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衡水2013-2014下学期高三一调——文数答案


2013~2014 学年度下学期一调考试 高三年级数学(文科)参考答案
一、选择题 CDBCB AADCB DC 二、填空题 13、 255 三、解答题 14、

? a 2 ? c 2 ? 2ab ? b 2 ,由余弦定理 cosC ?
?C ?

a2 ? b2 ? c2 2 ? , 2ab 2

?
4

---------------------6 分

(2)由(1) ,C ?

?
4

,A? B ?

3? 1 2 2 . 所以 S ? absin C ? ab ? ? 4 R 2 sin A ? sin B 4 2 4 4

1 4

15、 33?

16. (2) (3)

= 2 R sin A ? sin(
2

3? 2 2 ? R2 ? A) ? R (sin 2 A ? ) ? 4 2 4 2
3 ? 时, S max ? 8

10 ? 0.25 , 17. 解(Ⅰ)由分组 [10,15) 内的频数是 10 ,频率是 0.25 知, M
所以 M ? 40 . 因为频数之和为 40 ,所以 10 ? 24 ? m ? 2 ? 40 , m ? 4 . ………………1 分 ………………2 分 ………………3 分

当且仅当 A ? B ?

2 ?1 2 R . -------------------------12 分 2
0

19、 (Ⅰ)证明:由 E 是 AD 的中点,PA=PD,所以 AD⊥PE ; 又底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60

所以 AB=BD,又因为 E 是 AD 的中点 ,所以 AD⊥BE, 又 PE∩BE=E 所以 AD⊥平面 PBE……………… 4 分 (Ⅱ)证明:连接 AC 交 BD 于点 O,连 OQ;因为 O 是 AC 的中点, Q 是 PC 的中点,所以 OQ//PA,又 PA ? 平面 BDQ,OQ ? 平面 BDQ, 所以 PA//平面 BDQ……………… 8 分

m 4 p? ? ? 0.10 . M 40

24 ? 0.12 .……………4 分 因为 a 是对应分组 [15, 20) 的频率与组距的商,所以 a ? 40 ? 5
(Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组 [10,15) 内的频率是 0.25 , 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m ? 2 ? 6 人, 设在区间 [20, 25) 内的人为 ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,在区间 [25,30) 内的人为 ?b1 , b2 ? . 则任选 2 人共有 (a1 , a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1), ………6 分

(Ⅲ)解:设四棱锥 P-BCDE,Q-ABCD 的高分别为 h1 , h2 。 所以 V P ? BCDE ?

1 1 S BCDE h1 , VQ ? ABCD ? S ABCD h2 3 3
3 S ABCD , 4

又因为 VP?BCDE ? 2VQ? ABCD ,且底面积 S BCDE ? 所以

(a2 , b2 ),(a3 , a4 ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(b1, b2 ) 15 种情况,
而两人都在 [25,30) 内只能是 ? b1 , b2 ? 一种, 所以所求概率为 P ? 1 ? ………………8 分 ………………10 分

CP h1 8 ? ? ……… 12 分 CQ h2 3
x1 x x? 1 , p 2p
2

1 14 ? . 15 15

20、解: (1)设 A( x1 , y1 ) ,则切线 AD 的方程为 y ? 所以 D (

18、解:(1)由 2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B ,

p p x1 ,0), Q(0,? y1 ) , | FQ |? ? y1 , | FA |? ? y1 ,所以 | FQ |?| FA | , 2 2 2

? 4R 2 (sin 2 A ? sin 2 C) ? 2R( 2a ? b) sin B
由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C 代入得
高三数学第一次调研考试文科试题 第 5 页(共 6 页)

所以 ?AFQ 为等腰三角形,且 D 为 AQ 中点,所以 DF ? AQ ,? | DF |? 2, ?AFD ? 60 ? ,

高三数学第一次调研考试文科试题

第2页(共 6 页)

? ?QFD ? 60 ? ,

p ? 1 ,得 p ? 2 ,抛物线方程为 x 2 ? 4 y ……………… 4分 2
x2 x x? 2 2 2
2

所以 f ?x ? ? 由f
'

2 ? ln x ? 2, f x
由f

'

?x ? ? x
'

?2 x2

(2)设 B ( x 2 , y 2 ) ( x 2 ? 0) ,则 B 处的切线方程为 y ?

?x ? ? 0 解得 0<x<2 所以 f(x)得单调增区间是 ?2,??? ,单调减区间是 ?0,2?
(Ⅱ) f (x ) ? ?
'

?x ? ? 0 解得 x>2 ;

………………………4 分

? ?y ? ? 由? ?y ? ? ?
同理 N (

x1 x 2 ? x? 1 x1 x1 x1 2 2 4 ? P( x1 ? x 2 , x1 x 2 ) ? y ? x ? ,? 2 4 ? M ( ? ,1) 2 2 4 2 x1 x2 x ?y ? 1 x? 2 ? 2 4

2

2 a ax ? 2 ? ? 2 x x x2 ? 2 ;由f a
'

由f

'

?x ? ? 0 解得 x
2 a

?x ? ? 0 解得 0 ? x
2 a

?

2 a

x2 2 ? ,1) ,……………………………………………………6分 2 x2
xx ( x ? x1 )(4 ? x1 x 2 ) 2 1 x1 2 x 2 2 ( ? ? ? )(1 ? 1 2 ) ? 2 ……① 2 2 x1 2 x 2 4 16 x1 x 2
……8分

所以 f(x)在区间 ( ,?? ) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减 所以当 x ?

所以面积 S ?

2 2 时,函数 f(x)取得最小值 y min ? f ( ) a a

设 AB 的方程为 y ? kx ? b ,则 b ? 0 由?

因为对于任意 x ? ?0,???都有f ?x ? ? 2(a ? 1) 成立, 所以 f ( ) ? 2(a ? 1) 即可

? y ? kx ? b
2 ?x ? 4 y

? x1 ? x 2 ? 4k ? x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 ,得 ? 代入①得: ? x1 x 2 ? ?4b

2 a

16k 2 ? 16b (4 ? 4b) 2 (1 ? b) 2 k 2 ? b ,使面积最小,则 k ?0 S? ? 64b b
得到 S ?



2 2 2 2 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) ,由 a ln ? a 解得 0 ? a ? 2 a e a a
2 e
…………………………… 8 分

(1 ? b) 2 b …………② b

令 b ?t,

所以 a 得取值范围是 (0, )

②得 S (t ) ?

(1 ? t 2 ) 2 1 (3t 2 ? 1)(t 2 ? 1) , ? t 3 ? 2t ? , S ?(t ) ? t t t2
3 3 ) 时 S (t ) 单调递减;当 t ? ( ,??) S (t ) 单调递增, 3 3

2 x 2 ?x ?2 ' (Ⅲ)依题意得 g ( x) ? ? ln x ? 2 ? x ? b ,则 g (x ) ? x x2
由 g ' ?x ? ? 0 解得 x>1,由 g ' ?x ? ? 0 解得 0<x<1 所以函数 g(x)在区间 e , e 上有两个零点,

所以当 t ? (0,

1 3 16 3 2 所以当 t ? 时, S 取到最小值为 ,此时 b ? t ? , k ? 0 , 3 3 9
所以 y1 ?

?

?1

?

1 2 3 ,即 x1 ? 。……………………………………………………12分 3 3

? g (e ?1 ) ? 0 ? 所以 ? g (e ) ? 0 ? g (1) ? 0 ?
所以 b 得取值范围是 (1,

解得 1 ? b ?

2 ? e ?1 e

21.解: (Ⅰ)直线 y=x+2 的斜率为 1, 函数 f(x)的定义域为 ?0,??? 因为 f (x ) ? ?
'

2 a 2 a ? ,所以 f ' ?1? ? ? 2 ? ? ?1 ,所以 a=1 2 x 1 x 1
高三数学第一次调研考试文科试题 第 5 页(共 6 页)

2 ? e ? 1] e

………………………………

12 分

高三数学第一次调研考试文科试题

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22、解: (1)证明:因 MD 与圆 O 相交于点 T,由切割线定 理 DN ? DT ? DM , DN ? DB ? DA,得
2 2

DT ? DM ? DB ? DA ,设半径 OB= r (r ? 0) ,因 BD=OB,且 BC=OC=
2 则 DB ? DA ? r ? 3r ? 3r , DO ? DC ? 2r ?

r , 2

3r ? 3r 2 , 2

所以 DT ? DM ? DO ? DC . ------------------5 分 (2)由(1)可知, DT ? DM ? DO ? DC ,且 ?TDO ? ?CDM , 故 ?DTO ∽?DCM ,所以 ?DOT ? ?DMC ;
? 根据圆周角定理得, ?DOT ? 2?DMB ,则 ?BMC ? 30 .

--------10 分

23. 解:(Ⅰ) ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 3 ……………………………….2 分

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 2 (2)直线 l 的方程 ? 代入 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 3 得 t ? 2 2t ? 1 ? 0 ,………4 分 ? y ? 2 ? 2 t. ? 2 ?

t1 ? t 2 ? 2 2 ? 0, t1t 2 ? 1,由参数的几何意义得
? AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 2 .

PA ? PB ? t1 | ? | t 2 ? 2 2 . ………………………………………….10 分
24.不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} ………4 分

| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 . (II)?
? a ? 4 ………………………………………………………………………10 分

高三数学第一次调研考试文科试题

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高三数学第一次调研考试文科试题

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