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2015届河南省濮阳市高三第一次质检数学(理)试题


2015 届河南省濮阳市高三第一次质检数学(理)试题 (解析版) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1. (5 分)已知集合 A={x|0<x<2},B={x|(x﹣1) (x+1)>0},则 A∩B=( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (﹣∞,﹣1)∪(0,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪ (1,+∞) 【考点】 : 交集及其运算. 【专题】 :

集合. 【分析】 : 求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【解析】 : 解:由 B 中的不等式解得:x>1 或 x<﹣1, ∴B=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , ∵A={x|0<x<2}=(0,2) , ∴A∩B=(1,2) . 故选:B. 【点评】 : 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)在复平面内,复数

的对应点位于(



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【考点】 : 复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 利用复数的除法运算,将复数 案. 【解析】 : 解:复数 ∴复数 故复数 = , 表示出来,根据复数的几何意义,即可得到答

在复平面内对应的点为(1,﹣2) , 的对应点位于第四象限.

故选:D. 【点评】 : 本题考查了复数的代数表示法以及几何意义, 考查了复数的代数形式的乘法运算, 解题时要认真审题.复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系.属于基础题. 3. (5 分)如图,一个封闭的长方体,它的六个表面各标出 A、B、C、D、E、F 这六个字 母,现放成下面三种不同的位置,所看见的表面上的字母已表明,则字母 A、B、C 对面的 字母依次分别为( )

A. D、E、F B. F、D、E C. E、F、D D. E、D、F

【考点】 : 棱柱的结构特征. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 本题可从图形进行分析,结合正方体的基本性质,得到各个面上的字母,即可求 得结果. 【解析】 : 解:第一个正方体已知 A,B,C, 第二个正方体已知 A,C,D, 第三个正方体已知 B,C,E,且不同的面上写的字母各不相同, 则可知 A 对面标的是 E,B 对面标的是 D,C 对面标的是 F. 故选 D. 【点评】 : 本题考查了正方体相对两个面上的字母问题,此类问题可以制作一个正方体,根 据题意在各个面上标上字母,再确定对面上的字母,本题是一个基础题.

4. (5 分)已知⊙M 经过双曲线 S:

=1 的一个顶点和一个焦点,圆心 M 在双曲线 )

上 S 上,则圆心 M 到双曲线 S 的中心的距离为( A. 或 7/3 B. 或 8/3 C. D.

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 根据,⊙M 经过双曲线 S: =1 的一个顶点和一个焦点,可得圆心 M 到

双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等,从而可得圆心的横坐标为 4,代入双曲线方程可得 点 M 的纵坐标,即可求出圆心 M 到双曲线 S 的中心的距离. 【解析】 : 解:∵⊙M 经过双曲线 S: =1 的一个顶点和一个焦点,

∴圆心 M 到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等, ∴圆心的横坐标为 4,代入双曲线方程可得点 M 的纵坐标为 yM=± =± , = .

∴点 M 到原点的距离|MO|=

故选:D. 【点评】 : 本题考查了双曲线的标准方程,双曲线与圆的交汇问题,考查学生的计算能力, 属于中档题.

5. (5 分)将函数 y=sin2x(x∈R)的图象分别向左平移 m(m>0)个单位,向右平移 n(n >0)个单位,所得到的两个图象都与函数 值为( A. ) B. C. π D. 的图象重合,则 m+n 的最小

【考点】 : 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : 求出函数 y=sin2x(x∈R)的图象分别向左平移 m(m>0)个单位,向右平移 n (n>0)个单位后的函数解析式,再根据其图象与函数 的图象重合,可

分别得关于 m,n 的方程,解之即可. 【解析】 : 解:将函数 y=sin2x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位,得函数 y=sin2 (x+m)=sin(2x+2m) , ∵其图象与 ∴sin(2x+2m)=sin(2x+ 故 m= (k∈Z) , ; 的图象重合, ) ,∴2m= ,

当 k=0 时,m 取得最小值为

将函数 y=sin2x(x∈R)的图象向右平移 n(n>0)个单位,得到函数 y=sin2(x﹣n)=sin(2x ﹣2n) , ∵其图象与 ∴sin(2x﹣2n)=sin(2x+ 故 n=﹣ 的图象重合, ) ,∴﹣2n= , , ,

当 k=﹣1 时,n 取得最小值为

∴m+n 的最小值为 π, 故选 C. 【点评】 : 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,准确把握图象的平移变换规律是解 决问题的关键所在. 6. (5 分)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a1+a3=5/2,a2+a4=5/4,则 A. 4
n﹣1

=(



B. 4 ﹣1 C. 2

n

n﹣1

D. 2 ﹣1

n

【考点】 : 等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 【专题】 : 计算题;等差数列与等比数列.

【分析】 : 利用等比数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a1+a3=5/2,a2+a4=5/4,求出 q=,a1=2,可 得 an、Sn,即可得出结论. 【解析】 : 解:∵等比数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a1+a3=,a2+a4=, ∴两式相除可得公比 q=, ∴a1=2,

∴an=

=

,Sn=

=4(1﹣

) ,



=2 ﹣1,

n

故选:D. 【点评】 : 本题考查等比数列的通项与求和,考查学生的计算能力,确定数列的首项与公比 是关键. 7. (5 分)执行如图所示的程序框图,任意输入一次 x(0≤x≤1)与 y(0≤y≤1) ,则能输出数 对(x,y)的概率为( )

A.1/4 B.1/3 C.2/3 D. 3/4 【考点】 : 选择结构. 【专题】 : 算法和程序框图. 【分析】 : 依题意,满足不等式组 计算概率. 【解析】 : 解:依题意,不等式组 表示的平面区域的面积等于 1,不等式组 的 x,y 可以输出数对,读懂框图的功能即可

表示的平面区域的面积等于,因此所求的概率等于. 故选:B. 【点评】 : 本题主要考察程序框图和算法,属于基础题.

8. (5 分)曲线 C1:y =2px(p>0)的焦点 F 恰好是曲线 C2: 的右焦点,且曲线 C1 与曲线 C2 交点连线过点 F,则曲线 C2 的离心率是( A. B. C. D.

2

(a>0,b>0) )

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 求出抛物线的焦点,曲线 C1 与曲线 C2 交点连线 MN 过点 F,由对称性可得,交 线垂直于 x 轴,分别令 x=c,x=,求得弦长,得到 a,b,c 的方程,再由离心率公式解方程 即可得到. 2 【解析】 : 解:曲线 C1:y =2px(p>0)的焦点 F(,0) , 则双曲线的 c=, 曲线 C1 与曲线 C2 交点连线 MN 过点 F,由对称性可得, 交线垂直于 x 轴,令 x=c,代入双曲线方程得, y =b (
2 2

﹣1)=

,解得,y=
2 2 2

,则|MN|=



令 x=,代入抛物线方程可得,y =p ,即 y=±p,则|MN|=2p, 则 2p=
2

,即有 b =2ac=c ﹣a ,

2

2

即有 e ﹣2e﹣1=0,解得,e=1+ . 故选:D. 【点评】 : 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,考查离心率的求法,考查运算能力,属 于基础题. 9. (5 分)如图所示为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计 算顺着箭头方向,从 A 到 H 有几条不同的旅游路线可走( )

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【考点】 : 计数原理的应用. 【专题】 : 计算题;转化思想. 【分析】 : 根据分布图,要到 H 点,需从 F、E、G 走过来,F、E、G 各点又可由哪些点走 过来…这样一步步倒推,最后归结到 A,然后再反推过去;则可以这样作图,A 至 B、C、D 的路数记在 B、C、D 圆圈内,B、C、D 分别到 F、E、G 的路数亦记在 F、E、G 圆圈内, 最后 F、E、G 各个路数之和,即得至 H 的总路数,即可得答案.

【解析】 : 解:要到 H 点,需从 F、E、G 走过来,F、E、G 各点又可由哪些点走过来…这 样一步步倒推,最后归结到 A,然后再反推过去得到如下的计算法:A 至 B、C、D 的路数 记在 B、C、D 圆圈内,B、C、D 分别到 F、E、G 的路数亦记在 F、E、G 圆圈内,最后 F、 E、G 各个路数之和,即得至 H 的总路数如下图所示, 易得有 17 条不同的线路; 故选 C.

【点评】 : 本题考查分步计数原理的运用,解题时注意分析的方法,最好不要一一列举,如 必须列举时,注意按一定的次序,做到不重不漏.

10. (5 分)若函数 f(x)的导函数在区间(a,b)上的图象关于直线 x= y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )

对称,则函数

A.

B.

C.

D.

A. ① B. ② C. ③ D. ③④ 【考点】 : 函数的图象. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 对于①②,直接由图象得出在 a 处与 b 处切线斜率不相等,即可排除答案; 对于③,原函数为一次函数,其导函数为常数函数即可知道其满足要求; 对于④,先由图象找到对称中心即可判断其成立 【解析】 : 解:因为函数 y=f(x)的导函数在区间(a,b)上的图象关于直线 x= 即导函数要么图象无增减性,要么是在直线 x= 两侧单调性相反; 对称,

对于①,由图得,在 a 处切线斜率最小,在 b 处切线斜率最大,故导函数图象不关于直线 x= 对称,故①不成立;

对于②,由图得,在 a 处切线斜率最大,在 b 处切线斜率最小,故导函数图象不关于直线 x= 对称,故②不成立;

对于③, 由图得, 原函数为一次函数, 其导函数为常数函数, 故导函数图象关于直线 x= 对称,故③成立; 对于④,由图得,原函数有一对称中心,在直线 x= 图象关于直线 x= 对称,故④成立; 与原函数图象的交点处,故导函数

所以,满足要求的有③④. 故选:D. 【点评】 : 本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系.做这一类型题目,要注意运 用课本定义,是对课本知识的考查,属于基础题,但也是易错题.

11. (5 分) 在△ABC 中, M 为边 BC 上任意一点, N 为 AM 中点, 的值为( A.1/2 ) B.1/3 C.1/4 D. 1

,则 λ+μ

【考点】 : 向量的共线定理. 【分析】 : 设 得到答案. 【解析】 : 解:设 则 = =( ∴ ∴ 故选 A. 【点评】 : 本题主要考查平面向量的基本定理, 即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯 一表示出来.属中档题. 12. (5 分)定义在 R 上的函数 y=f(x)在(﹣∞,a)上是增函数,且函数 y=f(x+a)是偶 函数,当 x1<a,x2>a,且丨 x1﹣a 丨<丨 x2﹣a 丨时,有( ) A. f(x1)>f(x2) B. f(x1)≥f(x2) C. f(x1)<f(x2) D. f(x1)≤f(x2) 【考点】 : 奇偶性与单调性的综合. 【专题】 : 函数的性质及应用. ) = = ,将向量 用向量 、 表示出来,即可找到 λ 和 μ 的关系,最终

【分析】 : 根据 y=f(x+a)是偶函数,可得 f(﹣x+a)=f(x+a) ,根据 x1<a,x2>a,丨 x1﹣a 丨<丨 x2﹣a 丨,可得 2a﹣x1<x2,且 2a﹣x1>a,x2>a,结合函数的单调性,即可 得到结论. 【解析】 : 解:∵y=f(x+a)是偶函数,∴有 f(﹣x+a)=f(x+a) ∴f(x)关于 x=a 对称 ∵偶函数在(﹣∞,a)上是增函数,∴在(a,+∞)上是减函数 ∵x1<a,x2>a,丨 x1﹣a 丨<丨 x2﹣a 丨, ∴去掉绝对值得 a﹣x1<x2﹣a,即 2a﹣x1<x2,且 2a﹣x1>a,x2>a 由(a,+∞)上是减函数知 f(2a﹣x1)>f(x2) ∵f(x)关于 x=a 对称, ∴f(2a﹣x1)=f(x1) ∴f(x1)>f(x2) 故选 A. 【点评】 : 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)若点 P(cosα,sinα)在直线 y=﹣2x 上,则 = .

【考点】 : 任意角的三角函数的定义. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : 由题意可得 sinα=﹣2cosα,tanα=﹣2,再利用两角和的正切公式求得 的值. 【解析】 : 解:∵点 P(cosα,sinα)在直线 y=﹣2x 上,∴sinα=﹣2cosα,tanα=﹣2. ∴ 故答案为: . = = ,

【点评】 : 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角和的正切公式,同角三角函数的基 本关系的应用,属于基础题. 14. (5 分)直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是 (1, ) . 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 : 二次函数的性质. 作图题;压轴题;数形结合. 2 在同一直角坐标系内画出直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a 的图象,观察求解. 2 解:如图,在同一直角坐标系内画出直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a, ,
2

观图可知,a 的取值必须满足 解得 .

故答案为: (1, )

【点评】 : 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学 思想. 15. (5 分)在三棱锥 C﹣ABD 中(如图) ,△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形,O 为斜边 BD 的中点,AB=4,二面角 A﹣BD﹣C 的大小为 60°,并给出下面结论: ①AC⊥BD; ②AD⊥CO; ③△AOC 为正三角形; ④cos∠ADC= ;

⑤四面体 ABCD 的外接球表面积为 32π, 其中真命题是 ①③⑤ .

【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】 : ①由△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形,O 为斜边 BD 的中点,可得 CO ⊥BD,AO⊥BD,BD⊥平面 AOC,即可判断出正误; ②假设 CO⊥AD,可得 CO⊥平面 ABD,由①可得:∠AOC 是二面角 A﹣BD﹣C 的平面 角且为 60°矛盾,即可判断出正误; ③由已知可得:OC=OA,而∠AOC 是二面角 A﹣BD﹣C 的平面角且为 60°,即可判断出 △AOC 为正三角形; ④AB=4,由①可得:AC=OA=2 ,AD=CD=4,利用余弦定理可得 cos∠ADC,即可判 断出正误; ⑤由①可得:四面体 ABCD 的外接球的球心为 O,半径为 2 ,利用表面积公式即可判 断出正误. 【解析】 : 解:对于①,∵△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形,O 为斜边 BD 的中 点,∴CO⊥BD,AO⊥BD,AO∩OC=O,∴BD⊥平面 AOC,∴AC⊥BD,因此①正确;

对于②,假设 CO⊥AD,又 CO⊥BD,可得 CO⊥平面 ABD,由①可得:∠AOC 是二面 角 A﹣BD﹣C 的平面角且为 60°矛盾,因此不正确; 对于③,由△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形,O 为斜边 BD 的中点,∴OC=OA, 由①可得:∠AOC 是二面角 A﹣BD﹣C 的平面角且为 60°,∴△AOC 为正三角形,因此 ③正确; 对于④,AB=4,由①可得:AC=OA=2 ,AD=CD=4,∴cos∠ ADC= =≠ ,因此不正确; ,表面积

对于⑤,由①可得:四面体 ABCD 的外接球的球心为 O,半径为 2 S= =32π,因此正确.

综上可得:只有①③⑤正确. 故答案为:①③⑤. 【点评】 : 本题考查了空间线面位置关系、二面角、等边三角形、余弦定理、球的表面积, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 16. (5 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1﹣2 n n 成等差数列.则 an= 3 ﹣2 . 【考点】 : 数列递推式;等比数列的通项公式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 由于 2Sn=an+1﹣2
n+1 n+1

+1,n∈N ,且 a1、a2+5、a3

*

+1,n∈N ,且 a1、a2+5、a3 成等差数列,可得
n+1

*

,解得 a1.由 2Sn=an+1﹣2

+1,n∈N ,当 n≥2 时,可得

*

,可得 比数列的通项公式即可得出.

,变形为

,l 利用等

【解析】 : 解:由

,解得 a1=1.

由 2Sn=an+1﹣2

n+1

+1,n∈N ,当 n≥2 时,可得 ,即 , ,

*



两式相减,可得 变形为 ∴数列{

}(n≥2)是一个以 a2+4 为首项,3 为公比的等比数列.

由 2a1=a2﹣3 可得,a2=5, ∴ ,即 (n≥2) ,当 n=1 时,a1=1,也满足该式子,

∴数列{an}的通项公式是 故答案为: .



【点评】 : 本题考查了利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”求通项公式 an、变形转化为等比数列 求通项公式的方法,考查了灵活的变形能力和推理能力,属于难题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 (Ⅰ)求证:a、b、c 成等差数列; (Ⅱ)若∠B=60°,b=4,求△ABC 的面积. 【考点】 : 等差数列的性质;解三角形. 【专题】 : 等差数列与等比数列;解三角形. 【分析】 : (Ⅰ)对其角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,可得 , .

利用倍角公式进行化简,再利用正弦定理进行证明; 2 2 2 (Ⅱ)因为∠B=60°,b=4,利用余弦定理得 4 =a +c ﹣2accos60°,求出 ac 的值,利用三角 形的面积的公式进行求解; 【解析】 : 解: (Ⅰ) 即 a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b, 由正弦定理得: sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB, 即 sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB, 可得 sinA+sinC=2sinB, 由正弦定理可得, 整理得:a+c=2b, 故 a,b,c 为等差数列; (Ⅱ)由∠B=60°,b=4 及余弦定理得:4 =a +c ﹣2accos60°, 2 ∴(a+c) ﹣3ac=16, 又由(Ⅰ)知 a+c=2b,代入上式得 4b2﹣3ac=16,解得 ac=16, ∴△ABC 的面积 S=acsinB=acsin60°=4 ; 【点评】 : 此题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列的性质,是一道综合题, 也是一道基础题; 18. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的 中点. (Ⅰ)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,试 确定点 M 的位置,使二面角 M﹣BQ﹣C 大小为 60°,并求出 的值.
2 2 2



【考点】 : 与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : (I)由已知条件推导出 PQ⊥AD,BQ⊥AD,从而得到 AD⊥平面 PQB,由此能 够证明平面 PQB⊥平面 PAD. ( II)以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能求出结果. 【解析】 : (I)证明:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD, 又∵底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD, 又∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PQB, 又∵AD?平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (6 分) ( II)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PQ⊥AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系如图. 则由题意知:Q(0,0,0) ,P(0,0, ) ,B(0, ,0) ,C(﹣2, ,0) , 设 (0<λ<1) ,则 =(0,0,1) , =(x,y,z) , ,

平面 CBQ 的一个法向量是 设平面 MQB 的一个法向量为







=

, (9 分)

∵二面角 M﹣BQ﹣C 大小为 60°, ∴ = ,

解得

,此时

. (12 分)

【点评】 : 本题考查平面与平面垂直的证明,考查满足条件的点的位置的确定,解题时要认 真审题,注意向量法的合理运用. 19. (12 分)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结 果统计如下:

(1) 若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S (单位: 元) 与空气质量指数 API (记为 ω) 的关系式为:

S=

, 试估计在本年内随机抽取一天, 该天经济损失 S 大于 200

元且不超过 600 元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 附:

k=

2

【考点】 : 独立性检验的应用. 【专题】 : 计算题;概率与统计. 【分析】 : (1)由 200<S≤600,得 150<ω≤250,频数为 39,即可求出概率;

(2)根据所给的数据,列出列联表,根据所给的观测值的公式,代入数据做出观测值,同 临界值进行比较,即可得出结论. 【解析】 : 解: (1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A…(1 分) 由 200<S≤600,得 150<ω≤250,频数为 39,…(3 分) ∴P(A)= …. (4 分)

(2)根据以上数据得到如表: 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 …. (8 分) K 的观测值 K =
2 2

≈4.575>3.841…. (10 分)

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.…. (12 分) 【点评】 : 本题考查概率知识,考查列联表,观测值的求法,是一个独立性检验,我们可以 利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设, 若值较大就拒绝假设, 即拒绝两个事件 无关.

20. (12 分)如图,已知椭圆 C: 顶点. (1)设 P 是椭圆 C 上任意一点,若

,A、B 是四条直线 x=±2,y=±1 所围成的两个

,求证:动点 Q(m,n)在定圆上运动,

并求出定圆的方程; (2)若 M、N 是椭圆 C 上两个动点,且直线 OM、ON 的斜率之积等于直线 OA、OB 的斜 率之积,试探求△OMN 的面积是否为定值,说明理由.

【考点】 : 轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (1)设 P 的坐标,通过 圆的方程. ,推出 m,n 与 P 的坐标的关系,推出定

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,利用直线 OM、ON 的斜率之积等于直线 OA、OB 的斜 率之积,得到 x1,x2 的关系.求出 MN 的距离以及 O 到直线 MN 的距离,然后证明△OMN 的面积是否为定值. 【解析】 : 解: (1)易求 A(2,1) ,B(﹣2,1) .…(2 分) 设 P(x0,y0) ,则 .由 ,得 ,

所以

,即.故点 Q(m,n)在定圆

上.…(8 分)

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 平方得



,即

.…(10 分)

因为直线 MN 的方程为(x2﹣x1)y﹣(y2﹣y1)x+x1y2﹣x2y1=0, 所以 O 到直线 MN 的距离为 ,…(12 分)

所以△OMN 的面积 S=MN?l=|x1y2﹣x2y1|=

=

=



故△OMN 的面积为定值 1.…(16 分) 【点评】 : 本题考查圆的方程的求法,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,考查转化思 想计算能力. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x ,g(x)=elnx. (Ⅰ)设函数 F(x)=f(x)﹣g(x) ,求 F(x)的单调区间; (Ⅱ)若存在常数 k,m,使得 f(x)≥kx+m,对 x∈R 恒成立,且 g(x)≤kx+m,对 x∈(0, +∞)恒成立,则称直线 y=kx+m 为函数 f(x)与 g(x)的“分界线”,试问:f(x)与 g(x) 是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程,若不存在,请说明理由. 【考点】 : 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】 : 综合题;导数的综合应用. 【分析】 : (Ⅰ)在定义域内解不等式 F′(x)>0,F′(x)<0 可得函数的单调区间; (Ⅱ)由(I)可知,当 x= 时,F(x)取得最小值 F( )=0,则 f(x)与 g(x)的图 象在 x= 处有公共点( , ) .假设 f(x)与 g(x)存在“分界线”,则其必过点( , ) .故 设其方程为:y﹣=k(x﹣ ) ,由 f(x)≥kx+﹣k 对 x∈R 恒成立,可求得 k= ,则“分 界线“的方程为:y= .只需在证明 g(x)≤ ,g(x)=elnx, 对 x∈(0,+∞)恒成立即可;
2

【解析】 : 解: (I)由于函数 f(x)=

因此,F(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣elnx, 则 F′(x)=x﹣= = ,x∈(0,+∞) ,

2

当 0<x< 时,F′(x)<0,∴F(x)在(0, )上是减函数; 当 x> 时,F′(x)>0,∴F(x)在( ,+∞)上是增函数; 因此,函数 F(x)的单调减区间是(0, ) ,单调增区间是( ,+∞) . (II)由(I)可知,当 x= 时,F(x)取得最小值 F( )=0, 则 f(x)与 g(x)的图象在 x= 处有公共点( , ) . 假设 f(x)与 g(x)存在“分界线”,则其必过点( , ) . 故设其方程为:y﹣=k(x﹣ ) ,即 y=kx+﹣k , 由 f(x)≥kx+﹣k ∴ 因此 k= 对 x∈R 恒成立,则 =4k ﹣8k ,“分界线“的方程为:y=
2

对 x∈R 恒成立, +4e=e(k﹣ . ) ≤0 成立,
2

下面证明 g(x)≤ 设 G(x)=elnx﹣x ∴当 0<x< 当 x=

对 x∈(0,+∞)恒成立, +,则 G′(x)= = 时,G′(x)<0, x 对 x∈(0,+∞)恒成立, ,

时,G′(x)>0,当 x>

时,G(x)取得最大值 0,则 g(x)≤ .

故所求“分界线“的方程为:y=

【点评】 : 本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题,考查转化思想,探 究性题目往往先假设成立,再做一般性证明. 二.请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)如图,AB 是的⊙O 直径,CB 与⊙O 相切于 B,E 为线段 CB 上一点,连接 AC、 AE 分别交⊙O 于 D、G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F. (Ⅰ)求证:C、D、G、E 四点共圆. (Ⅱ)若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E,EG=1,GA=3,求线段 CE 的长.

【考点】 : 与圆有关的比例线段. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : (Ⅰ)连接 BD,由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD,从而得到∠C+ ∠DGE=180°,由此能证明 C,E,G,D 四点共圆. (Ⅱ)由切割线定理推导出 EB=2,由此能求出 CE 的长. 【解析】 : (Ⅰ)证明:连接 BD,则∠AGD=∠ABD, ∵∠ABD+∠DAB=90°,∠C+∠CAB=90° ∴∠C=∠AGD, ∴∠C+∠DGE=180°, ∴C,E,G,D 四点共圆.…..(5 分) 2 (Ⅱ)解:∵EG?EA=EB ,EG=1,GA=3, ∴EB=2, 又∵F 为 EB 的三等分点且靠近 E, ∴ , ,
2

又∵FG?FD=FE?FC=FB , ∴ ,CE=2.…. (10 分)

【点评】 : 本题考查四点共圆的证明,考查线段长的求法,是中档题,解题时要注意圆的性 质的灵活运用. [选修 4-4,坐标系与参数方程]

23.已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) ,以坐标原点为
2

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣4ρcosθ+3=0. (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. 【考点】 : 简单曲线的极坐标方程;点到直线的距离公式;参数方程化成普通方程. 【专题】 : 坐标系和参数方程. 【分析】 : (Ⅰ)直接根据直线的参数方程中,消去参数,即可得到其普通方程;再利用极 坐标方程和直角坐标方程互化公式求解即可; (Ⅱ)首先设点 P(2+cosθ,sinθ) (θ∈R) ,然后,构造距离关系式,然后,求解其范围即 可. 【解析】 : 解: (I)根据直线 l 的参数方程为 消去 t, 得 , 故直线 l 的普通方程为: ; 2 依据曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣4ρcosθ+3=0. 结合互化公式 ,得到:
2 2

, (t 为参数) ,

曲线的直角坐标方程为(x﹣2) +y =1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ( II)设点 P(2+cosθ,sinθ) (θ∈R) , 则 所以 d 的取值范围是 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 【点评】 : 本题重点考查了参数方程和普通方程的互化、 极坐标方程和直角坐标方程的互化 等知识,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (Ⅰ)解不等式 f(x﹣1)+f(x+3)≥6; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求 f(ab)>|a|f() . 【考点】 : 绝对值不等式的解法. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : (Ⅰ)解不等式可得|x﹣2|+|x+2|≥6,根据绝对值的意义,而﹣3 和 3 对应点到 2、 ﹣2 对应点的距离之和正好等于 6,从而求得不等式 f(x﹣1)+f(x+3)≥6 的解集. (Ⅱ)用分析法证明 f(ab)>|a|f()成立.

【解析】 : 解: (Ⅰ)解不等式 f(x﹣1)+f(x+3)≥6,可得|x﹣2|+|x+2|≥6. 根据绝对值的意义可得|x﹣2|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到 2、﹣2 对应点的距离之和, 而﹣3 和 3 对应点到 2、﹣2 对应点的距离之和正好等于 6,故不等式 f(x﹣1)+f(x+3)≥6 的解集为{ (Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,要证 f(ab)>|a|f() ,只要证|ab﹣1|>|b﹣a|, 2 2 只要证(ab﹣1) >(b﹣a) . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 而(ab﹣1) ﹣(b﹣a) =a ?b ﹣a ﹣b +1=(a ﹣1) (b ﹣1)>0,故 (ab﹣1) >(b﹣ 2 a) 成立. 故要证的不等式 f(ab)>|a|f()成立. 【点评】 : 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,用分析法证明不等式,属于 基础题.


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