥、棱台的结构征. 【学习难点】 柱、锥、台的结构特征的概括. 【学习过程】 一、自主学习 (一)

阅读教材第 2~3 页,回答下列问题: 1.空间几何体: . 2.找一个多面体的实物,指出它的各个面、棱、顶点,想象它的对角线.

(二)阅读教材第 3~4 页,回答下列问题: 1.画出三棱锥、三棱台,四棱锥、四棱台,并指出几何体的侧面、底面、侧棱,并在图中画 出高.(注意标出几何体的顶点字母)

2.棱柱、棱锥、棱台如何分类?(提示:如按底面多边形的边数分类、按侧棱与底面是否垂 直分类等)

二、合作探究 例 1:请描述下列几何体的结构特征,并说出它的名称. (1)由 5 个面围成,其中一个面是四边形,其余各面是有一个公共点的三角形;

(2)由 7 个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其它面都是全等的矩形.

例 2:如图所示,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 .

D1

N M B1

(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?
A1 D A B

C1

C

(2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是 几棱柱,并用符号表示. 如果不是,说明理由.

三、达标检测 1.下列四个命题中,真命题是( ) A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 ; B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱的任意两个侧面一定不平行 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 2.下列几何体中,不属于多面体的是…………………… -( ) A.立方体 B.三棱柱 C.长方体 D.球 3.下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是………………………………( )

4.从某个角度看一个几何体,看到的是一个圆,那么这个几何体不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.棱柱 5.关于棱台,下列说法正确的是( ). A.两底面可以不相似 B.侧面都是全等的梯形 C.侧棱长一定相等 D.侧面一定是梯形 6.五棱锥是由多少个面围成的( ). A.5 个 B.7 个 C.6 个 D.11 个 7.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点 E、F、G,过此三点作长方体的截面,那么 截去的几何体是 . 四、学习小结 1. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 2.棱柱、棱锥、棱台如何表示? 3.学会看图,画图,识图,提高自己的空间想象能力.

§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
【学习目标】 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征; 2.理解柱、锥、台体的关系. 【学习重点】 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征和有关概念. 【学习难点】 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征. 【学习过程】 一、自主学习 (一)阅读教材第 3 页,回答下列问题: 旋转体: . (二)阅读教材第 5~6 页,回答下列问题: 1.圆柱、锥、台和球的定义以及结构特征,相关概念.

2.画出圆柱、锥、台,并画出轴、母线,指出圆柱、锥、台的轴、底面、侧面、母线.(注意 标出几何体的顶点字母)

3.球的截面的性质:用一个平面去截球,得到一个截面,截面是 ,把过球心的截面圆 叫 ,不过球心的截面圆叫 . (1)球心与截面圆心的连线 于截面。 (2)设球心到截面的距离为 d,截面圆的半径为 r,球的半径为 R,则: 4.关于地球的几个概念:地球可以近似的看作一个球体,为了描述地球上某 地的地理位置,我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念. 5.球面距离:假如我们要坐飞机从北京到巴西去,选择怎样的航线航程最短 呢?我们把球面上过两点的大圆,在这两点之间的劣弧的长叫球面上两点间 的球面距离。因此,飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行。 参照教材 P6 图 1.1-10 画出一个球, (1)在球上画出一个球大圆,一个球小圆; (2)在球上找 A、B 两点,画出 AB 的球面距离;

二、合作探究 例 1: Rt ?ABC 的三边长分别为 3、4、5,绕其中一边旋转成一个圆锥,下面的描述不正确 的是( ) A.是底面半径为 3 的圆锥 B.是底面半径为 4 的圆锥 C.是底面半径为 5 的圆锥 D.是母线长为 5 的圆锥 例 2:下列说法中正确的是( )

A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.在圆柱的上下底面上各取一点,这两点的连线是圆柱的母线. D.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 2 例 3.在半径为 25cm 的球内有一个截面,它的面积是 49cm ,求球心到这个截面的距离.

三、达标检测 1.有下列四种说法: ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体; ②以直角三角形的一直角边为旋转轴,旋转所得几何体是圆锥; ③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交; ④圆锥的底面是圆面,侧面是个曲面。 其中错误的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.下面几何体的截面一定是圆面的是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台

3.A,B 为球面上相异两点,则通过 A,B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有 ( ). A.一个 C.零个 B.无穷多个 D.一个或无穷多个

4.距离球心为 1 的截面的面积是 2? ,则球的半径是 。 5.一个圆锥的高为 2cm,母线与轴的夹角为 30? ,求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.

6.根据下面对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. 一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180°形成的封闭曲面所围成的图形.

7.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是 1:4,母线长是 10cm,求圆锥的 母线长.

四、学习小结 1.知识点总结:

2.学习方法指导:本节课要求会画旋转体,看图,知道各个旋转体里高、母线和底面半径 的关系,并且提高自己的空间想象能力

§1.1.3 简单组合体的结构特征
【学习目标】 1.运用柱体、锥体、台体、球的结构特征描述简单几何体的结构特征; 2.会判断简单几何体的构成. 【学习重点】 判断简单几何体的构成; 【学习难点】 判断简单几何体的构成. 【学习过程】 一、自主学习(看教材 P6 ? P7 ,然后思考完成) 1.简单几何体的分类: (1)分类方式一: 多面体包括: 、 、 ; 旋转体包括: 、 、 、 . (2)分类方式二: 柱体包括: 、 ; 锥体包括: 、 ; 台体包括: 、 . 球体. 2.指出下列图形是由哪些简单的几何体构成的

(1) (2) (3) (1) ; (2) ; (3) . 二、合作探究 例 1:如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、圆和三角形对接成的轴对称图形,若将它绕轴旋 转 180 后形成一个组合体,下列说法中不正确的是
0





A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B.该组合体还是一个轴对称图形 C.该组合体中球和圆锥只有一个公共点 D.该组合体中圆柱和圆台的有一个公共底面

例 2:你能说出图中所示的两个几何体是由哪些简单几何体组成而成的吗?

图1

图2

三、达标检测 1.正方体内有一个球,该球与正方体的六个面各有一个公共点,若球的半径为 R ,则正方体 的棱长为 ( ) A. R B. 2 R C. 3 R D. 2R

2.正方体是六面体,将两个相同的正方体的两个面粘合在一起,拼接成一个多面体,该多面 体是 ( ) A.六面体 B.八面体 C.十面体 D.十二面体 3.用平面截下列几何体,截面一定是圆面的是 ( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D.圆台 4.将装有水的长方体水槽的底面一边固定在桌面上, 将水槽倾斜一个小 角度,则倾斜后水形成的几何体的形状是 ( ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.棱柱和棱锥的组合体 5.图(1)是由哪个平面图形旋转得到的( )

(1) A B C D 6.观察常见的六面螺母,可以近似地看成它是由一个正六棱柱挖去一个 单组合体。

后组成的简

四、学习小结 1.简单组合体的机构特征.

2.简单几何体的分类.

§1.2 空间几何体的三视图和直观图 §1.2.1 空间几何体的三视图
【学习目标】 1.了解平行投影与中心投影的概念和简单性质; 2. 理解三视图的含义,能画出简单几何体的三视图,掌握画法规则; 3.能根据三视图,运用空间想象能力,识别并说出它所表示的空间图形. 【学习重点】 画出简单组合体的三视图. 【学习难点】 识别三视图所表示的空间几何体. 【学习过程】 一、自主学习(看教材 P11 ? P15 的内容,完成下列问题) 1.平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线 . 在平行投影中,投影线 投影面时,叫做正投影,否则叫做 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2.空间几何体的三视图是指 、 、 . 3.三视图的排列规则是, 放在正视图的下方,长度与正视图一样, 放在正 视图的左侧,高度与正视图一样,宽度与俯视图的宽度一样. 4.画出下列几何体的三视图. (1)正方体 (2)圆锥

5.下列两个三视图对应的几何体是什么?

主视图

侧视图

主视图

侧视图

俯视图

俯视图

(1) ; (2) 二、合作探究 例 1:螺栓是棱柱和圆柱的组合体如下图(1) ,画出它的三视图.



例2:下面三视图的实物图形的名称是



三、达标检测 1.右面的三视图所示的几何体是( A.六棱台 C.六棱柱 B.六棱锥 D.六边形
正视图 侧视图 俯视图

).

2.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视 图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为 ( ).
正(主)视图 侧(左)视图

A

B

C )

D

3.一个几何体的某一方向的视图是圆,则它不可能是( A.长方体 B.圆锥 C.圆柱 D.球体

4.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

5.下图为长方体木块堆成的几何体的三视图,堆成这个几何体的木块共有( A.1 块 B.2 块 C.3 块 D.4 块 四、学习小结 1.三视图的位置关系有什么要求? 2.三视图的大小关系有什么要求?

).

§1.2.2 空间几何体的直观图
【学习目标】 1.体会平面图形和空间图形的直观图的含义; 2.结合画直观图的实例,掌握直观图的斜二测画法及步骤; 3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图; 4.会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图. 【学习重点】 用斜二测画法画空间几何体的直观图. 【学习难点】 直观图中的数量关系的运算. 【学习过程】 一、自主学习(看教材 P16 ? P19 的内容,完成下列问题) 1.表示空间图形的_____________,叫做空间图形的直观图. 2.用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段,在直观图 中分别画成 中长度 于 x ? 轴、 y ? 轴或 z ? 轴的线段.平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图 ;平行于 y 轴的线段,长度变为原来的 .

3.斜二测画法是一种特殊的 投影画法. 二、合作探究 例 1:用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.

例 2:用斜二测画法画长 4cm 、宽 3cm 、高 2cm 的长方体的直观图.

三、达标检测 1.讨论:把一个圆水平放置,看起来象个什么图形?它的直观图如何画?

2.用斜二测画法画底面半径为 4cm 高为 3cm 的圆柱的直观图.

3.用斜二测画法画边长为 2 的正三角形直观图.

4.利用斜二测画法画直观图时: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形。 以上结论中,正确的是 . ).

5.右图是一个几何体的三视图,则此几何体的直观图是(

正视图

侧视图

A

B

C

D

俯视图

6.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的( A.



1 倍 2

B.

2 倍 4

C .2 倍

D. 2倍

四、学习小结 1.用斜二测画法画直观图的步骤有哪些?

2.用斜二测画法画直观图需注意些什么?

§1.3 空间几何体的表面积 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
【学习目标】 1.了解平面展开图的概念,会识别一些简单多面体的平面展开图; 2.了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式; 3.了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算公式; 4.会求一些简单几何体的表面积. 【学习重点】 多面体的平面展开图,求简单几何体的表面积. 【学习难点】 多面体的平面展开图. 【学习过程】 一、自主学习(看教材 P24 ? P25 的内容,然后思考下列问题) 1.什么是多面体的表面积? 2.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的侧面展开图是什么?如何计 算它们的表面积?

3.圆柱、圆锥、圆台的表面积 几 何 体 图形 表面积公式 底面积: = 圆 柱 侧面积: = 表面积: = 底面积: = 圆 锥 侧面积: = 表面积: = — — — — 元素意义

圆 台

上底面积: = 下底面积: = 侧面积: = 表面积: =





二、合作探究 例 1:已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S—ABC(图 6) ,求它的表面积.

例 2:一个正三棱台的两个底面的边长分别等于 8cm 和 18cm ,侧棱长等于 13cm ,求它的侧 面积.

例 3:已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 50? ,求圆锥的底面面积.

【小结】 注意圆锥的底面半径和侧面展开图的扇形的半径是不同的, 扇形的弧长等于圆锥底 面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长. 三、达标检测 1.正方体的全面积是 96cm ,则正方体的棱长是
2





A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm 2.若圆台的上、下底面半径分别是 1 和 3,它的侧面积是两底面面积和的 2 倍,则圆台的母 线长是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.圆锥的底面半径为 1,高为 3 ,则圆锥的表面积为 A. ? B. 2? C. 3? D. 4? ( )

4.螺帽(正六棱柱挖去一个圆柱)毛坯的底面六边形边长是 12mm,高是 10mm,内孔直径 是 10mm(如下图) ,求此螺帽的表面积.

四、学习小结 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积的求法.

§1.3.2 柱体、锥体、台体的体积
【学习目标】 1.了解柱、锥、台的体积公式(不要求记忆公式) ,能运用公式求解有关体积计算问题; 2.了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系,感受它们体积之间的关系; 3.培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力. 【学习重点】 柱、锥、台的体积计算公式及其应用. 【学习难点】 运用公式解决有关体积计算问题. 【学习过程】 一、自主学习(看教材 P25 ? P27 的内容,然后思考下列问题) 1.柱体、锥体、台体的体积: (1) V柱体 = (2) V锥体 = (3) V台体   = 注: 几何体高度的含义: (1)柱体的高是指两底面之间的距离,对于直棱柱来说,就是其侧棱的长,对于圆柱来说, 就是其母线的长. (2)锥体的高是指顶点到底面的距离,对于正棱锥和圆锥来说,是其顶点与底面中心的连 线. (3)台体的高,是指两底面之间的距离,对于正棱台和圆台来说,是其两底面中心的连线. 2.长方体的长、宽、高分别是 2、3、4,则其体积是 . 3.圆锥的底面半径是 2,母线长是 3,则圆锥的体积是 . 4.正四棱锥 P ? ABCD 的底面边长是 2,侧棱长是 3,则这个棱锥的体积是 . 二、合作探究 例 1:长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的相邻的三个面的对角线长分别为 4、5、6,求长方体的体 积.

例2:已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出 的尺寸(单位: cm ) ,求这个几何体的体积.

三、达标检测 1.棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体(正四面 的表面积为——————————体积为—————————

体)

2.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 ? (



A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1 3.矩形两邻边的长为 a、b,当它分别绕边 a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为 ( )
b a C. ( )3 D . ( )3 a b 4.如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长

A.

b a

B.

a b

为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是



主视图

左视图

俯视图

5.圆柱内有一个四棱柱,四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形.已知圆柱表面积为 6?,且 底面圆直径与母线长相等,求四棱柱的体积.

6.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,求这个几何体的表面 积和体积。

10 20 10 20 正视图 20 侧视图 20 俯视图

四、学习小结 柱体、锥体、台体的体积公式

§1.3.3 球的表面积和体积
【学习目标】 1.了解球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) ; 2.能运用球的表面积和体积公式进行计算; 3.能解决与球有关的简单的实际问题. 【学习重点】 球的表面积和体积公式的应用. 【学习难点】 球与多面体的关系(内切、外接等) . 【学习过程】 一、自主学习(看教材 P27 ? P28 的内容,然后思考下列问题) 1.球的体积:

V球 =
2.球的表面积:

S 球 =
3.将一个气球的半径扩大 1 倍,它的体积扩大到原来的 4.一个球的体积是 8 6? ,则它的表面积是 二、合作探究 例 1:在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49? cm 和 400? cm ,求
2 2

倍.



球的表面积.
O1 O2 O A B

例 2: 等体积的球和正方体,试比较它们的表面积的大小.

例 3:一个正方体的 8 个顶点都在一个球面上,它的棱长为 2,则球的表面积是 积是

,体

三、达标检测 1.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8 : 27 B. 2: 3 C. 4:9 D. 2: 9 2.正方体的内切球和外接球的半径之比为 . 3.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是 . 4.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 ___ __ 倍. 5.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为 . 6.球的表面积扩大为原来的 4 倍,则它的体积扩大为原来的___________倍. 7.两个球体积之和为 12π,且这两个球大圆周长之和为 6π,那么这两球半径之差是多少?

8.直径为 10cm 的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为 2cm 的小球,如果不计损耗,可 铸成这样的小球多少个?

9.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱,它们的表面积相等,试比较它们的体积 V
正方体

,V 球,V 圆柱的大小.

四、学习小结 1.球的体积公式:

2.球的表面积公式:

本章小结与检测
一、知识网络

棱柱 柱 圆柱 棱锥 结构 锥 圆锥 球 空 间 几 何 体 平行投影 三视图 三视图和直观图 直观图 中心投影 表面积计算公式 表面积和体积 柱、锥、台、球 体积计算公式
二、达标检测 (一)选择题 1.右面的三视图所示的几何体是( ). A.六棱台 B.六棱锥 正视图 侧视图 C.六棱柱 D.六边形 2.已知两个球的表面积之比为 1∶9,则这两个球的半径之比为( A.1∶3 B.1∶ 3 C.1∶9 D.1∶81

棱台 台 圆台 正投影 斜投影

俯视图

).

3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的 正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该 几何体的俯视图为( ).

正(主)视图

侧(左)视图

A B C D 4.A,B 为球面上相异两点,则通过 A,B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有 ( ). A.一个 B.无穷多个 C.零个 D.一个或无穷多个 5.右图是一个几何体的三视图,则此几何体的直观图是( )
正 视 图 俯视图 D A B C A A A 6.下图为长方体木块堆成的几何体的三视图,堆成这个几何体的木块共有 ( 侧 视 图

).

A.1 块 B.2 块 C.3 块 D.4 块 7.关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( ). A.在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同 B.平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 C.平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 D.斜二测坐标系取的角可能是 135° 8.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ). A.①② B.①③ C.①④ D.②④ ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 (二)填空题 3 3 9.一圆球形气球, 体积是 8 cm , 再打入一些空气后, 气球仍然保持为球形, 体积是 27 cm . 则 气球半径增加的百分率为 . 10. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面, 且侧棱长为 5, 它的体对角线的长分别是 9 和 15, 则这个棱柱的侧面积是 . (三)解答题 11.下图是一个几何体的三视图(单位:cm) (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); A A' A (2)求这个几何体的表面积及体积.
1 B C 1 1 A B 俯视图 A' B' B' 3 正视图 C' C 侧视图 B

12.如图,一个圆锥形容器的高为 a,内装有一定量的水.如果将容器倒置,这时水所形成 的圆锥的高恰为
a ,求原来水面的高度. 2


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