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一元一次方程应用题归类汇集(含答案)


一元一次方程应用题归类汇集
一、列方程解应用题的一般步骤(解题思路)
(1)审—审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关 系) . (2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数. (3)列—列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等 量关系 列出方程. (4)解——解方程:解所列的方程,求出未知数的值. (5

)答—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际, 检验后写出答案. (注意带上单位)
二、一般行程问题(相遇与追击问题)

1.行程问题中的三个基本量及其关系: 路程=速度× 时间 2.行程问题基本类型 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距
1、从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用 3.6 小时,已知步行速度为每小时 8 千米,公交车的速 度为每小时 40 千米,设甲、乙两地相距 x 千米,则列方程为 解:等量关系 步行时间-乘公交车的时间=3.6 小时 列出方程是: 。

时间=路程÷ 速度

速度=路程÷ 时间

x x ? ? 3.6 8 40

2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米,可比预定时间早到 15 分钟;若每小时行 9 千 米,可比预定时间晚到 15 分钟;求从家里到学校的路程有多少千米? 解:等量关系 ⑴ 速度 15 千米行的总路程=速度 9 千米行的总路程 ⑵ 速度 15 千米行的时间+15 分钟=速度 9 千米行的时间-15 分钟 提醒:速度已知时,设时间列路程等式的方程,设路程列时间等式的方程。 方法一:设预定时间为 x 小/时,则列出方程是:15(x-0.25)=9(x+0.25) 方法二:设从家里到学校有 x 千米,则列出方程是:

x 15 x 15 ? ? ? 15 60 9 60

3、一列客车车长 200 米,一列货车车长 280 米,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车 车尾完全离开经过 16 秒,已知客车与货车的速度之比是 3:2,问两车每秒各行驶多少米? 提醒:将两车车尾视为两人,并且以两车车长和为总路程的相遇问题。 等量关系:快车行的路程+慢车行的路程=两列火车的车长之和 设客车的速度为 3x 米/秒,货车的速度为 2x 米/秒,则 16×3x+16×2x=200+280 4、一列火车匀速行驶,经过一条长 300m 的隧道需要 20s 的时间。隧道的顶上有一盏灯,垂直向下 发光,灯光照在火车上的时间是 10s,根据以上数据,你能否求出火车的长度?火车的长度是 多少?若不能,请说明理由。 解析:只要将车尾看作一个行人去分析即可, 前者为此人通过 300 米的隧道再加上一个车长,后者仅为此人通过一个车长。
1

此题中告诉时间,只需设车长列速度关系,或者是设车速列车长关系等式。 解:方法一:设这列火车的长度是 x 米,根据题意,得

300 ? x x ? 20 10

x=300

答:这列火车长 300 米。

方法二:设这列火车的速度是 x 米/秒, 根据题意,得 20x-300=10x x=30 三、环行跑道与时钟问题:

10x=300

答:这列火车长 300 米。

1、在 6 点和 7 点之间,什么时刻时钟的分针和时针重合? 老师解析:6:00 时分针指向 12,时针指向 6,此时二针相差 180°, 在 6:00~7:00 之间,经过 x 分钟当二针重合时,时针走了 0.5x°分针走了 6x° 以下按追击问题可列出方程,不难求解。 解:设经过 x 分钟二针重合,则 6x=180+0.5x 解得 x ?

360 8 ? 32 11 11

2、甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步,甲分钟跑 240 米,乙每分钟跑 200 米,二人同时同地 同向出发,几分钟后二人相遇?若背向跑,几分钟后相遇? 老师提醒:此题为环形跑道上,同时同地同向的追击与相遇问题。 解:① 设同时同地同向出发 x 分钟后二人相遇,则 240x-200x=400 ② 设背向跑,x 分钟后相遇,则 240x+200x=400 三、行船与飞机飞行问题:

x=10

x=

1 11

航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2
1、 一艘船在两个码头之间航行,水流的速度是 3 千米/时,顺水航行需要 2 小时,逆水航行需要 3 小时,求两码头之间的距离。 解:设船在静水中的速度是 x 千米/时,则 3×(x-3)=2×(x+3) 解得 x=15 2×(x+3)=2×(15+3) =36(千米)答:两码头之间的距离是 36 千米。 2、一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时 24 千米,顺风飞行需要 2 小时 50 分钟,逆风飞行 需要 3 小时,求两城市间的距离。 解:设无风时的速度是 x 千米/时,则 3×(x-24)= 2 四、工程问题

5 ×(x+24) 6

1.工程问题中的三个量及其关系为: 工作总量=工作效率× 工作时间
工作效率 ? 工作总量 工作时间 工作时间 ? 工作总量 工作效率

2.经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位 1。即完成某项任务的各工作 量的和=总工作量=1.

2

1、一项工程,甲单独做要 10 天完成,乙单独做要 15 天完成,两人合做 4 天后,剩下的部分由乙单 独做,还需要几天完成? 解:设还需要 x 天完成,依题意,得 (

1 1 1 ? )?4 ? x ?1 10 15 15

解得 x=5

2、某工作,甲单独干需用 15 小时完成,乙单独干需用 12 小时完成,若甲先干 1 小时、乙又单独干 4 小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务? 解:设甲、乙两个龙头齐开 x 小时。由已知得,甲每小时灌池子的 列方程:

1 1 ,乙每小时灌池子的 。 2 3

1 1 1 2 1 5 2 ×0.5+( + )x= , + x= , 2 2 3 3 4 6 3 1 x= =0.5 x+0.5=1(小时) 2

5 5 x= 6 12

3、某工厂计划 26 小时生产一批零件,后因每小时多生产 5 件,用 24 小时,不但完成了任务,而 且还比原计划多生产了 60 件,问原计划生产多少零件? 解: (

X ? 5) ? 24 ? 60 ? X , X=780 26

五、市场经济问题 1、某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅.经过测试:同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅,可供 1680 名学生就餐;同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅,可供 2280 名学生就餐. (1)求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐; (2)若 7 个餐厅同时开放,能否供全校的 5300 名学生就餐?请说明理由. 解: (1)设 1 个小餐厅可供 y 名学生就餐,则 1 个大餐厅可供(1680-2y)名学生就餐,根据题意, 得 2(1680-2y)+y=2280 解得:y=360(名)所以 1680-2y=960(名) (2)因为 960 ? 5 ? 360 ? 2 ? 5520 ? 5300 , 所以如果同时开放 7 个餐厅,能够供全校的 5300 名学生就餐. 2、工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利 45 元;按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将 标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元? 解:设该工艺品每件的进价是 x 元,标价是(45+x)元.依题意,得: 8(45+x)×0.85-8x=(45+x-35)×12-12x 解得:x=155(元)所以 45+x=200(元) 六、调配与配套问题 1、某车间有 16 名工人,每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个.在这 16 名工人中,一部分 人加工甲种零件,其余的加工乙种零件.?已知每加工一个甲种零件可获利 16 元,每加工一个乙种 零件可获利 24 元.若此车间一共获利 1440 元,?求这一天有几个工人加工甲种零件.

2、有两个工程队,甲工程队有 32 人,乙工程队有 28 人,如果是甲工程队的人数是工程队人数的 2 倍,需从乙工程队抽调多少人到甲工程队?

3

七、方案设计问题 1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为 1000 元,?经粗加工后销售,每 吨利润可达 4500 元,经精加工后销售,每吨利润涨至 7500 元,当地一家公司收购这种蔬菜 140 吨, 该公司的加工生产能力是: 如果对蔬菜进行精加工,每天可加工 16 吨,如果进行精加工,每天可 加工 6 吨,?但两种加工方式不能同时进行,受季度等条件限制,公司必须在 15 天将这批蔬菜全部 销售或加工完毕,为此公司研制了三种可行方案: 方案一:将蔬菜全部进行粗加工. 方案二:尽可能多地对蔬菜进行粗加工,没来得及进行加工的蔬菜,?在市场上直接销售. 方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好 15 天完成. 你认为哪种方案获利最多?为什么? 解: 方案一: 因为每天粗加工 16 吨, 140 吨可以在 15 天内加工完, 总利润 W1=4500×140=630000(元) 方案二:15 天可以加工 6×15=90 吨,说明还有 50 吨需要在市场直接销售, 总利润 W2=7500×90+1000×50=725000(元); 方案三:现将 x 吨进行精加工,将(140-x)吨进行粗加工, 总利润 W3=7500×60+4500×80=810000(元) 2、 某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机. 已知该厂家生产 3?种不同型号的电视机, 出厂价分别为 A 种每台 1500 元,B 种每台 2100 元,C 种每台 2500 元. (1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台,用去 9 万元,请你研究一下商场的进 货方案. (2)若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元,销售一台 B 种电视机可获利 200 元,?销售一台 C 种电视机可获利 250 元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多, 你选择哪种方案? 解:按购 A,B 两种,B,C 两种,A,C 两种电视机这三种方案分别计算, 设购 A 种电视机 x 台,则 B 种电视机 y 台. (1)①当选购 A,B 两种电视机时,B 种电视机购(50-x)台,可得方程 1500x+2100(50-x)=90000 x=25 50-x=25

x 140 ? x ? ? 15 ,解得 x=60. 6 16

②当选购 A,C 两种电视机时,C 种电视机购(50-x)台,可得方程 1500x+2500(50-x)=90000 x=35 50-x=15

③当购 B,C 两种电视机时,C 种电视机为(50-y)台.可得方程 2100y+2500(50-y)=90000 4y=350,不合题意

可选两种方案:一是购 A,B 两种电视机 25 台;二是购 A 种电视机 35 台,C 种电视机 15 台. (2) 若选择 (1) ①, 可获利 150×25+250×15=8750 (元) , 若选择 (1) ②, 可获利 150×35+250 ×15=9000(元) 故为了获利最多,选择第二种方案.

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