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山西省太原五中2014届高三10月月考数学理试题Word版含答案


太 高 三

原 数





2013—2014 学年度第一学期月考(10 月)

学(理)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.答案填在答卷纸上. 1. 已知全集 U={

1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},则 A∩(CUB)等于( ) A.{4,5} B.{2,4,5,7} C.{1,6} D.{3} 2. 已知函数 f ( x) ? ?log 4 x, x ? 0 ,则 f ? f ( 1 ) ? ? ( ? x ? ?
? 3 ,x ?0
? 16 ?

) D ?


A. 9

B.

1 9

C. ?9

1 9

3. 下列函数中,既是偶函数又在 (0, ) +? 单调递减的函数是( A. y ? x
3



B. y ? x ? 1

C. y ? ? lg x

D. y ? 2

x

4. 下列说法中,正确的是( ) A.命题“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.命题“ ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ”的否定是: ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ” “ C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 5. 已知函数 y=f(x)与 y ? e 互为反函数,函数 y=g(x)的图像与 y=f(x)图像关于 x 轴对称,若
x

g(a)=1,则实数 a 值为( A.-e B. ?

)ks5u

1 e

C.

1 e

D.e

6. 已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时,有 f ( x) ? x ? 值域是 [n , m] ,则 m ? n 的值是( )

4 ,且当 x ?[?3 , ? 1] , f ( x) 的 x

A.

1 3

B.

2 3
2 '

C. 1

D.

4 3

7. 设函数 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) ? x f (2) ? 3x ,则 f (?1) 与 f (1) 大小是( ) A. f (?1) ? f (1)
2

B. f (?1) ? f (1)

C. f (?1) ? f (1)

D.不确定

8. 右图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则函数 g ( x) ? ln x ? f '( x) 的零点所在的区间是 ( )

A. ( , ) C. ( ,1)

1 1 4 2

B. (1, 2) D. (2,3)

1 2

9. 函数 y ? f (x) 的最小正周期为 2 ,且 f (? x) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 , 那么在区间 [?3,4] 上,函数 y ? f (x) 的图像与函数 y ? ( ) | x| 的图像的交点个数是 ( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

1 2

?? x 2 ? ax, x ? 1, 10. 已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实 x ? 1, ?ax ? 1,
数 a 的取值范围是( A. a < 2 ) ks5u B. a > 2
2

C. - 2 < a < 2
x

D. a > 2 或 a < - 2

11. 当 a > 0 时,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e 的图象大致是( )

x 12 . 已 知 f ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x)? 2 ?

1

22 若 a 函 数 x , 是
)

2 g ( x)? l n x? ? 的零点,则 f (?2), f (a), f (?1.5) 的大小关系是( ( 1 ) x
A. f (?1.5) ? f (a) ? f (?2) C. f (a) ? f (?1.5) ? f (?2)

B. f (?2) ? f (?1.5) ? f (a) D. f (?1.5) ? f (?2) ? f (a)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答卷纸上. 13.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, 0 ? ,则函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 14. 曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x

15.已知 a 为常数,若函数 范围是

f ( x ) ? x ? ln x ? ax ?

有两个极值点

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

,则 a 的取值

16.设 f ( x) 是如图定义在区间 [?c, c](c ? 0) 上的奇函数,令 g ( x) ? af ( x) ? b ,并有关于函 数 g ( x) 的五个论断:

①若 a ? 0 ,对于 [?1,1] 内的任意实数 m, n(m ? n) ,

g ( n) ? g ( m) ? 0 恒成立; n?m
②若 a ? ?1, ?2 ? b ? 0 ,则方程 g ( x) =0 有大于 2 的实根 ③函数 g ( x) 的极大值为 2a ? b ,极小值为 ?2a ? b ; ④若 a ? 1, b ? 0 ,则方程 g ( x) ? 0 必有 3 个实数根; 其中所有正确结论的序号是________ 三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题 12 分)设全集 U ? R ,集合 A = ?x | lg x ? 0} , B = {x | 2 ? 4}
x

(1)求 A ? B ; (2)若集合 C ? {x | 2 x ? a ? 0} ,满足 A ? C ,求实数 a 的取值范围. 18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? x ? bx ( 其 中 a 、 b ? R ) ,
3 2

g (x) ?f (x) ? (x? f )

是奇函数

(1)求 f ( x) 的表达式。 (2)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在 [1, 2] 上的最值。 19.(本小题满分 14 分)

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . ln x (Ⅰ)求函数 g ? x ? 的单调区间;
已知函数 g ? x ? ? (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数,求实数 a 的最小值;
2 (Ⅲ)若 ?x1 , x2 ? ?e, e ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a ( a ? 0 )成立,求实数 a 的取值范 ? ?

围. 请考生在第 20、21、22 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 20.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲. 如图,在 RtΔ ABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC,交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上,DE⊥EB. (Ⅰ)求证:AC 是Δ BDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD= 2 3 ,AE=6,求 EC 的长. 21.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) C 2 : ? , ( ? 为参数) 。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值. ks5u

22(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 5 | , x ? R . ⑴ 求不等式 f ( x) ≤ x ? 10 的解集; ⑵ 如果关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a ? ( x ? 2) 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
2









2013—2014 学年度第一学期月考(10 月)

高三数学答卷纸(理)
一、选择题 (每小题 3 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分) 13. 15. ; ; 14. 16. ; ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分)

18. (本题满分 12 分)

ks5u

19.(本题满分 14 分)

选做题(本题满分 10 分) 请考生在第 20、21、22 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

ks5u

高三数学答案(10 月) ABCBC CBCCA BC (0,1/2)y=3x+1 0<a<1/2 17 解: (1) A ? ?x | x ? 1?

(1)(2)__

B ? ?x | x ? 2?
A ? B =(1,2)
(2) a ≤2
2 18 解: (1) f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? b

f ( x) ? ax3 ? x 2 ? bx

g ( x) ? ax3 ? (3a ? 1) x 2 ? (b ? 2) x ? b

?b ? 0 ? g (0) ? 0 ? ?? 由 g ( x) 为奇函数可得: ? 1 ?3a ? 1 ? 0 ?a ? ? 3 ?

1 ? f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 3
令 g ?( x) ? ? x 2 ? 2 ? ( 2 ? x)( 2 ? x) ? 0

? x1 ? 2 , x2 ? ? 2


x?? 2

时,

g ?( x) ? 0

当? 2 ? x ? 当

2 时,

g ?( x) ? 0
g ?( x) ? 0

x ? 2 时,

?当 x ? (??, ? 2) 上时, g ( x) 为减函数;
当 x ? (? 2, 2) 上时, g ( x) 为增函数; 当 x ? ( 2, ??) 上时, g ( x) 为减函数

?当 x ? [1, 2] 上时, g ( x) 的最大值,最小值只能在 x ? 1 , 2 , 2 处取得。
又 g (1) ?

5 4 4 2 , g ( 2) ? , g (2) ? 3 3 3
4 2 4 g ( x)min ? g (2) ? 3 , 3

因此,

g ( x) max ? g ( 2) ?

19.解:由已知函数 g ( x), f ( x) 的定义域均为 (0,1) ? (1,??) ,且 f ( x) ?

x ? ax . ?1 分 ln x

1 x ? ln x ? 1 , (Ⅰ)函数 g ?( x) ? 2 (ln x) (ln x) 2 当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 . 所以函数 g (x) 的单调减区间是 (0,1), (1, e) ,增区间是 (e,??) . ??????3 分 ln x ? x ?
1 (Ⅱ)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. (ln x) 所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .
1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? ? 1 ln x (ln x)

? ? ? ln1x ? a ? ? ? ln1x ? 1 ? ? 1 ? a , 2 4
2
2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . ln x 2 4 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 , a 的最小值为 1 . 所以 故 ??????????6 分 ks5u 4 4 4 (Ⅲ)命题“若 ?x1 , x2 ? [e,e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ” . 由(Ⅱ) ,当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 2 1” 问题等价于: “当 x ? [e, e ] 时,有 f ( x)min ? . ?????????8 分 4 , 10 当 a ? 1 时,由(Ⅱ) f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为减函数, 4 2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae 2 ? 1 ,故 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e 2 4 2 20 当 0< a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ? 1 ? 1 ? 1 ? a 在 [e,e 2 ] 上为增函数, 4 ln x 2 4 2 故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e )] ,即 [?a, 1 ? a] . 4 ?( x) 的单调性和值域知, 由f

?

?

? 唯一 x0 ? (e,e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:
当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 ,e 2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; x 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ? 0 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e 2 ) . ln x0 4 所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合题意. ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 4 综上,得 a ? 1 ? 1 2 . ??????????14 分 2 4e 20(1)略(2)3 21(Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 64 9

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆.
C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M (?2 ? 4cos ? , 2 ?

3 sin ? ). 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?
8 5 4 3 . ,sin ? ? ? 时, d取得最小值 5 5 5

5 | 4 cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

从而当 cos ? ?

??2 x ? 4 x ? ?1 ? ?1 ? x ? 5 22 解:(1) f ( x) ? ?6 ?2 x ? 4 x ? 5 ?

(2 分)

当 x ? ?1 时, ?2x ? 4 ? x ? 10 , x ? ?2 ,则 ?2 ? x ? ?1 ;

当 ?1 ? x ? 5 时, 6 ? x ? 10 , x ? ?4 ,则 ?1 ? x ? 5 ; 当 x ? 5 时, 2 x ? 4 ? x ? 10 , x ? 14 ,则 5 ? x ? 14 . 综上可得,不等式的解集为 [?2,14] . (2) 设 g ( x) ? a ? ( x ? 2) ,由函数 f ( x) 的图像与 g ( x) 的图像可知:
2

(5 分)

f ( x) 在 x ?[?1,5] 时取最小值为 6, f ( x) 在 x ? 2 时取最大值为 a , 若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 a ? 6 .

(10 分)


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