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2001年全国高中数学联合竞赛


200 1 年第 6 期

2001 年 全
一, 选择题 (满分 36 分 , 小题 6 分 ) 每

国 高 中数 学 联 合 竞 赛

D i
1 已 a 为给定的实数.那么, 知 集合
M 二{x W 一 3二一a2 十 二0 , a 2 二令R I 的子集 的个 数为( ). (A

) 1 (B )2 ( C)4 (D ) 不确 定 2 .命题 1 长方体中 , 必存在到各顶 点距离相等 的点 : 命题 2 长方体中 , 必存在到各棱距离相等的点 ; 命题 3 长方体中 , 在A 各面距离相等的点 必存 以上三个 命题中, 正确 的有( ) (A )0 个 沁 ) 1 个 ( C 2 个 ( D )3 个



11 函数 ,之二 . 丫 双万 泛 的值 域 为 蕊 丁平
12 在 一 正六边 形 的六 个 个 区域 栽种观赏植物 如图 1, 要求 同一块 中种 同一种植物 , 相 邻的两块 种不同 的植物 . 现 有 4 种不 同的植物 可供选择 , 则 有_ 种栽 种方案 三, 答题 (满 分 60 分, 解 每小题 20 分) 13 . 设l a }为等差数 列 , }为 等比数列 , b, {b 且

\} \ /,Ll \7 A

3.在Q 9个函数 Y二歇 二 Y 二 s }.: I, y 二 .一 {, co ,' , 二 ,

. b2二码, . , a 2) , !二 (b, + b2-F {, b3 ((.< 又 十 ) 二 曰 .试求{.J的首项与公差 b 涯

O C } I Isinx 电 以二为周期在 (.晋 ) g ,
).

单调递增的偶函数是(

1 设 线 C, :共 卜 1(a 为 常数 4 曲 少一 正 )与C
a

(A)y二 in {二 . 1

(B)y二 I二 二 1

M Y 0 Icot 二! (D )y 二lgIs in x I 4 如果 满 足L A BC 二600, AC 二12, 1 = k 的 3C /\ A BC,哈有一个, 么 ,k 的取值范围是( 那 )

= 2( 二+ }n ) 在 二轴上方 仅有 一 个公共 点P . ( 1) 求实数 . 的取值范围( 用 a 表示) ; (2 ) O 为原点 , C , 7 二轴 的负半轴 交于点A , 若

(A)k二 8力
( C) k姿12

(B)0< k毛1 2
( D)0 < k 百 12 或 k = 8招

当.
表示)

G 合时 试求△ OP的面积的最,值(用 . a< A
巧.用电阻值分别为

5 若(l a 二 二 o 十 z),o u的展开式为 1o十 l 工 a 之z 」 + a ?. zam, a 十 zz 一 £ zn j工 u,}' 以 则a p 卜 a , + ag十 a , 9, a3+ 一+ 9 的值为( (A)3" (B)3(C)3v (D)3'- "

).

6. 已知 6 枝玫瑰 与 3 枝康乃馨 的价格之和大 于 24 元 , 4 枝玫瑰与 5 枝 康乃馨的价格之 和小于 22 而 元 则 2 枝玫瑰 的价格 和 3 枝康 乃馨 的价格 比较 结果 是( ). 〔 2 枝玫瑰 价格高 A) ( B)3 枝康乃馨价格高 ( C) 价格相同 ( D)不确定 二, 填空题( 满分 54 分 , 每小题 9 分)

a a 2, a, a a - a 6( a, J a, > a , > 11, > a 5 ) 1b )的电阻 组装成一 个如 图 2 的组 件 在组装 中应 如何 选取 电阻, 才能 使该组 件总 电阻值 最小? 证明 你的结论





7椭圆P二厂 1s0 2-co 的短轴长等于—
8.若复数z 满足I二一 2, }z2一 3,3z =

一 ,50 分 ) 如 图 3 ,L ABC 中 , 为外心 三条 ( 0 高 A D ,BE ,CF 交 于点 H , 直线 E 口和AB 交 于点 M , F D 和AC 交于点 N 求证 : ( 1 ) OB 土 DF , a 一 土
口 E;



2 一号 一,}/ , 一 z, JJ "z2 — F I
线 A, C 与BD, 的距离是_

.

9 正方体 ABCD 一A }B, C, D : 的棱 长为 ] 则直

( 2) O H 土入 邸 心 二 ,50 分 ) 设 二) oc ( = 1 ,2 ,--- ,n ) ,且

1. 不 式郧+卜号 解 为 身 上 拜xz 0 等 一 2 的集 : i:致 k, "1,} 21 J Z

图 3

26

中等 数学



冲 三
的最大值与最小值 .
C

( 50 分 ) 将 边 长 为 正 A "之 整数 ) , n 的矩 形划分成若 干 图月 " 边长均 为正 整数 的正方形 , 每 个正方 形 的边 均 平行 于矩 形 的相应边 试求这些 正方形边长之和的最小值

l口

所以, 一 一告 , 一 一工 .



大 势

2 3 ( 1b) z ; 2 >告(11 4一, 2)一 x2 2x2 .

Zx > 3 y 也 可用 二元一次不等式所表示的区域来研究

二,

参 考 答 案
一 ,. (C) 1

7.2f 3
( )_n一 告

p( 0) 二.卜 ' 二 一 , ,
故 "二

由 方程 二 一3二 一 + 2 二.的根的判别式 z 少
N i - 1+ 4. z> 0 , 方程 有两个 不 相等 的 实数根 则 知 ,w 有 2 个元 素, 得集合 M 有 22 二4 个 子集. 2 . ( B) . 只有命题 1对 . 3. ( D) .

动 从而, 二 一 2b

哥,一 . ' 告一 一

3

3

少 =sin 一 川不是周期函 y - . 一1 二 二以 数 二 =

8 一 瞿I 铝十 F / 一 z一 zz "z i "zl 一万 z , "z , "zz 1 2z 告 13
_ 1 _

2, .,一} 艾.在(.号 )上单调递减 只有 , 为周期 . ,
1 gIsin 二 {满足全部条件
4. ( D) . 根据题 设 , ABC 共有两类 , ,}, 如图 5
C


可得

z,' }z (2z z - 3z ,) ,
6 (3 z 一2z z) _ 6( 3z ; 一2Z2 ) 2z 2 一3 z , 2z 2 一 z, 3



2 1 一之2

. 创


本题也可设三角形式进行运算

1 13 3 十7 '' 3 0 2.

B 1A k2 6 , 0
,



~





}





, 惑
如图 6 , 正 方体 作 的 截 面 BB , D ,D , 则 A , C, 土 面 BB , D, D . 设 A , C, 与 B }D : 交于

厂, 丈

图5



易得 k二 8招或. k毛12. <
本题也可用特殊值法 , 排除 (A ) , (B) , ( C) 5 .( C) . 令 二= 1 , 可得 3' 0 = a a 十a , 十a 2 十1, + " 十a20W; 00 ' 令 二二., 可得

点 O, 在面 BB, D,D
内作 OH 土 BD , , 为 H 垂足 , 门H 为 A , C 则 , L,品 , . . .. 拓 上间n} j一十 ,N 如 "下 G

厄 眺

0=a0+a,w+a2w a3w 卜 +azn0w 0 2十 3 0 200
(其 中 ,

与B 的 D, 公垂线 显 . 然,"等于 Rt L BB, D 斜边

告十 , . 督 贝 .

2'. 3

1 且 . + .+ 1 二0 ) 2

令 二二扩 , 可得

10.(0,1) U(1,23 )U(4,c 1 十 o

0= a 0十 a}wz + a 2 + a 3w6+ w'
以上三式相加 , 得

+ azu ow 6

一1 +卜 等于 g o Tx 2 号 价

3' 00= 3(a o+ a. . a9+ 十 }9a) 0 十 6+ a 9 所以, a3+ a 6十 . …十 }. . - 399 a0+ "+ a 9
6 . (A ) .

设玫瑰与 康乃馨的 单价分别为二y 元 傀 , 支
6x + 3y > 24 ,4z 十5y < 22

g 2 枷 01 一 3 > gz 哥 即 11 >一 1 <一 0 _ 9 2 1 孚
有 鸭x<一 ! , 或 号 o, 2或 x>.一<l g 二 二 <.
故 为z> 4或. x < 1或1<二 , 解 < <2,

令 6z + 3y = 1> 24,4二十 5y= b< 22.

解 一丧 a一 一 (3 一 得 (5 3 合 .2 b),, a).

即 集 (0,1 U(1,2" )U(4, +二 解为 ) )

2 00 1 年第 6 期

1上〔, ).,, :哥 十
Y二 十 万 1不2 二 丫 〔万 今 了扩- 3二 2--y - x , 十两边平方得(2y - 3)二一y
_ 2

二2 f

一2

0

从 , :xy 而,号 之z 2 v

一2

由 一 ,y 2 0 , 一y-3 2 }

① aZ, 问题 ( 1) 转 化为方程①在 二 ( 一a " 上有惟 一 E ) 解或等根 只须讨论 以下三种情 况:

消去 } , 得 `Y} 二2( 二t o ) r ' + 2, 2 : + 2, ' m 一a } = 0

设f (x ) 二 ' + 2, , 十 ' . 二 二 2,

_y2 y+>( a-3 2 ) v-3
} I<yG , 2 号或 > 任取 , 2 , 二二 ) 令
2 . 一3 y

△二0 得 m 二a z 干1 此时 x . 一a ` 当且仅 二

当一 < 一 a ,即0< a < 1时适 a 犷< 合;
2' j ( a ) f ( 一u ) < 0 当且仅 当一a < m < a ; , 易知 二 2 )

3" f ( 一 ) 二 得 m 二a 此时 为 二 一 , a . u 2a' 当 且仅当一 < a 一 a 2少< .即0< a < 1时适 , 合

于 二一 十 0 且y 一 十 丁 妥 乏 是, 3, 2) , 二 丫 兀万 丁

f (a) 二 得阴二 "此 . 一 时zy二 . 2, " 于 一一 由
一 一2扩 < 一a , a 从而 m7} 一 . 综 上可知,

任 1 y 号, 令 一 ,知 }l 取- < 同 二貂 易 x < 样
于 x}- 3二 2异 且Y一 , 王 亏了乏 是, 十 . 二 护E 妥 二
因 所求函数的值域为〔, 此, ,寻

)U ). [2,+-

当. . , , 二 时 架 或一
当 a 妻1 时, < rn < a . 一a

<< ?

<m a; G

考虑 A , C ,E 种同一种植物 此时共有 4 X3 x 3 X3 = 108 种方法 . 考虑 A , C ,E 种二种植物 , 此时共有 3 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 = 4 32 种方法 . 考虑 A ,C ,E 种三种植物 , 此时共有

(2)0 , 的面积: 一告, . 因. " 合 , < < 故当一 <\ ,.日, 寸
. 一 .了 , +1二 丽< a < 扩十 厄
由惟 一性得

代x2 x2 x2 = 1 种方法. 92
故总计有 108 + 432 + 192 - 732 种 方法 三, .设所求公差 为 d 13 丫ai < ai , . . d > 0

二 = 一 2十 a +1 - 2m . . .了'
显然 , m 二a 时 助, 当 取值最小 由于 z p 1 0 , 从而 Y 'r

由 此得 a i (a }十 )2二 + 己 2比 (a )4 化简得 2心 +4a, d 十 二 少 . 解得 d = ( 一 士 )a , 2 r 2 而一 1万< 0, , < 0. 2 故a
若 d = ( 一 一 ) a. , 2 涯 则
2

- 1 取最 , -- 值"此 时

,二 2

石乏故 S 二 了a 一犷 "

当 一
, 一

/ a}+1 z, a} ,=, 1-a , 2 时, 一 ,Y 此时


_

a2
a 1

4 一几

侧厄十1

Za 丫2 . 下面比较a

2a

的大小 , 一 告 得

若 d 二( 一 }- )a, , 2十 2 则

令 .了 二 厄 蕊石 一

Zap

二 一 虎 1)2
但 . 呱

(b, +bz十… 十b,) 一扼 十1存 在 , }.{ 故
1一 一1)2 版 - a; = (M 2)内 + 1) = 2
=扼 + 1

< 1. 于是 0= U-2 + 1)' 不可能.
从而 ,

所以, a, - - 在 , _ d =(一十 2 .F2)a, = ( 一 十 )(一 ) z 涯 花

< . a( 互 而} 合.丫 二 , 1 玉乏 此时, } 合a s 当 < <告 , 告 时 有 a + >合 V--ll ( .-1
故当. . ,合时, 有 此时, s 二a 燕一 一 兀

, 一




加 一 ,I ) ( 试 八, , F 四 点 共 圆 , (一口,
1 C 讥 / B D1, 二/

中 等 数 学

15 设 6 个 电 阻的 组 件 ( 如 图 7 ) 的 总 电阻 为

R,, . 当R 二 i 二 a 3,4,5, 6, R, ,R2是 a ,: 的任 "
意排列 时, R,. 最小.

又 ,. 一 一 . ,. 二 一 二
二90. 一L 13AC 图7

.

{(1 8

证明如下 : I 设当两个电阻 R R.并联时 , 所得组件 阻值 故交换 二 电阻的 位置 , 改 不 变小时 , 也减小 , R 因此不妨

: .O f3上F . )F 同理 , 土DF;. (A ( 2) : CF 三八A , 工 .M C 一M Hz 二A CZ一 H A
月 L NA , E

为"则 R R 公一 ,+ z
变 R 值, 且当尺 Rz 1或
取 R , > R, . 2 设 3 个电阻的 组件 ( 如图 8) 的总 电阻 为 R .有
尺八 . R,R2 R ,十R z

. NB" H 二八 一八 一N B' 月"
: Df , B C , 土



: . BD ' 一CDz = BA z 一AC .
丫 口B 土 DF ,



1召 NZ一BD z 二ON z 一OD z
丫 O C 土 DF ,

o w 一Dz=O C Mz一 z. OD
① 一② + ③ 1 ④ 一⑤ , 得



_ R ,R z + R , R3 + R 2R 3
R , 十 R,

NW 一H z 二 Nz 一 MZ, 」 . .
M Oz 一IM 22二NO z 一N Hz 所以 , 土NU . 门H N 二, 先求最小值

显然,R, R2越大, 越小 所以, 使 代 最 千 R为 .
小, 必须取 R , 为所取三个电阻中阻值最小的一个 . 3 设 4 个电 阻 的M 件 ( 如 图 9 ) 的 总 电阻 为 x.有 R

(乡 ) 一全 二十 Z :2
I( k < ,,

,, 二
a

x} 一 1 R t R , a+i
尺 R ; 干尺 R , 干尺 R + R zRa + R 2R 之干尺I R 3 干R, z 尺, R 2R , 十尺IR , R , a R , R , R , -

艺二 1, ,
等号成立 当 且仅当 存在 1使得二= 1,z, = 0,1#

若 S, = 艺 R S3 id ,R
则 S , ,: 为定值 5 于是 , _ S3 一R ,R xR3 Rm
S ; 一R , R ,

1 < r( 去 4 毛2 万

兄 R ,R,R

.刃二的 小 为 最 值 1
再 求最大值 令. k- r y, 有 k

又k 2 刃 k 一 yk十 y,二 上
1 < k < , 轰,



只有当R3R, 最小 R, R R; 最大时, R.最小, 故应取R4< R R3< R3,R3< R, , 得总电 即 阻的阻
值最小. 4 对于 图 7 , 由 R 把 R3 , R 组成 的组件用 等

设 男zk M一 >k

! Y, 十Ys + 1 v2十 洲 1
走 二 ,

刃佩 曰

十v,二Q1, + 从 = a 2,

效电阻R,,g代替 要使 R, 最小, 必需使 R6< 由3 R3; 且由1, , RQ 最小. 由2 知要使 凡 应使 *最小, 必
需使 R, < R , 且应使 R. 最小. .

3从 一 a ,

则①t a ; + a1十 试 e …
令a 上 .则 二0

而由 30, Rt , 最小, R4< R3< R; 且 要使 e 应使
R < 尺3< R , . 这就说明 , 要证结 论成立

M= 皿 在(a. a ) 一k G r k" 一 k J 乙J a

200 1 年第 6 期

一 买

i a t}u 一万 几 丁', 1
川 雀艺 . 解

艺W - k二 k 1)a,,
由柯 西不 等式相

假 设 当 .岌 论成立 (k 姿1) 当 工时, 2 - k + I , 若 则命 题

显 然成 屯 若 < k 十 从 1,
矩 形 IWCL, 切去正方形 中

M' 〔Z;W 一 k 分
一 Z (F 〔 k
等号成立月

(

八 , D,D ( 如图 10), 山归 八
纳 似 设, 形 A , BCD ,有 矩





m A .

B

图 io

f k- 1 告 川
(F 一 飞 1) k 了 a几 (几

一分 使 所 正 形 氏 和 为 夕 种 法 得 得 方 边 之恰
一 斗.一 , 一 , ) 二. 一( 11 ., ) ( 于是, 原矩形 ABCL, 有一 种分法 使得所 得正 方 形边 长之和 为. 十 一( , ) (2 ) 对 ,归纳 可以证 明( X ) 成立. 当 m 二I 时 , 由于 , 二1,显然 f (m ,n ) = 1二 I n 一( } , n ) n 假 设当 刀落k 时 , 对任 意 I 簇 n毛m , 有 了( m , ) 泣.十 一( " , n ) 若 m = k } 1, .二h 十1 时 , 当 显然 f ( 二, 二k + I = - + n 一〔 ,) ., ) . 当 1钱 .毛 h 时 , 设矩 形 A BCJ,按要 求分 成 了

} ia,

了几 蕊 飞)z 武 + az + 十a ; I 十 一 ), t + (了 丫 内 万 + 石一 万巧 )"
_ a 去

(} k 一 飞 )2 丫 万下
咤 走 功a

八 一,1 k - 1

( k = 1 ,2 ,

)




(k 一 )2 . 币 ]4

V个正方形, 其边长分别为.,2, . . …,,不妨设 .
) aZ异…异妈 显然, : 二: 或 u }G n . a 若a ' , < 则在 A D 与BC 之间 的与 v 〕 平行 的 任一 直线 至少 穿过二 个分成 的正 方形 ( 或其边 界) ,

由于 a 妻a2妻一) a , , 从而,
= ak 一a,一 1

_ 2在 一 荡 十 飞--飞 _ (了 不1 了 )\
一几二 二一二一一二二 二一几丁 i v

; 艺 (,/k 一 k 一)' 」 .J 1 2

而) 比

所 求最大值为〔 全
八 n , n ) 二 m 十n

(,"k一,/-k 1 护 )2
(m , n).

于是a , a, + r" 不小于AB 与CD 之和. 十 故. a: 十二 .妻Zm> ; 十 一 ,) 1十 + , . (1i 二 若u 二1, 1 则一个边长分别为 二一.和,的矩 形可 按题目要求分成边长分别为a 2, ,, . 的正方
形 由归纳假设 a , + ' a 务1z 一n 十n 一(, 一n , r , 耐 二. 一( ,, ) 2 ,

三, 记所求最小值为 f ( m , n) , 以证明 可 其中( m ,n ) 表示 , 和 .的 最 大 公 约 数 事实上 , 不妨设 .i n ( 1) 对 m 归纳 叮证 明存在 一种 合乎题 意 的分 法, 使所得正方形边长之和恰为 m + n 一( > , 耐 n 当 ,= I 时, 题显然成立 命

从而,, .+ : 十:

1 ") ?, 一 , n) 一, 十二 (,,

J 是, 1 二k 曰 时 , 当 1 f ( n , ) ) .十,一( , ) , : 力

再由( 1 )可知,(m, n) 二 f (,+ 1 ) 一 n) 1 (., (俞 乔 供稿 )

{



--- 一

_二 兰皇全 乍 巴兰重型"' i

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