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高二数学理科第二学期期中考试试卷2


高二数学理科第二学期期中考试试卷 2
时间:120 分钟 姓名: 满分:100 分 班级:

一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1、 曲线 y ? x 2 在(1,1)处的切线方程是( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2

x ? y ? 1 ? 0 2、定义运算




B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

a c

b 1 ? ad ? bc ,则符合条件 d z

?1 ? 4 ? 2i 的复数 z 为 zi

) A. 3 ? i B. 1 ? 3i C. 3 ? i D. 1 ? 3i 3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是 ( ) A. 假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝 角 9 ? 0 ?1 ? 1 , 9 ?1 ? 2 ? 11 , 9 ? 2 ? 3 ? 21 , 4、 观察按下列顺序排列的等式:

9 ? 3 ? 4 ? 31 ,?,猜想第 n(n ? N* ) 个等式应为(
A. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 C. 9n ? (n ? 1) ? 10n ? 1 5、 曲线 y ? cos x ? 0 ≤ x ≤ ( ) A. 4 B. 2 C.



B. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 D. 9(n ? 1) ? (n ? 1) ? 10n ? 10

? ?

3π 3π ? ? 与 x 轴以及直线 x ? 2 所围图形的面积为 2 ? 5 2

D. 3

6 、平面几何中,有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值

1

3 a ,类比上述命题,棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和 2
为( A. )

4 a 3
'

B.

6 a 3
lim

C.

5 a 4

D.

6 a 4

7、若

f ( x0 ) ? ?3 ,则 h?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h (
C. ? 9

) D. ?6

A. ? 3

B. ?12

8、平面上有 n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,

它们将平面分成 f (n) 块区域,有 f (1) ? 2, f (2) ? 4, f (3) ? 8 ,则
f ( n) ? (

) B. n 2 ? n ? 2 D. n 3 ? 5n 2 ? 10n ? 4

A. 2 n C. 2n ? (n ?1)(n ? 2)(n ? 3)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横 线上. 9、

?(
0

1

1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 x)dx ?
4 5 6 12

10、 设 Z1 = i + i + i +…+ i 关系为

, Z 2 = i4 · i5 · i6·…· i12, 则 Z1 ,Z 2

3] 上有最小值 3 ,那么 11、已知 f ( x) ? x ? 3x ? a ( a 为常数) ,在 [?3,
3 2

3] 上 f ( x) 的最大值是 在 [?3,
12、仔细观察下面图形:图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的, 按照这样的规律放下去, 至第七个叠 放的图形中,小正方体木块总数就是

2

三、解答题: (本大题共 5 题,共 44 分.6*8*8*10*12) 13、已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、?2 ? 6 i , 且 O 是坐标原点,OA ∥ BC . 求顶点 C 所对应的复数 z .

14、 F ( x) ?

?

x

0

(t 2 ? 2t ? 8)dt ( x ? 0) .

, 3] 上的最值. (1)求 F ( x) 的单调区间; (2)求函数 F ( x) 在 [1

15、设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且

f ?( x) ? 2 x ? 2 .
(1)求 y ? f ( x) 的表达式; (2)若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的 面积二等分,求 t 的值.

3

f ( x) ? ln x ( x ? 0) 16、已知函数 ,函数

g ( x) ?

1 ? af ?( x)( x ? 0) f ?( x)

⑴当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x) 的表达式; ⑵若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 ,求 a 的值;

y?
⑶在⑵的条件下,求直线 面积.

2 7 x? 3 6 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的

2 x 17、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e .

(Ⅰ)当 x 为何值时, f ( x) 取得最小值?证明你的结论; (Ⅱ)设 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围

4

答案: 一、选择题:DABBDBBA 二、填空题:9、 ? ? 1
4

10、 z1 ? z2

11、57

12、91

三、解答题: 13、解:设 z ? x ? y i( x,y ? R) . 由 OA ∥ BC , OC ? AB ,得 kOA ? kBC , zC ? zB ? z A ,

?2 y ? 6 , ? ? 即 ?1 x ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 32 ? 42, ?

OA ? BC ,? x ? ?3 , y ? 4 舍去.
? z ? ?5 .
14、解:依题意得,
x ?1 ?x 1 3 F ( x) ? ? (t 2 ? 2t ? 8)dt ? ? t 3 ? t 2 ? 8t ? 0 ? x ? x 2 ? 8x ,定义域是 0 3 3 ? ?

(0, ? ?) .
(1) F ?( x) ? x ? 2x ? 8 ,
2

令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?4 , 令 F ?( x) ? 0 ,得 ?4 ? x ? 2 ,

? ?) , 由于定义域是 (0, ? ?) ,单调递减区间是 (0, 2) . ? 函数的单调增区间是 (2,
(2)令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2( x ? ?4舍) ,

5

由于 F (1) ? ?

20 28 , F (2) ? ? , F (3) ? ?6 , 3 3
28 . 3

? F ( x) 在 [1, 3] 上的最大值是 F (3) ? ?6 ,最小值是 F (2) ? ?
15、解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 则 f ?( x) ? 2ax ? b . 由已知 f ?( x) ? 2 x ? 2 ,得 a ? 1 , b ? 2 .

? f ( x) ? x2 ? 2x ? c .
又方程 x ? 2 x ? c ? 0 有两个相等的实数根,
2

?? ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ? 1 .
故 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ; (2)依题意,得

?

?t

?1

( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ? ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ,
?t

0

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?
3 2

?t ?1

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?

0 ?t



3 整理,得 2t ? 6t ? 6t ? 1 ? 0 ,即 2(t ?1) ? 1 ? 0 ,

?t ? 1 ?

3

1 . 2

16、解:⑴∵

f ( x) ? ln x

,

∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x)

∴当 x ? 0 时,

f ?( x) ?

1 1 1 f ?( x) ? ? (?1) ? x ; 当 x ? 0 时, ?x x. a x.

∴当 x ? 0 时,函数

y ? g ( x) ? x ?

6

⑵∵由⑴知当 x ? 0 时,

g ( x) ? x ?

a x,

∴当 a ? 0, x ? 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x ?

a 时取等号.

∴函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 a , ∴依题意得 2 a ? 2 ∴

a ? 1.

2 7 3 ? ? y ? x? x1 ? ? x2 ? 2 ? ? ? ? 3 6 2 ? ,? ? ? 5 ? y ? 13 ? ? y2 ? 2 ?y ? x ? 1 1 ? 6 x 解得 ? ? ⑶由 ?
y?
∴直线

2 7 x? 3 6 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积

2 ? 2 7 1 ? S ? ? 3 ?( x ? ) ? ( x ? ) ?dx 7 ? ln 3 6 x ? = 24 2? 3

17、解析: (2) 由 f ( x) ? (2 x ? 2a)e ? ( x ? 2ax)e ? e [ x ? 2(1 ? a) x ? 2a]
/ x 2 x x 2

令 f / ( x) ? 0 ,即 x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a ? 0 ,得 x1 ? a ? 1 ? 1 ? a 2 ,

x2 ? a ? 1 ? 1 ? a 2 ,其中 x1 ? x 2
/ 当 x 变化时, f ( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f / ( x)
f ( x)

(??, x1 )

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 ,??)

?

0
极大值

?

0
极小值

?

当 a ? 0 时, x1 ? ?1, x2 ? 0, f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上单调递减;
7

由此可得: f ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调函数的充要条件为 x2 ? 1 ,即

a ? 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ,解得 a ?
3 4

3 ; 4

即所求 a 的取值范围为 [ ,?? ) ;

8


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