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2014-2015学年安徽省合肥168中、合肥六中高一(下)期末数学试卷(Word版含解析)


2014-2015 学年安徽省合肥 168 中、合肥六中高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. n 1. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)若数列{an}的通项公式是 an=2×(﹣3) ,则该数列是 ( ) A. 公比为﹣3 的等比数列 B. 公比为

2 的等比数列 C. 公比为 3 的等比数列 D. 首项为 2 的等比数列 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据通项公式结合等比数列的定义进行判断即可. 解答: 解:当 n≥2 时, 为常数,

则数列{an}是公比为﹣3 的等比数列, 故选:A. 点评: 本题主要考查等比数列的判断,根据等比数列的定义是解决本题的关键. 2. (5 分) (2015?天门模拟)甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5 位评委评分情况 如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为 、 ,则下列判断正确的是( )

A. C.

< >

,甲比乙成绩稳定 B. ,甲比乙成绩稳定 D.

< >

,乙比甲成绩稳定 ,乙比甲成绩稳定

考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 根据茎叶图的数据,利用平均值和数值分布情况进行判断即可. 解答: 解:由茎叶图知,甲的得分情况为 17,16,28,30,34; 乙的得分情况为 15,28,26,28,33, 因此可知甲的平均分为 乙的平均分为 故可知 < ,排除 C、D, =86, ,

同时根据茎叶图数据的分布情况可知,乙的数据主要集中在 86 左右,甲的数据比较分散,
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乙比甲更为集中,故乙比甲成绩稳定,选 B. 故选 B. 点评: 本题主要考查茎叶图的应用,以及平均数的求法要求熟练掌握相应的概念和公式, 考查学生的计算能力. 3. (5 分) (2014?安徽模拟)执行如图所示的程序框图,若输出的 S=88,则判断框内应填 入的条件是( )

A. k>7 B. k>6 C. k>5 D. k>4 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输入 S 的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答 案. 解答: 解:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K S 是否继续循环 循环前 1 0 第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为 k>5? 故答案选 C. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程 序填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: ①分支的条件②循环的条件③变量的 赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解 流程图的含义而导致错误.

4. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)已知向量 ,则 在 方向上的投影为( )

满足

,且

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A. 3 B. ﹣3 C.

D.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 解答: 解:因为 所以 即 所以 . ,利用数量积等于 0 代入向量的模后求解. , , , . ,

故选 B. 点评: 本题考查了数量积判断向量垂直的关系,考查了平面向量的数量积运算,关键是对 投影概念的理解,是基础题. 5. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)已知函数 f(x)=2 与 g(x)=x 的图象交于 A(x1, y1) 、B(x2,y2)两点,其中 x1<x2.若 x2∈(a,a+1) ,且 a 为整数,则 a=( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 构造函数 h(x)=f(x)﹣g(x)=2 ﹣x ,根据函数零点存在定理即可求出 9<x2 <10,再有 x2∈(a,a+1) ,求出 a 的值. x 3 解答: 解:设 h(x)=f(x)﹣g(x)=2 ﹣x , 7 3 当 x=7 时,h(7)=2 ﹣7 =128﹣343<0, 8 3 当 x=8 时,h(8)=2 ﹣8 =256﹣512<0, 9 3 当 x=9 时,h(9)=2 ﹣9 =512﹣720<0, 10 3 当 x=10 时,h(10)=2 ﹣10 =1024﹣1000>0, ∴9<x2<10, ∵x2∈(a,a+1) , ∴a=9, 故选:C. 点评: 本题考查函数零点存在定理,以及指数函数的和幂函数的图象与性质. 6. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)已知等比数列{an}公比为 q,其前 n 项和为 Sn,若 S3、 3 S9、S6 成等差数列,则 q 等于( ) A. ﹣ B. 1 C. ﹣ 或 1 D. ﹣1 或
x 3 x 3

考点: 等比数列的通项公式.
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专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的性质以及等差数列的关系进行求解即可. 解答: 解:若 S3、S9、S6 成等差数列, 则 S3+S6=2S9, 若公比 q=1, 则 S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1, 即 3a1+6a1=18a1,则方程不成立, 即 q≠1, 则 即 1﹣q +1﹣q =2﹣2q , 3 6 9 即 q +q =2q , 3 6 即 1+q =2q , 3 2 3 即 2(q ) ﹣q ﹣1=0, 解得 q =
3 3 6 9

=





故选:A. 点评: 本题主要考查等比数列通项公式的应用,根据条件结合等比数列的前 n 项和公式建 立方程关系是解决本题的关键. ]上有两

7. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)已知函数 f(x)= 个零点 x1,x2,则 tan(x1+x2)的值为( A. B. C. D. )

sin2x+cos2x﹣m 在[0,

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与差的正弦将 f(x)化简为 f(x)=2sin(2x+ ]?2x+ ∈[ , )﹣m,由 x∈[0, )﹣

],利用正弦函数的单调性可求对应区间上 f(x)=2sin(2x+

m 的值域,结合题意可从而可得答案. 解答: 解:∵f(x)= sin2x+cos2x﹣m =2( sin2x+ cos2x)﹣m )﹣m, ], , ],

=2sin(2x+ ∵x∈[0, ∴2x+ ∈[

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∴﹣ ≤sin(2x+ ∴﹣1≤2sin(2x+ ∵f(x)=

)≤1, )≤2, ]上有两个零点 x1,x2, ]上有两个交点,如图:

sin2x+cos2x﹣m 在[0,

∴正弦 y=m 与 f(x)= ∴x1+x2= , =

sin2x+cos2x 在[0,

∴tan(x1+x2)=tan 故选:A.



点评: 本题考查两角和与差的正弦,考查三角函数的图象与性质,着重考查函数的零点与 半角三角函数,求得 x1+x2 是关键,属于中档题. 8. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)已知函数 f(x)的定义域为(3﹣2a,a+1) ,且 f(x﹣ 1)为偶函数,则实数 a 的值可以是( ) A. B. 2 C. 4 D. 6

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x﹣1)为偶函数,便知 f(x﹣1)的定义域关于原点对称,而由 f(x)的定 义域即可求出函数 f(x﹣1)的定义域为(4﹣2a,a+2) ,从而有 4﹣2a+a+2=0,这样即可求 出 a 的值. 解答: 解:f(x﹣1)为偶函数; ∴f(x﹣1)的定义域关于原点对称; 由 3﹣2a<x﹣1<a+1 得 4﹣2a<x<a+2; ∴4﹣2a+a+2=0; ∴a=6. 故选:D.

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点评: 考查偶函数的定义域的特点,弄清函数 f(x)和函数 f(x﹣1)的不同,也可通过 平移的知识求函数 f(x﹣1)的定义域.

9. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)实数 x,y 满足

,若目标函数 z=x+y

取得最大值 4,则实数 a 的值为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组表示的可行域,将目标函数变形 y=﹣x+z,判断出 z 表示直线的纵截 距,结合图象,求出 k 的范围. 解答: 解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示:

∵y=﹣x+z,则 z 表示直线的纵截距 做直线 L:x+y=0,然后把直线 L 向可行域平移,结合图象可知,平移到 C(a,a)时,z 最大 此时 z=2a=4 ∴a=2 故选:B. 点评: 解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域, 将目标函数赋予几何意义. 10. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)对于正项数列{an},定义 Hn= 为{an}的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为 Hn= A. an= B. an= C. an= ,则数列{an}的通项公式为( )

D. an=

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考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过定义及 Hn=
1=

可得 a1+2a2+…+nan=

、a1+2a2+…+(n﹣1)an﹣

,两式相减,进而计算可得结论. , ,

解答: 解:∵Hn= ∴a1+2a2+…+nan= 又∵Hn= , ,

∴a1+2a2+…+nan= a1+2a2+…+(n﹣1)an﹣1= 两式相减得:nan= ∴an= ,

, ﹣ = ,

故选:A. 点评: 本题考查新定义,考查数列的通项,解题的关键是理解新定义,注意解题方法的积 累,属于中档题. 11. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)已知 O 是锐角△ ABC 的外接圆圆心,∠A=30°, ? A. + ? B. =2m? ,则 m 的值为( )

C. 1 D .

考点: 向量数乘的运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的三角形法则结合向量数量积的运算进行化简求解即可. 解答: 解:∵ ∴ 即 则 即 ?( ?( ?( ?|
2

? )+ )? ﹣

+

? ?( +

=2m? ﹣ ?(

, , =2m? ? ? , ?
2

﹣ ﹣ ?

)=2m? ﹣ )? ? ﹣

?

)+ ?|

?(
2

)=2m?



| (cos2C﹣1)+

| (cos2B﹣1)=﹣2m|

|,

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?(cos2C﹣1)+

?(cos2B﹣1)=﹣2m,

则﹣2cosBsinC﹣2cosCsinB=﹣2m, 即﹣2sin(B+C)=﹣2m, 则 m=sin(B+C)=sinA=sin30°= , 故选:D. 点评: 本题主要考查向量数量积的运算以及向量三角形法则的应用,考查学生的运算和推 理能力. 12. (5 分) (2015?绍兴校级模拟)若等差数列{an}满足 a1 +a10 =10,则 S=a10+a11+…+a19 的 最大值为( ) A. 60 B. 50 C. 45 D. 40 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等差数列的公差为 d,由等差数列的通项公式得(a10﹣9d) +a10 =10,由求和公 式可得 a10= 代入(a10﹣9d) +a10 =10 整理可得关于 d 的方程,由△ ≥0 可得 S 的不
2 2 2 2 2 2

等式,解不等式可得. 解答: 解:设等差数列的公差为 d, 2 2 2 2 由 a1 +a10 =10 得, (a10﹣9d) +a10 =10, 因为 S=a10+a11+…+a19=10a10+45d, 则 a10= ,代入(a10﹣9d) +a10 =10,
2 2 2 2 2 2

并整理可得(135 +45 )d ﹣360dS+2S ﹣1000=0, 2 2 2 2 2 由关于 d 的二次方程有实根可得△ =360 S ﹣4(135 +45 ) (2S ﹣1000)≥0, 2 化简可得 S ≤2500,解得 S≤50 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式,以及二次函数方程根的存在性,考 查转化思想,属中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置. 13. (5 分) (2014?沛县校级模拟)已知函数 y= 个不同值,则该函数为偶函数的概率为 . ,其中 m,n 是取自集合{1,2,3}的两

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 在 m,n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值时得到的函数 y= 幂函数为偶函数,则需要 的分子为偶数,且分母为奇数. 是幂函数,要保证

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解答: 解:m,n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值,得到的分数为

(个) .

而使函数 y=

为偶函数的分数需分子为偶数,分母为奇数,共有 2, 两个. .

所以函数为偶函数的概率为 P= 故答案为 .

点评: 本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了幂函数的奇偶性,是基础题. 14. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)在一次考试中,5 名学生的数学和物理成绩如表: (已 知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系) 1 2 3 4 5 学生的编号 i 80 75 70 65 60 数学成绩 x 70 66 68 64 62 物理成绩 y 现已知其线性回归方程为 =0.36 +a, 则根据此线性回归方程估计数学得 80 分的同学的物

理成绩为 70 (四舍五入到整数) 考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 分别做出横标和纵标的平均数,利用最小二乘法做出 b 的值,再求出 a 的值,写出 线性回归方程,代入 x=80,得到 y 的值即可得到结果. 解答: 解:由已知数据得, = 线性回归方程为 ∴a=40.8. 线性回归方程为 =0.36x+40.8, =0.36 +a,则 66=0.36×70+a, =70, = =66,

x=80 时,y=0.36×80+40.8≈70. 故答案为:70. 点评: 本题考查线性回归方程的应用,线性回归方程经过样本中心点,基本知识的考查. 15. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)在△ ABC 中,若( 5 . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知得到( + )?( )= = | | ,得到三角形的三边关系,
2 2

+

)?

= |

| ,则

=

结合余弦定理以及三角函数求出.
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解答: 解: 由已知 ( 即 CB =CA + AB ,
2 2 2 2 2

+

) ?

= |

|, 所以 (

2

+

) ? (

) =

= |

|,

2

又 BC =AB +AC ﹣2AB×ACcosA, 所以 CA + AB =AB +AC ﹣2AB×ACcosA,整理得 AB=ACcosA, 设 AB 边上的高为 CD,则 AD=ACcosA, 所以 BD=5AD,所以 = =5.
2 2 2 2

2

故答案为:5. 点评: 本题考查了平面向量与余弦定理相结合的三角形问题;关键是由已知得到三角形三 边关系. 16. (5 分) (2015 春?合肥校级期末)定义数列{xn}:x1=1,xn+1=3xn +2xn +xn;数列{yn}: yn= ;数列{zn}:zn= ;若{yn}的前 n 项的积为 P,{zn}的前 n 项
3 2

的和为 Q,那么 P+Q= 1 . 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过对 xn+1=3 +2 +xn 变形可得 ﹣ = ,累乘可得 P= ,通

过变形、分离分母可得 zn= 解答: 解:∵xn+1=3 ∴ = +2

,并项累加可得 Q= +xn,



,进而计算可得结论.



∴P=y1?y2?…?yn = ? ?…?

=



∵zn=

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= = ﹣ , ﹣ , )+( ﹣ )+…+( ﹣ )

∴Q=( = ﹣

∵x1=1, ∴P+Q= + ﹣ = +1﹣ =1,

故答案为:1. 点评: 本题考查了经过变形利用“累乘求积”求数列的乘积、利用“累加求和”求数列的和的 基本技能方法,属于难题. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2015 春?合肥校级期末)设集合 ,P={x|x<a} (1)求 M∩N (2)若 P∪(?RN)=R,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用函数的定义域求出 M,不等式的解法求出 N,补集的定义求出?RN,再根据交 并运算求出答案. 解答: 解: (1)对于集合 M,得到 4﹣2x﹣x >0,解得﹣1 M={x|﹣1 <x<﹣1+ |, 对于集合 N, >1,即
2

<x<﹣1+

,所以集合

<0,即(x﹣2) (x+1)<0,解得﹣1<x<2,所以集合 N={x|

﹣1<x<2}, ∴M∩N={x|﹣1<x<﹣1+ }, (2)有(1)得?RN={x|x≤﹣1 或 x≥2},P={x|x<a} ∵P∪(?RN)=R, ∴a>2. 点评: 本题考查分式不等式的解法,函数的定义域,交、并、补的运算,属于基础题. 18. (12 分) (2015 春?合肥校级期末)已知函数 的部分图象如图所示. (1)求 f(x)的解析式;

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(2)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边 a、b、c,若 f(B)= 角形的形状.

,且

a=b+c,试判断三

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)由函数图象可知 T,利用周期公式可求 ω,又点( 的一个对称中心,可得 2× (2)由 sin(2B+ 化简可得 sin(A﹣ )= ,0)是 f(x)=sin(2x+φ)

+φ=kπ,k∈Z,从而解得 φ,即可求得解析式. ,结合 0<B<π 可求 B,由正弦定理可得 sinA=sinB+sinC,

)= ,从而解得 A,C 的值,即可得解.

解答: (本小题满分 12 分) (1)∵T=2×( ∴ω= 又点( ∴2× =2. ,0)是 f(x)=sin(2x+φ)的一个对称中心, +φ=kπ,k∈Z,φ=kπ﹣ ) , )= , 令 k=1,得 φ= . ﹣ )=π,

f(x)=sin(2x+ (2)sin(2B+ ∵0<B<π, ∴B= ∴ ∴ ∴sin(A﹣ ∴A= ,又 sinA=

a=b+c,则 sin(

sinA=sinB+sinC, ,

﹣A)= ,

)= , ,故△ ABC 为直角三角形.

,所以 C=

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点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和 性质,正弦定理的应用,属于基本知识的考查. 19. (12 分) (2012?淄博一模)一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字 分别是 1、2、3、4,现从盒子中随机抽取卡片. (I)若一次从中随机抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于或等于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次随机抽取 1 张卡片,放回后再随机抽取 1 张卡片,求两次抽取的卡片中至少 一次抽到数字 2 的概率. 考点: 排列、组合及简单计数问题;等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: (1)先写出三张卡片上的数字全部可能的结果,一一列举出,把满足数字之和大于 或等于 7 的找出来,由此求得 3 张卡片上数字之和大于或等于 7 的概率. (2)列举出每次抽 1 张,连续抽取两张全部可能的基本结果,而满足条件的事件是两次抽 取中至少一次抽到数字 2, 从前面列举出的结果中找出来. 解答: 解: : (Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型,设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字 之和大于或等于 7”, ∵任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是(1、2、3) , (1、2、4) , (1、3、4) , (2、3、4) , 其中数字之和大于或等于 7 的是(1、3、4) , (2、3、4) , (1,2,4) ,∴P(A)= . (Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到 2”, ∵每次抽 1 张,连续抽取两张全部可能的基本结果有: (1、1) (1、2) (1、3) (1、4) (2、 1) (2、2) (2、3) (2、4) (3、1) (3、2) (3、3) (3、4) (4、1) (4、2) (4、3) (4、4) ,共 16 个 基本结果. 事件 B 包含的基本结果有(1、2) (2、1) (2、2) (2、3) (2、4) (3、2) (4、2) ,共 7 个 基本结果. ∴所求事件的概率为 P(B)= .

点评: 本题主要考查古典概型、等可能事件的概率,用列举法计算,可以列举出所有基本 事件和满足条件的事件, 应用列举法来解题,是这一部分的最主要思想,属于中档题. 20. (12 分) (2015 春?合肥校级期末)已知 {an},{bn}均为等差数列,前 n 项和分别为 Sn, Tn. (1)若对 n∈N ,有 (2)若平面内三个不共线向量
*

,求

的最大值.

满足

,且 A,B,C 三点

共线.是否存在正整数 n,使 Sn 为定值?若存在,请求出此定值;若不存在,请说明理由.
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考点: 等差数列的前 n 项和;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意和等差数列的求和公式和性质可得 得; (2)由题意和向量的知识可得 a3+a15=1,进而又等差数列的性质可得 a1+a17=1,代入等差 数列的求和公式可得 ,可得结论. = ,由函数的单调性可

解答: 解: (1)∵

=



由反比例函数的单调性可得当 n=1 时,式子取最大值 33; (2)∵A,B,C 三点共线, ∴假设存在正整数 n,使 即 . ,

由平面向量基本定理得



消去 λ 得 a3+a15=1,又 a3+a15=a1+a17, ∴ 即存在 n=17 时,S17 为定值 . .

点评: 本题考查等差数列的求和公式,涉及函数和平面向量的知识,属中档题.

21. (12 分) (2013?宝山区二模)如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 的大小等于 为 2,在半径 OA 上有一动点 C,过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P. (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的大小; (2)设∠COP=θ,求△ POC 面积的最大值及此时 θ 的值.

,半径

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考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (1)在△ POC 中,根据 ,OP=2,OC=1,利用余弦定理求得 PC 的值.

(2)解法一:利用正弦定理求得 CP 和 OC 的值,记△ POC 的面积为 S(θ) ,则 ,利用 两角和差的正弦公式化为 为 .
2 2

,可得

时,S(θ)取得最大值

解法二:利用余弦定理求得 OC +PC +OC?PC=4,再利用基本不等式求得 3OC?PC≤4,所以 ,再根据 OC=PC 求得△ POC 面积的最大值时 θ 的 值. 解答: 解: (1)在△ POC 中, 由 得 PC +PC﹣3=0,解得 (2)解法一:∵CP∥OB,∴ 在△ POC 中,由正弦定理得 即 ,∴ . ,
2

,OP=2,OC=1,

. ,

又 记△ POC 的面积为 S(θ) ,则 = =

,∴



=

=

= ∴

= 时,S(θ)取得最大值为 .



解法二:

,即 OC +PC +OC?PC=4.
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2

2

又 OC +PC +OC?PC≥3OC?PC,即 3OC?PC≤4,当且仅当 OC=PC 时等号成立, 所以 ∴ 时,S(θ)取得最大值为 . ,∵OC=PC,

2

2

点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式,正弦定理、余弦定理、基本不等式的,属于中 档题. 22. (12 分) (2015 春?合肥校级期末)已知{an}、{bn}都是各项均为正数且公差不为 0 的等 * 差数列,满足 anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N ) . (1)求证:数列{an}有无穷多个,而数列{bn}惟一确定; (2)设 an+1= ,sn=b1+b2+b3+…+b2n﹣1+b2n,求证:2< <6.

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)通过将 an=a1+(n﹣1)d,bn=b1+(n﹣1)d2 代入 anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N ) , 计算即得结论; (2)一方面通过 an+1﹣an 计算可得 an<an+1,放缩可得 2n<bn+1+bn,进而有 Sn= >
*

2[1+3+…+(2n﹣1)],另一方面通过 anbn+1=(2n﹣bn)?an+1>0,an+1>0,可得 Sn= <2(1+2+…+2n) ,计算可得结论. 解答: 证明: (1)设{an}、{bn}公差分别为 d1、d2(d1d2≠0) , 则 an=a1+(n﹣1)d,bn=b1+(n﹣1)d2, * 代入 anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N ) , 可得[a1+(n﹣1)d1][b1+nd2]+(a1+nd1)[b1+(n﹣1)d2]=2n(a1+nd1)是个恒等式,

可得

,解得



可得 an=na1,bn=n. ∴a1 可取无穷多个正实数,可得数列{an}有无穷多个,而数列{bn}惟一确定;

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(2)∵an+1=



∴an+1﹣an=an+1=

﹣an=

>0,

∴an<an+1, ∴anbn+1+an+1bn=2nan+1<an+1bn+1+an+1bn, ∴2n<bn+1+bn. ∴Sn= =(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n﹣1+b2n)>2[1+3+…+(2n﹣1)]=2n .
2

又 anbn+1=(2n﹣bn)?an+1>0,an+1>0, ∴2n﹣bn>0. ∴Sn=
2

<2(1+2+…+2n)=2n(1+2n)=4n +2n,
2

2

∴Sn∈(2n ,4n +2n) , ∴2< <4+ ≤6.





点评: 本题是一道关于数列的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问题的能 力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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