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2.2.1


2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义

自测自评 1.下列等式正确的个数是( C ) ①a+0=a ②b+a=a+b =0 ⑤a+(-b)=a-b A.2 B.3 ③-(-a)=a ④a+(-a) C.4 D.5

2.下列等式中一定能成立的是( D )

→ → → → → → A.AB+AC=BC B.AB-AC=BC → → → → → → C.AB+AC=CB D.AB-AC=CB

→ → → → 3.化简OP-QP+PS+SP的结果等于( B ) → → → → A.QP B.OQ C.SP D.SQ

4.a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( A ) A.a与b方向相同 B.a=b

C.a=-b

D.a与b方向相反

→ → → 5.如图,在平行四边形ABCD中, BC+DC+BA
等于( A )

→ A.AD → B.BD → C.BA → D.AC

有关向量的化简 化简:
→ → → (1)AB+CD+BC=________; → → → (2)AB+OA-OB=________; → → → → +DC (3)AB+ BD =________; +CA → → → → (4)OB-OA-OC-CO=________.

(

)

→ → → → → → → 解析:(1)AB+CD+BC=AB+BC+CD=AD. → → → → → (2)AB+OA-OB=AB+BA=0. → → → → → → → → +DC (3)AB+ BD = ( AB + BD ) + ( DC +CA)=0. +CA → → → → → → → → (4)OB-OA-OC-CO=AB-(OC+CO)=AB. → → 答案:(1)AD (2)0 (3)0 (4)AB

(

)

点评:封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量.

跟踪训练 1.已知下列各式: → → → → → → → ①AB+BC+CA;② AB+MB +BO+OM → → → → → → → → ③OA+OC+BO+CO;④AB+CA+BD+DC

(

)

其中结果为0的个数是(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

→ → 解析:①0;② AB ;③BA ;④0.
答案:B

以向量为邻边的平行四边形 平行四边形ABCD中,

→ =a,→ AD =b,用a,b表示 AB
→ → DB 向量 AC 、 .

→ =a+b, 解析:由向量加法的平行四边法则得 AC
→ → → 由向量的减法得DB =AB - AD =a-b.

点评: (1)充分利用相等向量进行向量间的转化. (2)以向量a,b为邻边的平行四边形中,(a±b)表示的是两条 对角线所在的向量.

跟踪训练

→ |=________. AD
长. 答案:5

→ |=3,| → |=4,则| → + 2.在矩形ABCD中,若| AB AB BC

解析:实际上是求分别以3,4为邻边长的矩形的对角线

|a+b|、|a-b|、|a|+|b|、|a|-|b|之间的关系 对于任意的两个向量a与b,有________≤ ________.

|a±b| ≤

注意:当a,b共线时(包括同向和反向)上式等号成立.

||a|-|b|| |a|+|b|

向量在实际生活中的应用 一艘船从A点出发以2 3 km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,船的实际航行的速度的大小为4 km/h,求

水流的速度.

→ 表示渡船速度,AC 表示船的实际速度.
AB⊥AD,在Rt△ABC中, AB=
42-(2 3)2=2.

→ → 解析:如图, AB 表示水流速度, AD

所以水流速度为2 km/h.
点评:把速度问题转化为向量的加减问题,问题就显得 简单明了.

跟踪训练 3.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行

驶,同时河水的流速为v2,船的实际航行的速度的大小为4
km/h,方向与水流间的夹角是60°,求v1和v2.

→ 表示水流速度,AD 表示 解析: AB → 表示船的实际速度. 渡船速度, AC
AB⊥AD,在Rt△ABC中,AB= 4×cos 60°=2,



AD=4×sin 60°=2 3 .
∴v1=2 3 km/h,v2=2 km/h.

向量模的性质应用

→ |=8,| 若| AB
________.

→ |的取值范围是 → |=5,则| BC AC

→ → → 解析:∵|BC|=|AC-AB|, → → → → → ≤|BC | ≤ | AC | + | AB |, |AC|-|AB| → ∴3≤|BC|≤13. → 即|BC|的取值范围为:[3,13]. 答案:[3,13]

|

|

点评:对于任意的两个向量a与b,有 ||a|-|b|| ≤|a±b| ≤|a|+|b|,要从三角形两边之和、差与第三边的大小关系来 理解和记忆.

跟踪训练 4.若向量a、b满足|a|=5,|b|=12,则|a+b|的最小值 是________,|a-b|的最大值是________. 解析:由向量模的性质 ||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|可得答

案.
答案:7 17

→ → → 1.化简PM-PN+MN所得结果是( C ) → → A.MP B.NP → C .0 D.MN → → → → → 2.在△ABC 中,|AB|=|BC|=|CA|=1,则|AB-AC| 的值为( B ) A.0 B.1 C. 3 D.2


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